何曉麗

摘 要 在引入計(jì)算公式后，計(jì)算將不再是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)。公式法的引入，將大大提高學(xué)生計(jì)算的準(zhǔn)確度與速度。只要會(huì)進(jìn)行10以內(nèi)的加減計(jì)算，掌握計(jì)算公式的計(jì)算規(guī)則，那么學(xué)生就可以在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行任意數(shù)位的計(jì)算。公式法的引入，使得每個(gè)數(shù)位的計(jì)算結(jié)果獨(dú)立于其他數(shù)位，更便于學(xué)生檢查、修改計(jì)算結(jié)果。該公式同樣適用于小數(shù)計(jì)算、元角分計(jì)算、米分米厘米計(jì)算、該算理可延伸用于解決時(shí)間計(jì)算等數(shù)學(xué)問題。本文將詳細(xì)討論計(jì)算公式及推導(dǎo)，并對(duì)公式法和傳統(tǒng)教學(xué)方法進(jìn)行對(duì)比。

關(guān)鍵詞 小學(xué)數(shù)學(xué) 計(jì)算公式 整數(shù)計(jì)算 小數(shù)計(jì)算 元角分計(jì)算 米分米厘米計(jì)算 時(shí)間計(jì)算

中圖分類號(hào)：G633 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0前言

何謂減負(fù)？一味減少作業(yè)量？如果有一種方法，可以幫孩子節(jié)約大量的學(xué)習(xí)時(shí)間，同時(shí)又能保證大大提高孩子計(jì)算的準(zhǔn)確度與速度，這是否才是真正有意義的減負(fù)？作為小學(xué)低年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，理、工科學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，計(jì)算能力之重要，不在此處累述。

那么在減少學(xué)習(xí)時(shí)間、降低學(xué)習(xí)難度的前提下，如何提高計(jì)算能力？

套用計(jì)算公式，降低多位數(shù)計(jì)算的基礎(chǔ)要求，同時(shí)提高數(shù)位計(jì)算的靈活度?，F(xiàn)行的整數(shù)加減計(jì)算，尤其是多位數(shù)整數(shù)加減運(yùn)算，是以熟練掌握20以內(nèi)加減法作為運(yùn)算的基礎(chǔ)，且學(xué)生在計(jì)算過程中，只能從低位到高位逐位推算，一旦計(jì)算結(jié)果出錯(cuò)，則需要重新計(jì)算。而公式法的引入，則只需要學(xué)生會(huì)10以內(nèi)加減法即可，且每個(gè)計(jì)算數(shù)位獨(dú)立于其他數(shù)位，便于檢查、修改，在口算時(shí)可選擇從高位到低位計(jì)算，符合人類的閱讀與書寫習(xí)慣。

在學(xué)習(xí)過程中，隨著年齡、學(xué)業(yè)難度的增長(zhǎng)，會(huì)借助很多已被科學(xué)論證的公式，幫助我們簡(jiǎn)化思考、推理的過程。所以，作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的計(jì)算，如果也有經(jīng)過科學(xué)論證的公式，幫助小學(xué)生們簡(jiǎn)化分解、運(yùn)算過程，那么同樣值得推導(dǎo)與論證。

1兩個(gè)整數(shù)加減運(yùn)算公式及推導(dǎo)

1.1補(bǔ)數(shù)的概念

補(bǔ)數(shù)是一個(gè)珠心算概念，在珠心算的教學(xué)中，學(xué)生要正確進(jìn)行進(jìn)位、退位的撥珠計(jì)算，則必須熟練掌握補(bǔ)數(shù)的概念。公式法中引入補(bǔ)數(shù)概念，是簡(jiǎn)化整個(gè)計(jì)算過程的基礎(chǔ)。有關(guān)補(bǔ)數(shù)的定義如下：

補(bǔ)數(shù)：兩個(gè)個(gè)位整數(shù)的和為10，則這兩個(gè)數(shù)互為補(bǔ)數(shù)（如圖1）。

1.2加法公式

【Zn=（本位個(gè)位+后位進(jìn)位）的個(gè)位】，有三種情況：

公式1：Zn=（A1+A2）n+Jn-1 （A1+A2）n<9；或 （A1+A2）n =9，后位無進(jìn)位或連續(xù)進(jìn)位

公式2：Zn=（A1-B2）n +J n-1 或 Zn=（A2-B1）n + Jn-1 （A1+A2）n≥10

公式3：Zn= 0 （A1+A2）n =9，后位有進(jìn)位或連續(xù)進(jìn)位

其中：Z—值； A—計(jì)算數(shù)； B—A的補(bǔ)數(shù)； J—進(jìn)位；n—計(jì)算位（n>0整數(shù)，n1為個(gè)位）

1.3減法公式

【Zn =∣本位個(gè)位-后位退位∣】，有三種情況：

公式4：Zn=（A1-A2）n-T n-1 （A1-A2）n>0；或（A1-A2）n =0，后位無退位或連續(xù)退位；

公式5：Zn=（A1+B2）n-T n-1 （A1-A2）n<0；

公式6： Zn=9 （A1-A2）n =0，后位有退位或連續(xù)退位。

其中：Z—值；A—計(jì)算數(shù)；B—A的補(bǔ)數(shù)； T—退位；n—計(jì)算位（n>0整數(shù)，n1為個(gè)位）

2公式推導(dǎo)

2.1公式推導(dǎo)條件

10進(jìn)制運(yùn)算中，n位進(jìn)位Jn、退位Tn與n+1位計(jì)算結(jié)果相關(guān)，在n+1位計(jì)算中已考慮n位進(jìn)位Jn、退位Tn，則在Zn計(jì)算時(shí)，只需考慮n位本位個(gè)位值，及n位后面數(shù)位的進(jìn)位Jn-1、退位Tn-1（含連續(xù)進(jìn)位、連續(xù)退位）情況。

2.2加法公式推導(dǎo)

2.2.1 當(dāng)（A1+A2）n<9時(shí)，Zn=（A1+A2）n+Jn-1

證明：

因?yàn)椋琂n-1只有Jn-1 =1或Jn-1 =0兩種情況，

又因?yàn)椋珹1<10，A2<10，均為整數(shù)，

所以，當(dāng)（A1+A2）n<9時(shí)，0≤（A1+A2）n+Jn-1 <10，

故，當(dāng)（A1+A2）n<9時(shí)，Zn=（A1+A2）n+Jn-1 。

當(dāng)（A1+A2）n =9，后位無進(jìn)位或連續(xù)進(jìn)位時(shí)，Zn=（A1+A2）n+Jn-1 。

證明：

因?yàn)?，J n-1 =0，

所以，（A1+A2）n+Jn-1 =9

故，當(dāng)（A1+A2）n =9，后位無進(jìn)位或連續(xù)進(jìn)位時(shí)，Zn=（A1+A2）n+Jn-1 。

2.2.2 當(dāng)（A1+A2）n≥10時(shí)，Zn=（A1-B2）n +Jn-1 或 Zn=（A2-B1）n + Jn-1

證明：

當(dāng)（A1+A2）n≥10時(shí)，n位計(jì)算數(shù)計(jì)算結(jié)果的個(gè)位為：

（A1+A2）n-10（進(jìn)1給n+1位） = A1n+A2n-（A2n+B2n）= A1n+A2n-A2n-B2n =A1n-B2n=（A1-B2）n

或

（A1+A2）n -10（進(jìn)1給n+1位） = A1n+A2n-（A1n+B1n）= A1n+A2n-A1n-B1n =A2n-B1n=（A2-B1）n

因?yàn)?，A1<10，A2<10，均為整數(shù)，

所以，（A1+A2）n≥10時(shí)，0≤（A1+A2）n -10=（A1-B2）n=（A2-B1）n<9，

又因?yàn)椋琂 n-1只有J n-1 =1或J n-1 =0兩種情況，

所以，0≤（A1-B2）n +J n-1=（A2-B1）n + J n-1≤9

故，當(dāng)（A1+A2）n≥10時(shí)，Zn=（A1-B2）n +J n-1或 Zn=（A2-B1）n + Jn-1。

2.2.3當(dāng)（A1+A2）n=9，后位有進(jìn)位或連續(xù)進(jìn)位時(shí)，Zn=0

證明：

因?yàn)椋琂 n-1 =1

所以，（A1+A2）n+Jn-1=10

又因?yàn)椋B續(xù)進(jìn)位最高位（n的高位或之前若干高位）計(jì)算中已考慮n位進(jìn)位或連續(xù)進(jìn)位，因此n位計(jì)算應(yīng)減去給其高位進(jìn)位1，即n位減去10，

所以，Zn=（A1+A2）n + Jn-1-10=10-10=0 ，

故，當(dāng)（A1+A2）n=9，后位有進(jìn)位或連續(xù)進(jìn)位時(shí)，Zn=0。

綜上證明，Zn=（本位個(gè)位+后位進(jìn)位）的個(gè)位。

2.3減法公式推導(dǎo)

2.3.1當(dāng)（A1-A2）n>0時(shí)，Zn=（A1-A2）n-T n-1

證明：

因?yàn)?，A1<10，A2<10，均為整數(shù)，

所以，當(dāng)（A1-A2）n>0時(shí)，0<（A1-A2）n<10

又因?yàn)?，T n-1只有T n-1 =1或Tn-1 =0兩種情況，

所以，0≤（A1-A2）n-T n-1<10，

故，當(dāng)（A1-A2）n>0時(shí)，Zn=（A1-A2）n-T n-1 。

當(dāng)（A1-A2）n=0，后位無退位或連續(xù)退位時(shí)，Zn=（A1-A2）n-T n-1 。

證明：

因?yàn)?，Tn-1 =0，

所以，Zn=（A1-A2）n-T n-1 =0，

故，當(dāng)（A1-A2）n =0，后位無退位或連續(xù)退位時(shí)，Zn=（A1-A2）n-T n-1。

2.3.2當(dāng)（A1-A2）n<0時(shí)，Zn=（A1+B2）n-T n-1

證明：

當(dāng)（A1-A2）n<0時(shí)，

（A1-A2）n +10（n+1位退1）= A1n-A2n+（A2n+B2n）= A1n-A2n+A2n+B2n =A1n+B2n=（A1+B2）n

因?yàn)椋珹1<10，A2<10，均為整數(shù)，

所以，（A1-A2）n<0時(shí)，1≤（A1-A2）n +10=（A1+B2）n≤9，

又因?yàn)?，T n-1只有T n-1 =1或Tn-1 =0兩種情況，

所以，1≤（A1+B2）n-T n-1≤9

故，當(dāng)（A1-A2）n <0時(shí)，Zn=（A1+B2）n-T n-1 。

2.3.3當(dāng)（A1-A2）n =0，后位有退位或連續(xù)退位時(shí)，Zn=9

證明：

因?yàn)?，Tn-1 =1，

又因?yàn)?，連續(xù)退位最高位（n的高位或若干高位）計(jì)算中已考慮給n位的退位或連續(xù)退位，因此n位計(jì)算應(yīng)加上其高位退位1，即n位加上10，

所以，Zn=10-（A1-A2）n- Tn-1=10-0-1=9，

故，當(dāng)（A1-A2）n =0，后位有退位或連續(xù)退位時(shí)，Zn=9。

綜上證明，Zn=∣本位個(gè)位-后位退位∣。

3公式法計(jì)算與傳統(tǒng)計(jì)算方法的比較

3.1 20以內(nèi)加法

3.1.1【例1】7+8=15

公式法計(jì)算過程

十位：公式1，進(jìn)1；

個(gè)位：公式2，7-2=5或8-3=5。

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法計(jì)算過程

個(gè)位：分解7為5和2，8+2=10，個(gè)位為5；或分解8為5和3，7+3=10，個(gè)位為5；

十位：進(jìn)1。

3.1.2 計(jì)算過程比較分析

（1）公式法：直接減補(bǔ)數(shù)進(jìn)1，減少了分解過程。

（2）傳統(tǒng)算法：對(duì)7的分解，其實(shí)就是在找8的補(bǔ)數(shù)2；對(duì)8的分解就是在找7的補(bǔ)數(shù)3。其分解過程的實(shí)質(zhì)就是給7減去8的補(bǔ)數(shù)2，進(jìn)1；給8減去7的補(bǔ)數(shù)3，進(jìn)1。

3.2多位數(shù)加法

3.2.1【例2】658+597=1255

公式法計(jì)算過程

千位：公式1，進(jìn)1；

百位：公式2，6-5+1=2；

十位：公式2，5-1+1=5；

個(gè)位：公式2，8-3=5。

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法計(jì)算過程

個(gè)位：8+7，進(jìn)行數(shù)的分解，8+2=10，10+5=15，進(jìn)1得5；

十位：5+9+1，對(duì)5+9進(jìn)行數(shù)的分解，9+1=10，10+4=14，14+1=15，進(jìn)1得5；

百位：6+5+1，對(duì)6+5進(jìn)行數(shù)的分解，6+4=10，10+1=11， 11+1=12，進(jìn)1得2；

千位：進(jìn)1。

3.2.2 計(jì)算過程比較分析

（1）公式法：

①計(jì)算基礎(chǔ)要求低，只在進(jìn)行10以內(nèi)運(yùn)算；

②計(jì)算數(shù)位獨(dú)立、靈活，便于檢查、修改。

③ 大大降低口算的難度?？芍苯訌淖笸覍懗龃鸢?，與人的書寫閱讀習(xí)慣保持一致。

（2）傳統(tǒng)算法：

①進(jìn)行的20以內(nèi)運(yùn)算，計(jì)算基礎(chǔ)要求高。如果學(xué)生基礎(chǔ)不好，還需再進(jìn)行數(shù)的分解，完成一次20以內(nèi)的分解運(yùn)算過程；

②計(jì)算順序固定，數(shù)位與數(shù)位之間有連帶關(guān)系，檢查、修改答案復(fù)雜，需重新計(jì)算一次，或者完成一次逆運(yùn)算。

③口算難度大。從低位往高位計(jì)算與人的書寫、閱讀習(xí)慣相斥。

3.3多位數(shù)連續(xù)進(jìn)位加法

3.3.1【例3】1368+2639=4007

公式法計(jì)算過程

千位：公式1，1+2+1=4；

百位：公式3， 0；（連續(xù)進(jìn)位）；

十位：公式3， 0； （連續(xù)進(jìn)位）；

個(gè)位：公式2，8-1=7。

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法計(jì)算過程

個(gè)位：8+9=17， 進(jìn)行數(shù)的分解，9+1=10，10+7=17，進(jìn)1得7；

十位：6+3+1=10，進(jìn)1得0；

百位：3+6+1=10，進(jìn)1得0；

千位：1+2+1=4。

3.3.2計(jì)算過程比較分析

比較結(jié)果與【例2】一致。

3.4 20以內(nèi)減法

3.4.1【例4】11-7=4

公式法計(jì)算過程

十位：公式4，退1；

個(gè)位：公式5，1+3=4。

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法計(jì)算過程

個(gè)位：10-7=3， 1+3=4；

十位：分解11為1和10，退1。

3.4.2計(jì)算過程比較分析

（1）公式法：被減數(shù)個(gè)位1直接加減數(shù)7的補(bǔ)數(shù)3，減少分解過程，降低了計(jì)算難度。

（2）傳統(tǒng)算法：將11分解為1和10，10-7其實(shí)就是在計(jì)算7的補(bǔ)數(shù)的過程。經(jīng)計(jì)算7的補(bǔ)數(shù)為3后，再進(jìn)行1+3的計(jì)算。

3.5多位數(shù)減法

3.5.1【例5】4645-2798=1847

公式法計(jì)算過程

千位：公式4，4-2-1=1；

百位：公式5，6+3-1=8；

十位：公式5，4+1-1=4；

個(gè)位：公式5，5+2=7。

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法計(jì)算過程

個(gè)位：5-8不夠減，十位退1，15-8，15分解為5和10，10-8=2，5+2=7；

十位：4-9-1不夠減，百位退1，14-9-1。會(huì)簡(jiǎn)便方法則得4，如不會(huì)，則分解14為4和10，10-9=1，4+1-1=4；

百位： 6-7-1不夠減，千位退1，16-7-1，分解16為6和10，10-7=3，6+3-1=8；

千位：4-2-1=1。

3.5.2計(jì)算過程比較分析

比較結(jié)果與【例2】一致。

3.6多位數(shù)連續(xù)退位減法

3.6.1【例6】5346-2349=2997

公式法計(jì)算過程

千位：公式4，5-2-1=2；

百位：公式6， 9，（連續(xù)退位）

十位：公式6， 9；（連續(xù)退位）

個(gè)位：公式5，6+1=7。

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法計(jì)算過程

個(gè)位：6-9不夠減，十位退1，16-9，16分解為6和10，10-9=1，6+1=7；

十位：4-4-1不夠減，百位退1，14-4-1，14-4=10，10-1=9；

百位：3-3-1不夠減，千位退1，13-3-1，13-3=10，10-1=9；

千位：5-2-1=2。

3.6.2計(jì)算過程比較分析

比較結(jié)果與【例2】一致。

4公式法在其他計(jì)算問題中的應(yīng)用

公式法的引入，使得十進(jìn)制運(yùn)算，全部都可以輕松解決，包括小數(shù)運(yùn)算和元角分及米分米厘米。

小數(shù)運(yùn)算其實(shí)同多位數(shù)加減法并無實(shí)際區(qū)別，只需對(duì)照小數(shù)點(diǎn)確定加減對(duì)應(yīng)的位數(shù)，運(yùn)算完成后，將小數(shù)點(diǎn)位放置正確即可。

4.1小數(shù)計(jì)算

【例7】7.86+5.08=12.94

十位：公式1，進(jìn)1；

個(gè)位：公式2，7-5+0=2；

十分位：公式1，8+0+1=9；

百分位：公式2，6-2=4。

【例8】11.25-6.78=4.47

十位：公式4，退1；

個(gè)位：公式5，1+4-1=4；

十分位：公式5，2+3-1=4；

百分位：公式5，5+2=7。

4.2元、角、分的計(jì)算（也可轉(zhuǎn)化為小數(shù)問題解決）

【例9】5元4角+2元7角4分=8元1角4分

元：公式1，5+2+1=8。

角：公式2，4-3+0=1。

分：4。

【例10】8元-6角3分=7元3角7分

元：公式4，8-0-1=7；

角：公式5，0+4-1=3；

分：公式5，0+7=7。

5.3米、分米、厘米的計(jì)算（也可轉(zhuǎn)化為小數(shù)問題解決）

【例9】7米5分米8厘米+6米7分米5厘米=14米3分米3厘米

米（十位）：公式1，進(jìn)1

米（個(gè)位）：公式2，7-4+1=4

分米：公式2，5-3+1=3

厘米：公式2，8-5=3

【例10】25米-3米6分米6厘米=21米3分米4厘米

米（十位）：公式4，2；

米（個(gè)位）：公式4，5-3-1=1；

分米：公式5，0+4-1=3；

厘米：公式5，4。

5公式法算理的延伸

5.1時(shí)間計(jì)算

同樣先引入補(bǔ)數(shù)概念，時(shí)間是60進(jìn)制，也就是一個(gè)數(shù)和它的補(bǔ)數(shù)之和等于60。

【例11】李老師7：40出發(fā)，9：15分到開會(huì)地點(diǎn)，請(qǐng)問路上走了多久？

解題思路：（分鐘數(shù)不夠減，時(shí)鐘數(shù)退1加補(bǔ)數(shù)）

時(shí)：9-7-1=1

9：15-7：40=1時(shí)35分

答：路上走了1時(shí)35分。

7結(jié)語(yǔ)

公式法，已被重慶市樂數(shù)藝術(shù)培訓(xùn)有限公司在實(shí)踐中驗(yàn)證，可以大大提升孩子計(jì)算的速度及準(zhǔn)確度。愿每一個(gè)孩子的學(xué)習(xí)過程，能夠降低一點(diǎn)難度，多收獲一份成就與快樂。

參考文獻(xiàn)

[1] 王衛(wèi)達(dá).新編珠心算[M].武漢：湖北人民出版社，2014.