☉湖北省陽(yáng)新縣白沙中學(xué) 羅 峻

課本是教育專家依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，經(jīng)過反復(fù)審編形成的教學(xué)素材，其基本理念、基本要求具有導(dǎo)向性和科學(xué)性.課本也是日常教學(xué)的基本范本，更是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)技能、數(shù)學(xué)思想方法，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體.在平時(shí)教學(xué)中，我們要最大限度利用課本素材，發(fā)揮出課本無法替代的優(yōu)勢(shì)，應(yīng)以課本中的例、習(xí)題為藍(lán)本，進(jìn)行類比加工，改編成思維含量較高又符合學(xué)生當(dāng)前認(rèn)知規(guī)律的題目，這樣能有效避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生遠(yuǎn)離資料的干擾，減少收集過多教材以外的題目，減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，發(fā)揮良好的教學(xué)導(dǎo)向功能.下面請(qǐng)看一道平凡的課本例題.

一、課本原題

題目：如圖1，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形對(duì)角線的長(zhǎng).

這是人教版八年級(jí)下冊(cè)第53頁(yè)的例題.題目重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)：矩形的對(duì)角互相平分且相等.加入60°的條件，產(chǎn)生了許多特殊的三角形，如等邊三角形：△AOB和△COD；底角為30°的等腰三角形：△AOD和△BOC；含30°角的直角三角形：△ABD、△ABC、△CDA和△CBD，并且每組三角形分別全等.當(dāng)然，課本試題的解答相當(dāng)簡(jiǎn)單，幾乎一望而知.如果僅僅就題論題，無疑會(huì)浪費(fèi)寶貴且有限的課本資源.如果能深入挖掘，充分利用基本圖形的結(jié)構(gòu)，進(jìn)行改造、增加條件，就能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的整合、方法的遷移，提升學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.

圖1

二、題目改編

變式（一） 基本圖形不變，增加角平分線的條件，求角的度數(shù)

例1 （祖沖之杯邀請(qǐng)賽）如圖2，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度數(shù).

評(píng)析：本題主要考查從復(fù)雜圖形中分解和發(fā)現(xiàn)基本圖形及運(yùn)用圖形性質(zhì)的能力.根據(jù)已知條件和例題結(jié)論，發(fā)現(xiàn)AB是等邊△ABO和等腰Rt△ABE公共邊，從而得出△BOE是等腰三角形，易求∠BOE=75°.

變式（二） 基本圖形不變，增加角平分線的條件，求線段長(zhǎng)

例2 （2018初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）如圖3，矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BD于點(diǎn)E，AB=1，∠CAE=15°，則BE=（ ）.

圖2

圖3

圖4

評(píng)析：BE所在的三角形ABE不是特殊三角形，無法直接求解，也無法直接求出DE的長(zhǎng).聯(lián)系到課本例題的圖形，如圖4，延長(zhǎng)AE并過點(diǎn)E作BC的垂線，由60°和45°的條件得到特殊三角形——等腰直角三角形、等邊三角形和30°角的直角三角形，再用線段之間的關(guān)系，建立方程即可解決問題.設(shè)BE=x，則因?yàn)锽F=BH+HF，所以x，解得x=-1，所以BE=-1.故選D. 這樣的題目設(shè)置，較好地考查了學(xué)生綜合利用已知條件分析問題的探究能力，其中，作出輔助線、建立方程是解題的關(guān)鍵.

圖5

變式（三） 基本圖形不變，增加角平分線條件，判斷多個(gè)結(jié)論是否成立

例3 （齊齊哈爾中考）如圖5，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，過C作CE⊥BD于E，延長(zhǎng)AF、EC交于點(diǎn)H，下列結(jié)論：①BO=BF；②CA=CH；③AF=FH；④BE=3ED.以上結(jié)論正確的有______.

評(píng)析：正確的結(jié)論是①②④.本題沿襲了變式一和變式二的圖形，并在此基礎(chǔ)上更進(jìn)一步豐富圖形的結(jié)構(gòu)，難度進(jìn)一步加強(qiáng).解題的關(guān)鍵在于找出特殊的三角形，并利用特殊三角形的性質(zhì)得出相關(guān)的線段長(zhǎng)，對(duì)于正確的命題可以推理證明；而對(duì)于錯(cuò)誤的結(jié)論③，則先假設(shè)其成立，再結(jié)合其他條件推導(dǎo)出與題目不符的結(jié)論，從而判斷結(jié)論③錯(cuò)誤.

變式（四） 保留題干，探求陰影部分面積

例4 （孝感中考）如圖6，矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，若∠ADB=30°，AB=4，則陰影部分面積之和是______.

圖6

評(píng)析：本題難度不大，運(yùn)用矩形是中心對(duì)稱圖形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)將分散的圖形集中在同一個(gè)三角形ABD中，所以陰影部分面積之和是8.從整體著眼探究問題，從整體上把握問題的解答，往往使解題變得思路清晰，步驟簡(jiǎn)潔.

圖7

變式（五） 保留題干，添置一條平行線，求圖形面積

例5 （肇慶中考）如圖7，四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若∠DBC=30°，BO=4，求四邊形ABED的面積.

評(píng)析：本題在課本例題的基礎(chǔ)上新添一條平行線，便出現(xiàn)了新的圖形——平行四邊形和直角梯形，求解直角梯形的面積.這樣的題目設(shè)置使四邊形的類型更豐富和多樣化，解題時(shí)需厘清各種四邊形的性質(zhì)與屬性，難度不大.四邊形ABED的面積

變式（六） 保留題干，增設(shè)兩條平行線，求線段長(zhǎng)

例6 （深圳市寶安區(qū)期末）如圖8，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE∥BD，過點(diǎn)D作ED∥AC，AE與ED相交于點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)F，若BE⊥ED于點(diǎn)E，AE=2，求CF的長(zhǎng).

評(píng)析：增設(shè)兩條平行線后，出現(xiàn)了特殊四邊形——菱形，還發(fā)現(xiàn)Rt△BED中，DE等于BD的一半，所以∠EBD=30°，進(jìn)一步∠AOB=60°，這樣，通過剝離條件，便是課本例題的圖形，易求CF=FO+OC=3.本題圖形復(fù)雜，從復(fù)雜的圖形中提取出熟悉的圖形是解題的基礎(chǔ)，需進(jìn)一步運(yùn)用各種圖形的性質(zhì)綜合解題，有一定的難度.

變式（七） 保留題干，加入垂直因素，探求定值

例7 （希望杯改編）如圖9，矩形ABCD中，已知AB=BO=1，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值為______.

圖8

圖9

圖10

評(píng)析：由矩形對(duì)角線相等且互相平分的性質(zhì)和AB=BO知，△ABO是等邊三角形，其本質(zhì)即“課本原題”，由已知條件中的兩條垂線，聯(lián)想到三角形的高，從而運(yùn)用面積法解題.連接PO.由DO=BO，得

幾何定值問題，指變動(dòng)的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些性質(zhì)或位置關(guān)系不變的一類問題.解決此類問題的基本方法是：分清問題的定量與變量，運(yùn)用特殊位置，先探求出定值，再給出解答過程.本題抓住△AOD的面積是個(gè)不變量，用等積法求解，顯得簡(jiǎn)潔而自然.

變式（八） 保留題干，加入等長(zhǎng)線段，探求最值

例8 （2018黃石中考模擬）如圖11，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AB=BO=4，M是矩形外一點(diǎn)，且MO=DO，求AM·MC的最大值.

評(píng)析：易知△ABO是等邊三角形，再由“一邊的中

線等于這邊的一半的三角形是直角三角形”知，△AMC是直角三角形，而所求問題是AM與MC的乘積的最大值，則問題轉(zhuǎn)化為求△ACM的面積的最大值.

圖11

而AC=2AO=8. ②

把②代入①知，8h=AM·MC，

要使AM·MC最大，只需AC邊上的高h(yuǎn)最大即可.

由“垂線段最短”知，OM≥h，

因此當(dāng)h=OM=4時(shí)，h最大，

即當(dāng)OM⊥AC時(shí)，AM·MC的最大值是8×4=32.

在動(dòng)態(tài)幾何問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變化時(shí)，稱求某幾何量的最大值或最小值問題為幾何最值問題.這類問題一般都可以歸結(jié)到兩個(gè)基本原理上，一是兩點(diǎn)之間線段最短，二是垂線段最短.實(shí)際解題時(shí)，需弄清題目的條件，把握?qǐng)D形特點(diǎn)，動(dòng)靜結(jié)合，執(zhí)果溯因，打開此類問題的突破口.

變式（九） 隱藏一條對(duì)角線，探究多個(gè)結(jié)論

例9 （丹東二模）如圖12，在矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，EF過點(diǎn)O且EF⊥AC，分別交DC于F，交AB于E，點(diǎn)G是AE中點(diǎn)，且∠AOG=30°，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）

圖12

A.4 B.3 C.2 D.1

評(píng)析：本題看似與“課本原題”無關(guān)，通過剝離已知條件進(jìn)一步挖掘結(jié)論，得到∠CAB=30°，如圖13，連接對(duì)角線后，則問題與“課本原題”同出一轍.可見通過隱藏主要線段來設(shè)置考題是加大題目難度的一種手段.熟悉基本圖形的結(jié)構(gòu)，并運(yùn)用圖形所蘊(yùn)含的結(jié)論，與其他條件綜合分析，問題則迎刃而解.正確的結(jié)論為：①③④，選B.

圖13

圖14

變式（十） 弱化條件，與相似結(jié)合.

例10 （武漢中考）如圖14，在矩形ABCD中對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)G，E是AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于F，連接FD，若∠BFA=90°，則下列四對(duì)三角形：①△BEA與△ACD；②△FED與△DEB；③△CFD與△ABG；④△ADF與△CFB.其中相似的為（ ）.

A.①④ B.①② C.②③④ D.①②③

評(píng)析：本題去掉60°的條件，使圖形向一般化轉(zhuǎn)換，增加了直角的條件，便出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，以其中一對(duì)相似三角形為基本結(jié)論，可逐個(gè)推出其他三角形相似.

由∠4=∠5，∠BAD=∠ADC，得△BEA∽△ACD，即①正確.由射影定理知，AE2=EF·BE，又AE=DE，那么=，∠FED公共，因此△DEF∽△BED，故②正確.

由結(jié)論②△DEF∽△BED知，對(duì)應(yīng)角∠1=∠2，

由外角知，∠3=∠1+∠4，而∠ABG=∠2+∠5，

又∠4=∠5，因此∠3=∠ABG，

又AB∥CD知，∠BAC=∠DCG，

由兩角相等知三角形相似得△CFD∽△ABG，即③正確.

△ADF是鈍角三角形，△CFB是直角三角形，所以④錯(cuò)誤.

因此①②③正確，選D.

當(dāng)然，這類弱化條件的考題還有很多，限于篇幅，此處不再列舉.

以上題目有的是競(jìng)賽題，有的是中考題，它們都改編自這個(gè)課本例題，一個(gè)看似平淡無奇，索然無味的素材，但命題者獨(dú)具慧眼，再起波瀾，這對(duì)日常教學(xué)與中考命題都是一個(gè)很好的啟示——最不起眼的，最是大乾坤.生活中不是缺少美，教育者的浮躁與輕率，遮蔽了最好的教學(xué)資源，考題留給我們的，是深刻的反思.

三、教學(xué)啟示

1.用好教材整合教材，提高效率

課本是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要課程資源，素材常常是陳述性的，是相對(duì)固定和靜態(tài)的，教師的一個(gè)重要任務(wù)就是在教學(xué)中拓展這種學(xué)習(xí)的平臺(tái).這就要求教師恰當(dāng)?shù)亍坝媒滩摹焙驼辖滩?，設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，幫助學(xué)生自主探索和合作交流；激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和好奇心，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，給學(xué)生提供學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間.教師要扮演好數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的新角色——組織者、引導(dǎo)者與合作者，適當(dāng)改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷探究問題的過程，并體會(huì)探究問題帶來的成功和樂趣.

葉圣陶先生曾說：“教材只能作為教課的依據(jù)，要教得好，使學(xué)生受到實(shí)益，還要靠教師的善于運(yùn)用.”教材中重要的例習(xí)題，或者提供重要的結(jié)論，或者體現(xiàn)某種數(shù)學(xué)思想，或者是更高層次數(shù)學(xué)命題的具體形式，它的延伸、轉(zhuǎn)化和擴(kuò)展，呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學(xué)世界.通常例題的選擇，既要求知識(shí)覆蓋面廣，又要突出重點(diǎn)，有利于強(qiáng)化“四基”，揭示解題的一般規(guī)律，還要注意例題要有啟發(fā)性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性.而習(xí)題的設(shè)計(jì)，要求習(xí)題有綱目作用，顯示知識(shí)之間的內(nèi)部聯(lián)系，體現(xiàn)知識(shí)的系統(tǒng)性和條理性，習(xí)題要有強(qiáng)化作用，習(xí)題設(shè)計(jì)要面向全體，要在知識(shí)難點(diǎn)上加強(qiáng)練習(xí)，以便使各種程度的學(xué)生都有收獲，特別要找出多數(shù)學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，有的放矢，設(shè)計(jì)相應(yīng)的習(xí)題，習(xí)題要有啟發(fā)作用，通過習(xí)題的典型性以點(diǎn)帶面，舉一反三；精選數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的范例還需注意不能局限于教材原來的例題、習(xí)題的形式，根據(jù)教學(xué)需要，調(diào)整教材例題和習(xí)題的位置.因此，教師應(yīng)努力鉆研教材，合理補(bǔ)充能夠凸顯教材內(nèi)容的范例，全面把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的地位與作用，深刻理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，理解相關(guān)內(nèi)容的數(shù)學(xué)教育價(jià)值，把握知識(shí)生成的線索，掌握核心知識(shí)和核心思想方法，保證教學(xué)設(shè)計(jì)的針對(duì)性和合理性，提高課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)的數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展價(jià)值，提高課堂教學(xué)的效率.

2.改編拓展課本例題，發(fā)展思維

目前教育改革的核心任務(wù)是“立德樹人”，根本任務(wù)是發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).在數(shù)學(xué)學(xué)科中，發(fā)展數(shù)學(xué)思維是重中之重，因此在數(shù)學(xué)課堂中，通過例題教學(xué)來發(fā)展數(shù)學(xué)思維是不二的選擇.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》中指出：數(shù)學(xué)例題教學(xué)的目的不僅是為了運(yùn)用新知，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和思維能力.即不以題論題，學(xué)會(huì)思維的發(fā)散性和延伸性，從廣度和深度兩方面去培養(yǎng).

我們知道，培養(yǎng)學(xué)生解題能力，掌握思維方法，是一個(gè)比較復(fù)雜和漫長(zhǎng)的過程，但只要以課本中的例、習(xí)題作為載體，發(fā)揮其潛在功能，充分運(yùn)用，并挖掘、延伸和改造運(yùn)用，一定可以提高課堂效率，切實(shí)提升學(xué)生的綜合能力.為什么選用課本的題目進(jìn)行改編呢？正如章建躍博士所說：“教材的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容順序是反復(fù)考量的，語(yǔ)言是字斟句酌的，例題是反復(fù)打磨的，習(xí)題是精挑細(xì)選的.”因此在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，面對(duì)教材，我們應(yīng)該懷有敬畏之心，認(rèn)真研讀，體會(huì)教材中的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容順序、語(yǔ)言組織、例題和習(xí)題的意圖等，而不應(yīng)舍近求遠(yuǎn)，熱衷導(dǎo)學(xué)案，熱衷教輔，大搞題海戰(zhàn).但為什么師生卻樂此不疲呢？一個(gè)重要原因是教材中的例題看上去太簡(jiǎn)單，太平庸，教師覺得無法應(yīng)付中考，也沒有著力進(jìn)一步挖掘例題的深刻內(nèi)涵.

其實(shí)教材的例、習(xí)題內(nèi)涵豐富，教育教學(xué)功能多樣，具有很強(qiáng)的探究性.當(dāng)完成一個(gè)問題的解答后，有必要對(duì)該題的內(nèi)容、形式、結(jié)構(gòu)等，做進(jìn)一步的探討，認(rèn)真掌握例、習(xí)題所反映的問題的本質(zhì).如果能對(duì)一個(gè)內(nèi)涵豐富的例、習(xí)題進(jìn)行一題多變，從中總結(jié)解題方法，從變中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從變中發(fā)現(xiàn)不變，必將使學(xué)生加深對(duì)解題方法的理解，掌握典型題目的解題規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

“問渠哪得清如許？為有源頭活水來”，對(duì)于教材例、習(xí)題這一源頭活水，需要我們?nèi)フJ(rèn)真領(lǐng)會(huì)和仔細(xì)研究.教師設(shè)計(jì)例題的時(shí)間花得多一些，學(xué)生練習(xí)的時(shí)間就會(huì)少一些；設(shè)計(jì)的例題精一些，學(xué)生就會(huì)學(xué)得活一點(diǎn)，好一點(diǎn).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要重視教材中的題目，做到立足課本，回歸教材.我們也期待有更多更好的試題源于課本，這時(shí)就會(huì)不由自主地想起張奠宙先生說過的一句話：“當(dāng)考題發(fā)源于課本的時(shí)候，那些大搞傻練、死練者就會(huì)覺得得不償失.”