☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實驗中學(xué) 王小燕

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下），全國著名特級教師李庾南老師就反比例函數(shù)起始課教學(xué)給出了精彩的教學(xué)設(shè)計（見文［1］），讓我們大開眼界，才發(fā)現(xiàn)“教材重組”、“單元教學(xué)”原來是我們一線教師都可以嘗試的.對比以前，我們只是機械地執(zhí)行教材順序，嚴(yán)格按教材上的分節(jié)、分課時亦步亦趨，這給我們的專業(yè)思考和教學(xué)設(shè)計帶來了很大的沖擊.本文以二次函數(shù)起始課為例，談?wù)劰P者在一次校級教研課中的教學(xué)嘗試，敬請指導(dǎo).

一、二次函數(shù)起始課教學(xué)研究

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 研究實際問題，引入新課

課件出示一些現(xiàn)實生活中實際問題（限于篇幅，摘自教材上的相關(guān)問題情境，這里略去），安排學(xué)生用函數(shù)模型來刻畫，學(xué)生很快就寫出一次函數(shù)和二次函數(shù)的關(guān)系式，跟進以下問題：

問題1：你們寫出的這些函數(shù)關(guān)系式中，哪些是熟悉函數(shù)類型，哪些是不熟悉的函數(shù)類型？（一次函數(shù)是熟悉的類型）

問題2：你們覺得這些不熟悉的函數(shù)類型應(yīng)該取怎樣的名稱？（二次函數(shù)）

教學(xué)組織：在學(xué)生列出一次、二次函數(shù)關(guān)系式之后，引出本課研究課題：二次函數(shù).并引導(dǎo)學(xué)生類比一次函數(shù)的定義，定義二次函數(shù)，教師根據(jù)學(xué)生的歸納，提取有效信息形成板書：形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).

教學(xué)時注意跟學(xué)生強調(diào)：x是自變量，a，b，c分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 復(fù)習(xí)一次函數(shù)研究過程，為建構(gòu)二次函數(shù)知識框架作準(zhǔn)備

問題3：回顧一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，是從哪幾個方面進行研究的？

教學(xué)組織：引導(dǎo)學(xué)生回顧從實際問題抽象一次函數(shù)，在此基礎(chǔ)上形成一次函數(shù)概念，研究一次函數(shù)圖像和性質(zhì)，利用一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解，得實際問題的答案.

問題4：一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)又是如何研究的？

教學(xué)組織：引導(dǎo)學(xué)生回顧畫函數(shù)圖像，觀察圖像小結(jié)歸納一次函數(shù)圖像和性質(zhì)，經(jīng)歷了從特殊到一般的探究過程，先研究了特殊的一次函數(shù)——正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像和性質(zhì)，再研究了一般的一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像和性質(zhì)；并且分了k＞0，k＜0，兩種情況討論，由k取具體的數(shù)值入手，最后歸納出一般的情況.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 建構(gòu)二次函數(shù)章知識框架，明確研究方向

教學(xué)組織：在復(fù)習(xí)一次函數(shù)學(xué)習(xí)路徑之后，引導(dǎo)學(xué)生猜想接下來要學(xué)習(xí)二次函數(shù)的哪些內(nèi)容，教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)之上，填補到如下的二次函數(shù)全章知識框架圖（生成板書）.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 從簡單出發(fā)，探究y=ax2（a≠0）的圖像與性質(zhì)

教學(xué)組織：引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)類比一次函數(shù)的研究內(nèi)容和方法，從最簡單、最特殊的二次函數(shù)y=x2開始研究，在畫出圖像之前，先引導(dǎo)學(xué)生慢下來、停下來，不急于畫出它的圖像.

停留處一：認(rèn)真觀察函數(shù)表達式x2，從“式”的角度，談?wù)勛宰兞咳≈涤袥]有限制條件？進一步思考函數(shù)值與自變量之間有怎樣的對應(yīng)關(guān)系，函數(shù)值會在什么范圍里？猜想、想象它的圖像會有怎樣的特點？

停留處二：列表、取點有什么技巧或注意事項？從解析式分析自變量的取值范圍，在此基礎(chǔ)上合理的選取x的值，計算y的值.分析表格中數(shù)據(jù)的特點，預(yù)測、想象圖像的特點：過原點（0，0），其余各點均在x軸的上方；無最高點，原點為最低點；圖像關(guān)于y軸對稱.

最后再安排學(xué)生描點連線生成圖像，學(xué)生動手實踐，對稱描點，從左至右用平滑的曲線順次連接.在描點的過程中，驗證此前兩處停留時對二次函數(shù)y=x2的圖像的猜測與想象.

教學(xué)環(huán)節(jié)（五） 成果擴大，小結(jié)概括二次函數(shù)y=x2的圖像特征和性質(zhì)

教學(xué)組織：在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，繼續(xù)畫二次函數(shù)y=x2，y=2x2的圖像，與函數(shù)y=x2的圖像比，有什么共同點？有什么不同點？當(dāng)a＞0時，二次函數(shù)y=ax2的圖像有什么共同特點？

引導(dǎo)學(xué)生類比研究二次函數(shù)y=x2的角度和方法，嘗試從對稱軸、頂點、開口方向、開口大小及增減性等方面描述圖像特征和性質(zhì).

進一步小組內(nèi)取a＜0時，猜想、確認(rèn)圖像與性質(zhì)，最后梳理、歸納二次函數(shù)圖像與性質(zhì)（教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，調(diào)整完善生成結(jié)構(gòu)化板書）：

當(dāng)a＞0時，拋物線y=ax2的開口向上，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最低點，a越小，拋物線的開口越大.

當(dāng)a＜0時，拋物線y=ax2的開口向下，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最高點，a越小，拋物線的開口越小.

二、關(guān)于二次函數(shù)起始課的教學(xué)思考

（一）基于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，重視“類比教學(xué)”

根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，我們的教學(xué)起點可以選在學(xué)生已有的知識點、學(xué)習(xí)經(jīng)驗之處，在此基礎(chǔ)上，基于數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系、邏輯關(guān)系進行恰當(dāng)?shù)倪x取，形成教學(xué)設(shè)計并規(guī)劃教學(xué)流程.比如二次函數(shù)起始課是九年級所學(xué)內(nèi)容，學(xué)生的知識起點是一次函數(shù)，與函數(shù)相關(guān)的概念、研究套路也是學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，這時我們就選定了一組情境問題，學(xué)生列出了一次函數(shù)關(guān)系式、二次函數(shù)關(guān)系式，就自然的引向二次函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)等問題，并且在開課階段安排學(xué)生復(fù)習(xí)一次函數(shù)的研究方法、路徑，也是提醒學(xué)生要善于類比“一次”學(xué)“二次”.

（二）教學(xué)重點與難點之處，切勿“一帶而過”

我們知道，教學(xué)重點不能輕輕“滑過”.本課教學(xué)重點是二次函數(shù)y=x2的圖像與性質(zhì)，并由此“走向一般”，在這個教學(xué)過程中，“萬事開頭難”的道理是一致的.我們不能因為函數(shù)y=x2的圖像與性質(zhì)很簡單，一帶而過就行了，把教學(xué)與訓(xùn)練的重點轉(zhuǎn)向研究“走向一般”的情形.事實上，清楚最簡單的函數(shù)y=x2的圖像與性質(zhì)是教學(xué)重點之后，需要辨明如何避免“一帶而過”的教學(xué)，這就是在上面課例中提出的“兩處停留”，即引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察解析式，從“式”的特點判斷自變量與函數(shù)值的取值范圍，并由此猜測、想像出圖像的特點；另外跟進列表時取點要恰當(dāng)?shù)?、智慧的選取數(shù)對，而不是盲目的、大量的、無序的選取數(shù)對，不利于最后描點、連線、生成圖像.事實上，學(xué)生結(jié)合對式的觀察，對自變量選取互為相反數(shù)的數(shù)對作值，更易發(fā)現(xiàn)函數(shù)值的特點.

（三）滲透數(shù)學(xué)思想與方法，從特殊走向一般

數(shù)學(xué)課不但要講知識、講習(xí)題，還要更上一層：通過數(shù)學(xué)知識、習(xí)題的學(xué)習(xí)，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想與研究方法.比如二次函數(shù)起始課的學(xué)習(xí)，可以類比一次函數(shù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)，這是類比思想，具體來說，可以類比一次函數(shù)定義二次函數(shù)，類比一次函數(shù)的研究套路（定義、圖像與性質(zhì)、應(yīng)用）學(xué)習(xí)二次函數(shù)；另外，二次函數(shù)的學(xué)習(xí)是從特殊、從簡單出發(fā)，最后再走向一般、歸納性質(zhì)，在這個過程中學(xué)生不但學(xué)到了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，而且感悟到從特殊到一般的研究方法，日后可用于其它新（陌生）函數(shù)（甚至一些新領(lǐng)域數(shù)學(xué)概念）的研究學(xué)習(xí).

三、寫在后面

當(dāng)前倡導(dǎo)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的學(xué)習(xí)需要“落地生根”，而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的界定又是“眾說不一”.由于數(shù)學(xué)的精神或本質(zhì)（如抽象、推理、模型，或者求簡、從特殊到一般、量化研究等等）是值得重視的核心素養(yǎng)，所以如何在我們的日常課堂訓(xùn)練或滲透這些素養(yǎng)，亟需教師基于“核心素養(yǎng)”的高觀點來精心設(shè)計教學(xué).我們關(guān)于二次函數(shù)起始課的教學(xué)與思考只是一點初步的嘗試（比如向?qū)W生傳遞和滲透了類比、從特殊走向一般的思想方法等），還不成熟，期待批評指正.同時我們也希望出現(xiàn)大量體現(xiàn)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)設(shè)計，豐富這方面的研究.