福建省福清市華僑中學(xué) 張友家

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休。”由此可見(jiàn)，“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系是非常密切的。數(shù)形結(jié)合是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系相結(jié)合，便于學(xué)生快速解決數(shù)學(xué)題。在解答集合、函數(shù)、方程與不等式、三角函數(shù)、線性規(guī)劃、數(shù)列、立體幾何等方面的數(shù)學(xué)試題中，常常用到數(shù)形結(jié)合的思想方法。

一、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用的必要性

高中數(shù)學(xué)課堂上，“滿堂灌”“填鴨式”的教學(xué)方法束縛了學(xué)生的思維，學(xué)生被老師“牽著鼻子走”，他們?nèi)狈ψ灾魉伎嫉哪芰?，?dāng)然，也不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維、發(fā)散性思維。為此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)結(jié)合新課程改革的要求，靈活轉(zhuǎn)變教學(xué)方法，將數(shù)形結(jié)合這一方法運(yùn)用到數(shù)學(xué)解題中，使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合法的內(nèi)涵，并能在解題中靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合。通過(guò)分析數(shù)學(xué)例題，尋找解決數(shù)學(xué)題目的有效方法。我們發(fā)現(xiàn)將數(shù)與形相結(jié)合，有助于學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題形象化、直觀化。面對(duì)數(shù)學(xué)題時(shí)，學(xué)生不再畏懼、害怕，而是能迎難而上，從而增強(qiáng)學(xué)生的成就感和自信心，使得每位學(xué)生主動(dòng)參與到數(shù)學(xué)解題中，提高自身的思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

通過(guò)分析歷年來(lái)的高考試題，發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)試題都需要利用數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的解題方法，其將幾何圖形與代數(shù)知識(shí)相結(jié)合，使代數(shù)知識(shí)形象化、直觀化，增加了數(shù)學(xué)知識(shí)的趣味性，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率、解題效率。

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用策略

1.以數(shù)解形，用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題

“數(shù)”與“形”的關(guān)系是對(duì)應(yīng)的，有些數(shù)量較抽象，很難把握，而“形”具有直觀性、形象性的特點(diǎn)，能表達(dá)具體思維。有些較復(fù)雜的“形”，不但要正確把圖形數(shù)字化，而且還要留心觀察圖形的特點(diǎn)，發(fā)掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質(zhì)或幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，進(jìn)行分析計(jì)算。

例1 如圖，三角形ABC的三邊分別切拋物線于D，E，G。F是拋物線的焦點(diǎn)。證明：A,B,C,F四點(diǎn)共圓。

解：設(shè)拋物線的方程為T：x2=2py，則有G(2pa,2pa2),E(2pb,2pb2),D(2pc,2pc2)，

三條切線方程為2ax-y-2pa2=0,2bx-y-2pb2=0,2cx-y-2pc2=0，

聯(lián)立解得：A(p(b+c),2pbc),B(p(a+c),2pac),C(p(a+b),2pab)，

故△ABC的外接圓方程為L(zhǎng)ALB+λLBLC+μLCLA=0。

其中，LA,LB,LC是三條切線方程的左邊的式子。

展開(kāi)外接圓方程整理得：Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0，

因?yàn)樵摲匠瘫硎緢A，故A=B∧C=0，

這道題要求學(xué)生求證A,B,C,F四點(diǎn)共圓，求證中，學(xué)生思考怎樣確定圓的方程式，如果將A,B,C,F四點(diǎn)都能代入圓的方程中，則表明A,B,C,F四點(diǎn)共圓。這一解題思路運(yùn)用了代數(shù)法，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問(wèn)題。

在平時(shí)解題中，看到此類型題目，學(xué)生會(huì)“一頭霧水”，他們不知道如何下手，毫無(wú)解題思路，盡管始終分析圖形，但是用幾何法找不到解題的突破口。此時(shí)，學(xué)生應(yīng)靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，結(jié)合圖形，并結(jié)合之前所學(xué)的代數(shù)知識(shí)，利用代數(shù)知識(shí)解決該題，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，無(wú)形中提高學(xué)生的解題能力。

數(shù)學(xué)學(xué)科不同于其他學(xué)科，僅僅依靠死記硬背，學(xué)生不能快速、準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合方法在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用，使得學(xué)生的思維不再受到單一“形”或“數(shù)”的束縛，而是在兩者之間互相“轉(zhuǎn)化”，使得問(wèn)題的解決變得容易可行。

2.以形助數(shù)，用幾何方法解決代數(shù)問(wèn)題

形具有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，解決數(shù)學(xué)題時(shí)，要認(rèn)真分析題目中的已知條件，將數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)換為圖形問(wèn)題，并通過(guò)分析圖形、推理最終解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。從本質(zhì)上來(lái)講，以形助學(xué)是以數(shù)量結(jié)構(gòu)特征為依據(jù)，構(gòu)造幾何圖形，轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，順利解決問(wèn)題。“以形助學(xué)”的解題思路在于：明確題目中所給定的條件和所求的目標(biāo)，從題中的已知條件或者結(jié)論出發(fā)，先觀察分析其是否類似于已學(xué)過(guò)的基本公式、定理或圖形的表達(dá)式，再做出與之相適合的圖形，最終找到解決問(wèn)題的方法。

通常情況下，解類似題時(shí)，學(xué)生不愿意動(dòng)手畫(huà)圖，他們只是根據(jù)已知條件求得最終的答案。沒(méi)有幾何圖的輔助，整道題做起來(lái)并不簡(jiǎn)單，學(xué)生無(wú)法在腦海中想象出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，解題的效率、準(zhǔn)確率都不高。對(duì)此，在解題過(guò)程中，學(xué)生要認(rèn)真分析題中所給定的已知條件，尋找已知條件中的數(shù)量關(guān)系，并繪制幾何圖，將數(shù)量關(guān)系通過(guò)幾何圖呈現(xiàn)出來(lái)，順利解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

從本質(zhì)上來(lái)講，數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形相結(jié)合，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題之間的相互轉(zhuǎn)化，使得代數(shù)問(wèn)題幾何化、幾何問(wèn)題代數(shù)化。數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：一是明白概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，分析數(shù)學(xué)題目中條件和結(jié)論的幾何意義和代數(shù)意義；二是構(gòu)建關(guān)系，加強(qiáng)數(shù)與形的聯(lián)系，完成數(shù)形轉(zhuǎn)化；三是明確參數(shù)的取值范圍。當(dāng)明確以上幾點(diǎn)后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生巧用數(shù)形結(jié)合思想，提高他們的解題能力。