福建省南安南安華僑中學(xué) 王振陽

眾所周知，分類討論是一種初級的數(shù)學(xué)思想，其和數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化劃歸思想等一起在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要的地位。分類討論思想的教學(xué)，一直可以追溯到小學(xué)數(shù)學(xué)中的整數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)開始，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中也起著重要的作用。

比如：設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+1(a∈R)，函數(shù)f(x)在[-1,1]的值域是[m,n]，求函數(shù)h(a)=n-m的表達(dá)式。在論壇中，筆者看到學(xué)生這樣描述：知道要分類討論做，但是總是分不清楚，誰教教我有沒有訣竅？這里體現(xiàn)了學(xué)生對于分類討論思想較為模糊的概念，下文筆者層層遞進(jìn)地闡述分類討論思想在解題中的運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生做好為什么分？怎么分？使學(xué)生對分類討論思想獲得一定的思想認(rèn)識，為后續(xù)運(yùn)用好分類討論奠定基礎(chǔ)。

一、含參最值分類的必要性

帶有參數(shù)字母的函數(shù)f(x)是高中函數(shù)教學(xué)中的難點(diǎn)內(nèi)容，初學(xué)者，特別是高一學(xué)生往往對其為什么要分類沒有認(rèn)知，沒有思考。舉一個(gè)例子：

問題1：（1）求函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[-1,1]上的最小值；（2）求f(x)=x2-2ax+a(a∈R)函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的最小值。

分析：筆者對初學(xué)者解決這類問題很好奇的一點(diǎn)是，學(xué)生對這兩個(gè)問題的解答是一樣的，即最小值在對稱軸處最小。詢問學(xué)生為什么，學(xué)生的回答簡單明了：因?yàn)殚_口向上的拋物線在對稱軸處取最小值！可見其對含參的二次函數(shù)的認(rèn)知是缺乏了解的。以（2）為例，初學(xué)者認(rèn)為當(dāng)x=a時(shí)，f(x)min=f(a)=a-a2是常態(tài)，這是典型的缺乏動(dòng)態(tài)思考以及沒有關(guān)注函數(shù)區(qū)間的結(jié)果，這也說明學(xué)生對于含參問題需要分類思考的想法其實(shí)并沒有。利用幾何畫板（如圖），請學(xué)生動(dòng)態(tài)觀察函數(shù)的變化，思考在區(qū)間[-1,1]上，很明顯產(chǎn)生的最小值是有多種可能性的，這就是在解決二次函數(shù)含參最值時(shí)必須介入分類討論的原因。

提示：含參的二次函數(shù)最值是初學(xué)者較為常見的問題，通過問題1，我們不難發(fā)現(xiàn)，對于含參二次函數(shù)為什么要引入分類討論才能求解最值：二次函數(shù)f(x)=ax2-bx+c(a＞0)在閉區(qū)間[m,n]上的最小值來進(jìn)行合理的分類討論；若將問題演變?yōu)樽畲笾?，則顯然是以對稱變?yōu)樽钪登蠼?，則將前兩種問題結(jié)合在一起，以對稱軸類進(jìn)行討論，這是對二次函數(shù)的最值為何需要討論的因素。

二、基于系數(shù)討論的必要性

二次函數(shù)f(x)=ax2-bx+c(a≠0)有三個(gè)參數(shù)，一般而言往往對三個(gè)參數(shù)的一個(gè)或某幾個(gè)進(jìn)行合理討論，這必須對字母本身的含義有清楚認(rèn)識：首個(gè)參數(shù)a關(guān)系到二次函數(shù)圖象的張口大小，第二個(gè)參數(shù)b關(guān)系到二次函數(shù)的左右移動(dòng)，最后一個(gè)字母參數(shù)c主要涉及二次函數(shù)的上下移動(dòng)。根據(jù)具體情形，往往對二次函數(shù)系數(shù)的討論成為學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，分類的主要切入口有時(shí)候還可以利用二次函數(shù)與橫軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，需要依據(jù)具體問題情況而論。

問題2：已知函數(shù)f(x)=plnx+(p-1)x2+1，當(dāng)p＞0時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。

提示：本題及其變式非常好地闡述了怎么對二次函數(shù)中不同字母出現(xiàn)的可能性進(jìn)行分類，自然主要思考的是張口、對稱軸和交點(diǎn)，一般而言，掌握了字母的意義，也就知道了為什么要分類、為什么這么分類，對學(xué)習(xí)含參二次函數(shù)是有意義的。

總之，分類討論思想是必備的高中數(shù)學(xué)思想方法，也是解決常態(tài)化問題的主要思想工具，二次函數(shù)又是最重要的一種基本初等函數(shù)，因此對其的含參問題進(jìn)行討論和思辨是學(xué)習(xí)的重要方向，理解這里的分類的必要性，為更為復(fù)雜的函數(shù)討論奠定基礎(chǔ)。