☉江蘇省海門市能仁中學 袁潛花

初中數(shù)學教學不但要教授數(shù)學知識，也要培養(yǎng)學生的數(shù)學思想.下面，筆者以數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)為例探討一下筆者在教學中的思考.

一、初中數(shù)學教學體系下的數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)

在組織初中數(shù)學教學時，我們不但要指導學生研究數(shù)學知識，更要啟發(fā)他們在逐步思考的過程中形成數(shù)學思想，因為它是數(shù)學學科的魂魄所在.它不但指明了問題探索的方向，而且也對學生的數(shù)學實踐有著支配性的作用.因此，在數(shù)學課堂上，教師要引導學生以最積極的姿態(tài)進行反思，并從中提取數(shù)學思想.

在眾多的數(shù)學思想中，數(shù)形結(jié)合有著非常重要的地位，它是研究者從題設(shè)情境和結(jié)論之間的關(guān)系著手，將某些數(shù)量上的特點和圖形聯(lián)系起來，由此從更加全面而多元的角度來分析和研究問題，這樣的處理能讓學生對數(shù)學模型形成更加直觀的認識，他們的思路將更加清晰，問題的解決也將更加高效.

在初中數(shù)學課堂上，我們鼓勵學生從數(shù)形結(jié)合的思想著手來探索數(shù)量關(guān)系或圖像關(guān)系，學生也將更加深刻地領(lǐng)會到這種思想的價值所在，進而他們將更加主動地將這一思想運用于數(shù)學知識的理解和數(shù)學問題的分析中，這有助于培養(yǎng)他們思維的靈活程度，同時他們問題的解決能力也將因此而獲得提升.數(shù)形結(jié)合的思想往往體現(xiàn)在這樣一些方面：圍繞代數(shù)問題建立相應(yīng)的幾何模型；運用圖像來研究函數(shù)問題；運用代數(shù)知識研究和分析幾何問題.

很多數(shù)學問題有著這樣的特點：若只用代數(shù)方法來處理，則顯得生澀且缺乏直觀性；若只是靠著圖形來分析，則嚴謹性有所缺失；若我們能將兩個方面結(jié)合起來研究和分析，則能實現(xiàn)優(yōu)勢的互補，進而實現(xiàn)更好的教學效果.當我們在教學中引導學生培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力時，關(guān)鍵是要幫助學生明確數(shù)形之間的契合點，比如在處理幾何問題時，如何將幾何上的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量上的關(guān)系，讓學生能夠?qū)崿F(xiàn)以數(shù)解形，從而讓原本抽象的問題更加直觀和具體，這樣的處理顯然更有助于學生獲得理解，實現(xiàn)事半功倍的學習效果.

總之，數(shù)形結(jié)合是學生在學習初中數(shù)學的過程中不可或缺的一項手段和方法，我們在教學過程中要注意相關(guān)思想的滲透，以此來幫助學生獲取認識，同時也能提升學生的思維水平.

二、初中數(shù)學課堂上培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想的基本途徑

1.在概念教學中滲透數(shù)形結(jié)合的思想

概念是學生數(shù)學學習的基礎(chǔ)，它是對數(shù)學本質(zhì)屬性最深度的刻畫，同時它也是學生建構(gòu)數(shù)學思維的細胞，是初中數(shù)學知識的組成元素，是學生展開推理和判斷的根本依據(jù)，當然它們還是學生認識數(shù)學公理、公式的根基，是學生一切思維活動的起始點.

數(shù)學概念的形成過程，本就包含著大量的數(shù)學研究思想.我們在組織學生研究相關(guān)概念時，要引導學生從探究中體驗概念的形成，同時也要指導他們感悟其中的分析、綜合、比較等過程，尤其是對包括數(shù)形結(jié)合在內(nèi)的數(shù)學思想，我們要指導學生在探索過程中形成感悟.比如，“平行線分線段成比例”，這是一個相對純粹的幾何概念，但是我們在指導學生進行研究時，要結(jié)合學生在代數(shù)中的所學展開比較分析，引導學生用代數(shù)語言來表述圖形中的特點，學生也將由此而產(chǎn)生更為深刻的認識.再比如，為了研究二次函數(shù)的極值特點，我們引導學生畫出函數(shù)的圖像，讓他們在圖形中進行總結(jié)和辨析，這樣的處理有助于學生認識的提升和發(fā)展.

2.在例題分析中滲透數(shù)形結(jié)合的思想

學生的數(shù)學學習離不開教師對例題的講解，因為這不但可以指導學生對數(shù)學知識產(chǎn)生更深的認識和理解，而且學生也將在例題的分析和探索中明確隱含在其中的數(shù)學思想和研究方法.就數(shù)形結(jié)合的思想滲透來講，教師要有意識地將涉及到此類方法的問題展示在學生面前，引導學生從中體會數(shù)與形之間的關(guān)聯(lián)，從而促使他們有意識地訓練有關(guān)思維方法.

例1 已知等腰△ABC中，AB和AC為其兩個腰，長度為5，三角形的面積為12，求tan∠ABC.

圖1

分析：本題應(yīng)該是一個標準的幾何問題，為了處理這個題目，我們可以在如圖1所示的等腰△ABC中畫出底邊的高，然后只要確定AD和BD的長度，即可直接表示出tan∠ABC.下面，我們可以采用數(shù)形結(jié)合的思想來繼續(xù)問題的分析和處理.

首先圍繞三角形底邊上的高AD可以確認BD=DC.

假設(shè)BD=x，AD=y，且x＞0，y＞0，因此有BC=2x.

可以看到，在上述問題中，學生采用數(shù)形結(jié)合的思想來切入，先由幾何規(guī)律明確各元素之間的關(guān)系，再引導學生將其轉(zhuǎn)化為方程來實現(xiàn)問題的處理，整個過程每一個環(huán)節(jié)都缺一不可，否則問題將無法得到解決.

3.在數(shù)學實踐中滲數(shù)形結(jié)合的思想

實踐性應(yīng)該是新課程最為本質(zhì)的內(nèi)涵，將其落實在初中數(shù)學教學中，教師要堅決落實“做中學”的教學理念.該理論要求教師在指導學生認識數(shù)學知識、體會數(shù)學方法時都要在學生的切身參與中進行感悟和體會.而且在學生圍繞某些實踐主題展開分析和探索時，我們要鼓勵學生有效觀察和比較，從中領(lǐng)會思想內(nèi)涵，在這一過程中，教師可以有意識地將數(shù)形結(jié)合的思想滲透其中.

圖2

例2 南海自古以來就是我國的領(lǐng)土，但是某些東南亞小國對此覬覦已久，某日我海軍部隊監(jiān)測到一艘可疑船只A在某島礁的軍事基地附近活動，便派遣快艇B從海岸出發(fā)前去追捕，如圖2所示，可疑船只A見狀迅速向公海區(qū)域逃竄，快艇B在其后窮追不舍，圖3中的l1和l2分別對應(yīng)兩只船對應(yīng)海岸的距離s與追趕時間t之間的關(guān)系.請結(jié)合圖象進行分析：

圖3

（1）l1和l2中的哪條線對應(yīng)的是快艇B對應(yīng)海岸距離與時間的關(guān)系？

（2）兩艘船的速度哪一個更快？

（3）十五分鐘內(nèi)我海軍快艇B能否追上可疑船只A？

（4）如果持續(xù)追趕，我海軍快艇B是否一定能追上可疑船只A？

（5）已知距離海岸12海里的位置為公海區(qū)域，一旦可疑船只A逃到這一位置，我海軍快艇B將無法再繼續(xù)追趕，請分析我海軍快艇B能否在此之前追上.

分析：這個問題以圖形來提供情境，在處理的過程中需要學生從圖形中收集有用信息，然后匹配問題展開研究.由圖像可以發(fā)現(xiàn)，海軍快艇B在計時起點剛剛由海岸出發(fā)，因此l1表示快艇B到海岸距離和時間之間的關(guān)系；從圖像上，我們可以看到l1圖像更陡，這表明海軍快艇B在相同時間內(nèi)有更大的位移，所以海軍艦艇B的速度要更大；至于第三個問題，我們可以根據(jù)兩艘船的圖像特點著手，寫出它們的解析式，有海軍快艇B所對應(yīng)的解析式為s1=k1t，可疑船只A的解析式為s2=k2t+b.結(jié)合圖像，可以確認k=，k=，b=5.即兩條解析式為s=t，121=t+5.當t=15時有s=7.5，s=8，由此可見十五分鐘時，12海軍快艇B沒有追上可疑船只A；考慮到海軍快艇B在速度上的優(yōu)勢，因此能追上可疑船只A；當s2=12時，t=35，這段時間海軍快艇B所運動的距離為s1=17.5，大于12，這意味著海軍快艇B可以在可疑快艇A到達公海之前追上它.

上述問題是一個典型的和實際聯(lián)系起來的問題，我們通過這樣的問題來啟發(fā)學生從圖像中搜集信息，并將其轉(zhuǎn)化為解析式的形式，這樣的教學有助于學生對數(shù)形結(jié)合思想的運用，能夠有效鍛煉學生的相關(guān)能力.

綜上所述，教師在教學中要結(jié)合學生的學習規(guī)律，積極注重數(shù)形結(jié)合思想的滲透，這樣的處理有助于學生提升數(shù)學學習效率，也有助于發(fā)展學生的思維品質(zhì).