☉浙江省寧波市海曙區(qū)龍觀中心學校 凌劍峰

原題：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，連接AC.若AC=6，則四邊形ABCD的面積為______.

分析：本題是2017年陜西省中考數(shù)學試卷第14題，填空的最后一題，求不規(guī)則圖形的面積，但解法不唯一.此題著重考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)，可以通過作輔助線構(gòu)造出正方形或者等腰直角三角形來達到轉(zhuǎn)化的目的，運用了模型思想，而解題的關(guān)鍵是作出有效的輔助線.

思路一：轉(zhuǎn)化成正方形

解：如圖2，作AM⊥BC交BC于M，AN⊥CD，交CD的延長線于點N.

因為∠N=∠AMC=∠BCD=90°，

所以四邊形AMCN為矩形，∠MAN=90°，

所以∠MAD+∠DAN=90°.

因為∠BAD=90°，

所以∠MAD+∠BAM=90°，

所以∠BAM=∠DAN.

又因為AB=AD，

所以△ABM≌△ADN（AAS），

所以AM=AN，S△ABM=S△ADN.

所以矩形AMCN為正方形，S四邊形ABCD=S正方形AMCN.

圖1

圖2

所以S四邊形ABCD=S正方形AMCN=（3）2=18.

思路二：轉(zhuǎn)化成等腰直角三角形

解：如圖3，過點A作AC的垂線交CD的延長線于點E，因為∠BAD=∠BCD=90°，所以∠CAB+∠CAD=90°，∠B+∠ADC=180°.

圖3

因為∠EAD+∠CAD=90°，∠EDA+∠ADC=180°，

所以∠EAD=∠CAB，∠EDA=∠B.

又因為AD=AB，

所以△EAD≌△CAB（ASA），

所以AE=AC=6，S四邊形ABCD=S△EAC，

所以△EAC是等腰直角三角形，

思路三：利用四點共圓、隱形圓

解：如圖4，連接BD.

因為∠BAD=∠BCD=90°，

所以Rt△BAD和Rt△BCD的外接圓都是以BD的中點為圓心，BD長為直徑，即A、B、C、D四點共圓，如圖作出四邊形ABCD外接圓.

因為AD=AB，

所以弧AD=弧AB，

所以∠ACD=∠ACB=45°.

作AM⊥BC交BC于點M，AN⊥CD，交CD的延長線于點N，

所以AN=AM，

所以Rt△AND≌△AMB（HL）.

后續(xù)計算過程同解法一，略.

解后反思：我們發(fā)現(xiàn)在原題的條件之下還有以下重要結(jié)論：①AC平分∠BCD，即∠ACD=∠ACB=45°；②S四邊形ABCD=AC2；③DC+BC=AC.所以本題屬于對一類對角互補的幾何模型的考查.

圖4

編題：已知△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，且AC=3，如圖5所示，將△DEF直角頂點D與△ABC的斜邊BC中點O重合，∠EDF繞點O旋轉(zhuǎn)，邊DE與邊AB交于點M，邊DF與邊AC交于點N.

圖5

（1）求證：OM=ON；

（3）如圖6，若將等腰Rt△ABC的AC邊長不變，AB變?yōu)?，把△DEF的直角頂點D移到Rt△ABC的斜邊BC的三等分點處，其余條件不變，請直接寫出DM∶DN的值.

圖6

圖7

解：（1）證明：如圖8，連接OA，作OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，

在等腰Rt△ABC中，O為BC的中點，

所以O(shè)A平分∠BAC，

所以O(shè)G=OH.

又因為∠OGA=∠GAH=∠AHO=90°，

所以四邊形OGAH是正方形，所以∠GOH=90°，

所以∠GON+∠NOH=90°.

因為∠EDF=90°，所以∠GON+∠MOG=90°，

所以∠MOG=∠NOH.

又因為∠OGM=∠OHN=90°，

所以△OGM≌△OHN（ASA），所以O(shè)M=ON.

（2）連接MN，分OM在OG左右兩側(cè)，如圖9、10.

圖8

圖9

圖10

（3）解：①當D落在靠近B的三等分點P處時，如圖11，易證△PGM∽△PHN，所以

圖11

圖12

②當D落在靠近C的三等分點Q處時，如圖12，

編題反思：我首先利用兩個全等的等腰直角三角形編制出與模型類似的證明題，把原中考題的條件作為結(jié)論考查學生，接著通過求出動△OMN的面積，確定OM的長，再利用勾股定理求出MG的長度，在此過程中注意分類討論，AM最終有兩個值，這點考查了學生綜合分析能力；最后一問通過改變△ABC的形狀及點D的位置，著重考查相似三角形的判定和性質(zhì)，比例線段及分類討論等.當然在解決最后一問的時候利用特殊位置來解題也不失為一種妙法.