☉甘肅省通渭縣通和初級中學(xué) 張守榮 湯潤華

《現(xiàn)代漢語詞典（第6版）》對核心和素養(yǎng)是這樣解釋的：核心即中心，主要部分（就事物之間的關(guān)系而言）；素養(yǎng)即平日的修養(yǎng).360百科和百度百科對核心的解釋與其相同，但對素養(yǎng)均解釋為通過訓(xùn)練和實(shí)踐而獲得的一種道德修養(yǎng).無論是《現(xiàn)代漢語詞典（第6版）》，還是360百科和百度百科，都沒有對核心素養(yǎng)進(jìn)行專門的解釋，“核心素養(yǎng)”并不是核心和素養(yǎng)兩個詞的簡單疊加，“核心素養(yǎng)”這個概念舶來于西方，英文詞是“Key Competencies”.“Key”在英語中有“關(guān)鍵的”、“必不可少的”等含義.“Competencies”也可以直譯為“能力”，但從它所包含的內(nèi)容看，譯成“素養(yǎng)”更為恰當(dāng).簡言之，“核心素養(yǎng)”就是“關(guān)鍵素養(yǎng)”.結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，王尚志、史寧中等專家對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)給出了界定：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析共六個方面；共包含10個核心概念，即數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也完全符合“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的要求.課堂是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主陣地.本文以人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書八年級上冊“13.3.1等腰三角形”的一道例題為例，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在例題教學(xué)中的滲透進(jìn)行闡述.

圖1

一、理解例題，提高運(yùn)算能力和推理能力

例題呈現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù).

師：題中要求的是角的度數(shù)，但條件中只說了一些線段之間的相等關(guān)系，沒有說出任何一個角的度數(shù)，我們從哪兒尋求突破？

生1：可以通過等腰三角形的性質(zhì)把邊相等轉(zhuǎn)化為角相等.

師：請具體說一下.

生1：由AB=AC可以得到∠ABC=∠C，由BD=BC=AD可以得出∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.

師：很好！雖然從題目條件來看并沒有說任意一個角的度數(shù)，但是利用等腰三角形的性質(zhì)，通過相等的邊找到了相等的角，這樣就為求出△ABC的各角提供了一種可能，但是只有這些關(guān)系還不夠，還要尋找出這些角之間的其他關(guān)系.

生2：因?yàn)椤螧DC=∠A+∠ABD，再由生1所說的幾組相等的角可知，∠ABC=∠C＝2∠A.

師：這樣我們就厘清了△ABC各角的關(guān)系，它們的兩個底角相等，底角為頂角的兩倍，現(xiàn)在如何求出這三個角？

生3：根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，再結(jié)合生2推出的三個角之間的關(guān)系，可知5∠A＝180°，最后可求得∠A＝36°，∠ABC=∠C＝72°.

師：這三位同學(xué)的分析和推理很棒，實(shí)際上我們把頂角為36°或者底角為36°的等腰三角形叫做黃金三角形，這里的△ABC實(shí)際上就是黃金三角形的一種，既然叫做黃金三角形，它自然和黃金一樣彌足珍貴，大家一定要好好珍惜和研究這類三角形.

點(diǎn)評：這個題目對剛剛學(xué)習(xí)等腰三角形性質(zhì)的學(xué)生而言并不難，部分學(xué)生能夠迅速知道結(jié)果，但是在求三個內(nèi)角度數(shù)的過程中，教師并沒有要求讓學(xué)生快速地求出結(jié)果，而是不急不徐地讓多個學(xué)生來完成，生1完成了由等邊到等角的轉(zhuǎn)化，這樣就把“由邊求角”的“異類”問題轉(zhuǎn)化為“由角求角”的“同類”問題，讓學(xué)生慢慢體會轉(zhuǎn)化思想，也符合“慢教育”規(guī)律.然后再由生2和生3分別通過三角形的任意一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和、三角形的內(nèi)角和等于180°解決這個問題，這兩個知識點(diǎn)由不同的學(xué)生說出，有利于后進(jìn)生對知識的分化復(fù)習(xí)和理解，也有利于對本題的解決.在問題解決之后，教師“突然”給出教材中并沒提到的黃金三角形概念，教師“僅僅”給出了概念，沒有解釋為什么要這樣“稱呼”，這個 “稱呼”要在學(xué)習(xí)了相似之后來理解體會，教師在此處并沒有多言，因此這個“陌生”概念不僅不會增加學(xué)生負(fù)擔(dān)，相反反映出教師對學(xué)生“負(fù)擔(dān)”的重視，這時提出讓學(xué)生有更多的想象空間，“為什么叫做黃金三角形？會不會和黃金分割數(shù)有關(guān)？”在拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識面的同時一下會激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生感到這個題目不“簡單”，為進(jìn)一步研究埋下伏筆.

圖2

二、尋找形似，形成空間觀念和幾何直觀

師：請大家找一下，這個圖形中共幾個三角形？生4：共有三個，它們分別為△ABC，△BCD，△ABD.

師：這些三角形有什么特征？

生5：都是等腰三角形.

師：我們又把它叫做什么三角形？

生6：黃金三角形.

師：非常好，圖1可以認(rèn)為是作頂角為36°的等腰三角形的一個底角的角平分線，從而構(gòu)造出了另一類黃金三角形.現(xiàn)在請大家先畫一個底角為36°的等腰三角形，然后再想辦法構(gòu)造出另一類黃金三角形

生7：（生7把他的圖形在屏幕上做了展示，為了和上圖對比研究方便，把圖2作了一定的技術(shù)處理，把原圖的字母C和D作了交換，并且把原圖中虛線都改成了實(shí)線，生7的部分?jǐn)⑹鲆哺某珊蛨D2匹配的語言）我先畫出底角為36°的等腰三角形△ABD，如果再在這個圖形中畫出頂角為36°的等腰三角形，只需把其中一個底角變成頂角就可以了，我把線段AD延長到點(diǎn)C，使AC＝AB，然后連接BC，就有△ABC為頂角為36°的等腰三角形，同時可知△BCD也為頂角為36°的等腰三角形.

師：生7做得非常好，通過這樣一做，一下找出兩個頂角為36°的等腰三角形.那么圖1和圖2一樣嗎？

眾生意見不一.

師：看來意見還是不一樣，誰發(fā)表一下自己的見解？

生8：一樣，圖2實(shí)際可以由圖1繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)108°得到，所以這兩個圖形實(shí)際上是一樣的.

師：從這兩個圖中可看出，兩類黃金三角形可以互相轉(zhuǎn)化而得出，它們遙相呼應(yīng).

點(diǎn)評：通過對圖1的研究，學(xué)生有強(qiáng)烈的繼續(xù)研究這個題目的意愿，教師抓住學(xué)生心理特點(diǎn)，繼續(xù)挖掘例題資源，由于學(xué)生知識儲備量的限制，教師只是引導(dǎo)學(xué)生去畫圖，然后，通過觀察發(fā)現(xiàn)兩個圖形實(shí)際可以認(rèn)為是同一個圖形，目的就是讓學(xué)生明白兩個黃金三角形之間可以和諧地轉(zhuǎn)化，感受到數(shù)學(xué)之間的和諧美和統(tǒng)一美，看似“多余”的研究恰好彰顯教師的別出心裁.

三、追求神似，構(gòu)建模型思想和應(yīng)用意識

師：大家還有沒有其他的辦法來構(gòu)造出另一類黃金三角形？

生9：我是在線段AB上截取AD=AC，然后連接CD，這樣就有△ACD就是頂角為36°的黃金三角形，同時也可推出△BCD為底角為36°的黃金三角形.

師：生8是通過延長腰的辦法把底角變成頂角找到另一類黃金三角形，這時我們可以想到在底邊上截取和腰等長的辦法來找到另一類黃金三角形，生9為我們想到了這個辦法，多角度考慮問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常必要的.那么，圖3和圖1、圖2一樣嗎？

眾生：（沉默片刻）一樣.

生10：不一樣，圖3無法通過旋轉(zhuǎn)得出.

師：無法通過旋轉(zhuǎn)得出，那能否通過平移、翻折等變換得出？

眾生：（沉默片刻）不能.

師：通過大家認(rèn)真觀察之后，圖3和圖1、圖2并不是同一個圖形，大家還能通過哪些辦法說明它們不一樣？

生11：圖1、圖2共有三個三角形，其中兩個是頂角為36°的等腰三角形，一個是底角為36°的等腰三角形，而圖3中一個是頂角為36°的等腰三角形，兩個是底角為36°的等腰三角形，所以這兩個圖形自然不一樣.

師：生11觀察非常仔細(xì)，實(shí)際上這兩個圖形不一樣，雖然它們不一樣，但是我們可以認(rèn)為它們形不似而神似，它們都由兩類不同的黃金三角形組合而成.

圖3

點(diǎn)評：本以為在學(xué)生討論出圖1和圖2后，對這個例題的研究會“圓滿”收場，沒想到教師完全沒有停下來的意思.不斷讓學(xué)生在畫圖、觀察中體會數(shù)學(xué)知識的生成過程，無形中完成了數(shù)學(xué)圖形從有形到無形、從形似到神似的轉(zhuǎn)化.這使我想起來了日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏的一段敘述：學(xué)生在學(xué)校學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會去用，一兩年后很快就忘掉了；然而，不管他們從事什么工作，那種深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時隨地在發(fā)揮作用，使他們終身受益.這里所說的“學(xué)校教育忘掉后所留下的”實(shí)際上就指的數(shù)學(xué)思想和方法，顯然教者追求的是當(dāng)他們走向社會忘掉數(shù)學(xué)知識后留下的“東西”.

四、拓展延伸，體驗(yàn)分類思想和歸納思想

生12：老師，我還有辦法在底角為36°的等腰三角形中做出頂角為36°的等腰三角形，如圖4所示（他向大家展示了所畫圖形）.

師：噢！不錯??！看來大家已經(jīng)在這道題上“停”不下來了，不過相比前幾個圖形，這個圖形“只有”兩個三角形，大家可以在此基礎(chǔ)上能“畫”出更多的黃金三角形嗎？

生13：延長AC、BC分別交BD、AD于點(diǎn)E、F，這樣會出現(xiàn)好多黃金三角形（如圖5）.

師：很好！那么圖5共有多少個三角形？多少個黃金三角形？請同學(xué)分小組討論出來.

圖4

圖5

圖6

（片刻之后）

生14：共有八個三角形，且這八個三角形都是黃金三角形.其中△ABD、△ACF、△BEC、△ABE、△ABF是頂角為36°的黃金三角形，△ABC、△AED、△BDF是底角為36°的黃金三角形.

生15：我們一組還把EF連接了，如圖6，這時又增加了一些三角形，且這些三同樣都是黃金三角形，多出來三角形的△DEF、△CEF、△AEF、△BEF，至于它們是哪一類黃金三角形不用我說了吧?。ㄎ⑽⒁恍Γ?/p>

老師：大家都這么棒！對于這樣一個“簡單”的例題竟然能找到這么多“資源”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一定要善于觀察、善于總結(jié)，才有可能學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué).

點(diǎn)評：在討論完前三個“圖形”之后，看起來對于此類圖形的研究已經(jīng)完美了，教師也準(zhǔn)備對這個例題收場，準(zhǔn)備下一環(huán)節(jié)內(nèi)容，但是生12讓課堂“節(jié)外生枝”，學(xué)生牽著教師的鼻子走，老師也很“聽話”地順著學(xué)生的思路，并沒有強(qiáng)行阻止或者強(qiáng)行總結(jié)學(xué)生的發(fā)言，索性再提出一些更有挑戰(zhàn)性的問題 （不斷地在生12給出的圖形上加線），及時地讓學(xué)生分組討論，把學(xué)生的獨(dú)立思考和小組合作結(jié)合的恰到好處.當(dāng)討論到這里時，距離下課還有三分鐘，教師準(zhǔn)備的教學(xué)內(nèi)容顯然無法完成，“必要”的課堂練習(xí)還沒有做，表面看起來是結(jié)構(gòu)不完整的一節(jié)課，但這些恰好說明“藝高人膽大”，教師很好地抓住生12的發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生接著討論，在尋找三角形時怎樣找才能不重不漏，這體現(xiàn)了分類思想，然后把找到的三角形怎樣歸類，這又體現(xiàn)了歸納思想，這兩個思想作為非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，教師在教學(xué)中讓學(xué)生做到完美的體驗(yàn)，真正做到了以生為本，注重對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)展.

五、結(jié)束語

從例題展示的“黃金三角形”出發(fā)，先讓學(xué)生求出三角形三個內(nèi)角的度數(shù)，讓所有的學(xué)生都體會成功的喜悅，并提高了學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力，體現(xiàn)出運(yùn)算能力和推理能力作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本要求.然后“話鋒一轉(zhuǎn)”，提出一系列“畫圖”問題，把所有的問題都轉(zhuǎn)化為分析和觀察圖形，在圖形中找出盡可能多的結(jié)論，同時提出的問題具有一定的開放性和挑戰(zhàn)性，不同的學(xué)生會有不同的觀察結(jié)果，自然會有不同的收獲，然后集眾人之力完善結(jié)論，在討論過程中既有獨(dú)立思考，又有小組合作，每個學(xué)生都體驗(yàn)到了空間觀念和幾何直觀，同時還培養(yǎng)了學(xué)生的模型思想、歸納思想、分類思想以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，而這些正好是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心內(nèi)容.

數(shù)學(xué)課堂是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主陣地，例題教學(xué)自然也承載著重要的任務(wù).但是核心素養(yǎng)不同于全面素養(yǎng)，核心素養(yǎng)必須是“核心”的素養(yǎng)，核心素養(yǎng)之外，還應(yīng)該有“非核心素養(yǎng)”，因此僅憑一道例題不可能把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)容面面俱到，對于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成不能一蹴而就，更不能照本宣科，一線教師能做的就是盡可能多地挖掘和發(fā)現(xiàn)教材資源，學(xué)習(xí)資源，讓盡可能多的學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).