鮑丙豪,張小蝶,張元勝

(江蘇大學機械工程學院,江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

磁致伸縮位移傳感器是一種基于磁彈性耦合效應實現(xiàn)絕對位置測量的傳感器,以其高精度、高靈敏度、抗干擾能力強、適用于惡劣環(huán)境測量等優(yōu)點,在大量程位移(或液位)測量中具有廣泛應用。磁致伸縮位移傳感器磁彈耦合扭轉(zhuǎn)波的產(chǎn)生和接收是磁場和應力場相互轉(zhuǎn)換的過程,涉及鐵磁學、電磁學、彈性力學相關學科理論,屬于多重場的非線性耦合問題,這給建立檢測信號與激勵源對應關系帶來了諸多困難。近年來,針對磁致伸縮效應的理論和實驗研究已取得了很大進展[1-5],但針對超磁致伸縮材料的研究較多,關于鐵基合金材料的磁致伸縮位移傳感器的理論研究文章較少。例如文獻[5]分析了偏置磁場對超磁致伸縮致動器輸出特性的影響;文獻[6]從磁疇旋轉(zhuǎn)和磁場仿真的角度解釋了磁致伸縮效應機理;文獻[7]建立了輸出電壓與耦合磁場關系模型,但未能直接反應出傳感器激勵源參數(shù)與輸出信號間關系;文獻[8]建立了磁致伸縮縱向?qū)Рń邮漳Ｐ?但未考慮應力引起的材料磁導率的改變,且所建立的積分形式模型只有在一定條件下才能計算。

本文根據(jù)壓磁方程得出偏置場與交變場耦合位置波導絲所形成的應力波,并由麥克斯韋方程組和帶阻尼項的吉爾伯特磁化強度進動方程[9]得出磁場耦合處的波導絲相對磁導率;利用磁機效應的Jiles-Atherton(J-A)理論得出感應線圈所在位置的磁化強度變化率[10];再由法拉第電磁感應定律,利用所求磁導率及磁化強度變化率得出線圈輸出電壓表達式,并對所求關系式進行了實驗驗證。

1 線圈輸出電壓模型

磁彈耦合扭轉(zhuǎn)波位移傳感器結構示意圖如圖1所示,主要包括鐵鎳合金絲,游標磁鐵,感應線圈,激勵回路,回波信號處理電路。傳感器的工作原理如下:鐵鎳合金波導絲在受到激勵脈沖電流信號產(chǎn)生的交變磁場Hi和永久磁鐵產(chǎn)生的恒定偏置磁場He共同作用下,在偏置磁場處扭轉(zhuǎn)變形,從而產(chǎn)生磁彈耦合扭轉(zhuǎn)波;扭轉(zhuǎn)波以應力波的形式向波導絲兩端傳播,根據(jù)維拉利效應,感應線圈位置波導絲內(nèi)應變變化會導致其磁化狀態(tài)改變;由法拉第電磁感應定律,感應線圈會產(chǎn)生感生電動勢[11]。

圖1 磁彈耦合扭轉(zhuǎn)波位移傳感器工作原理示意圖

本文為構建感應線圈輸出電壓理論計算表達式,首先從磁疇的角度分析了磁致伸縮(即磁彈耦合扭轉(zhuǎn)波)產(chǎn)生機理,耦合磁場所產(chǎn)生的應力瞬間作用在波導絲而產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)波。對于磁致伸縮位移傳感器波導絲上發(fā)生的復雜三維多場非線性耦合問題,可利用磁固耦合模型[12]將所求電磁力轉(zhuǎn)化到彈性力學方程求解,并構建波導絲線材內(nèi)部微元的運動方程。

磁疇所受耦合磁場H作用的合力可分解為軸向的正應力σ和徑向的剪應力τ。圖2給出了波導絲微元徑向和軸向受力分析示意圖,以永磁體位置為坐標原點,建立了圖2(a)所示坐標系。由于波導絲直徑較小,扭轉(zhuǎn)后慣性矩變化小[13],并只考慮在偏置磁場處出現(xiàn)的最大的磁致伸縮效應。根據(jù)以上約束條件,如圖2(b)所示,在耦合磁場處波導絲周向受扭力引起扭轉(zhuǎn)振動;如圖2(c)所示在,接收線圈處波導絲軸向受到應力波傳播時正應力作用而產(chǎn)生的軸向振動。

圖2 波導絲微元徑向和軸向受力分析

根據(jù)應力分析圖,可分別建立波導絲微元軸向和周向的振動微分方程。設波導絲橫截面積為A,彈性模量為E,體密度為ρ,圓截面對其中心的極慣性矩為IP,材料的剪切彈性模量為G,設波導絲受到扭轉(zhuǎn)力后發(fā)生剛性轉(zhuǎn)動,其端面仍視為平面,θ表示軸上z截面相對左端面的扭轉(zhuǎn)角,T為扭矩。以dz為研究對象,分別建立正應力σ和剪應力τ作用下z方向的受力平衡方程如式(1)所示(本文公式均使用SI制):

(1)

結合材料力學知識可得軸向振動方程和扭轉(zhuǎn)振動方程:

(2)

式中:c2=E/ρ,v2=G/ρ。

由此可知,在磁場耦合位置處的波導絲將產(chǎn)生以一維超聲波形式運動的磁彈耦合扭轉(zhuǎn)應力波。根據(jù)維拉利效應,扭轉(zhuǎn)波傳播至接收線圈位置時,將導致波導絲內(nèi)磁化強度改變。采用感應線圈拾取扭轉(zhuǎn)波,根據(jù)法拉第電磁感應定律可知,感應線圈將產(chǎn)生感生電動勢,電動勢Vout的大小可表示為:

(3)

式中:ψ為感應線圈的總磁通。

設單位長度的接收線圈匝數(shù)為n,截面有效面積為S,長度為dz線圈磁通dψ為nBSdz。

壓磁效應的線性耦合方程是描述鐵磁材料磁機耦合關系的基本理論模型,其形式如下[14]:

(4)

式中:ε為應變量,σ為應力,EH為恒磁場強度下的楊氏模量;H,B是磁場強度和磁感應強度,μσ為應力作用下的磁導率;d=(dε/dH)|σ表示恒應力條件下應變分量ε關于磁場強度分量H的變化率;d*=(dB/dσ)|H表示恒磁場條件下磁感應強度分量B關于應力分量σ變化率。將材料的壓磁勁度常數(shù)h,和介磁隔離常數(shù)β=1/μ0μr代入式(4)可得振動源位置的磁機耦合方程:

σ=(EH-μ0μrh2)ε-μ0μrhH

(5)

即得出磁場耦合位置處的波導絲所受應力。

波導絲在扭轉(zhuǎn)波作用下磁化狀態(tài)將改變,其磁感應強度亦隨之變化。在SI制中,磁感應強度用磁化強度表示為B=μ0(M+H),其中M、H分別為磁化強度和磁場強度。感應線圈與后續(xù)高輸入阻抗運算放大器相連,線圈電流忽略不計,無感生磁場。由此可得線圈輸出電壓表達式為:

(6)

綜合上述分析可知,扭轉(zhuǎn)波以應力波的形式在波導絲中傳播,導致波導絲磁化強度改變,即磁化強度的變化與應力有直接關系。根據(jù)式(5)、式(6)可知,磁場耦合位置處波導絲磁導率以及感應線圈位置的波導絲磁化強度變化率的確定是建立線圈輸出電壓模型的關鍵。

2 磁導率的計算

本文利用磁疇模型計算磁導率,根據(jù)微磁學理論,波導絲內(nèi)的自由能主要包括4種:外磁場能、自旋交換作用能、磁各向異性能和退磁場能[15-16]?？紤]到波導絲線材的飽和磁致伸縮系數(shù)λs不為零,材料中還存在殘余內(nèi)應力σr、預應力σ的作用,即自由能還應包括磁應力能。當所加激勵頻率小于1 GHz時,材料內(nèi)部的交換作用可以忽略,且對于細長直線型材料的波導絲不需考慮退磁場能[17]。

因此材料內(nèi)主要包括靜態(tài)的偏置磁場He和動態(tài)交變磁場h、磁晶各向異性能等效場Hk、殘余內(nèi)應力能等效場Hσr、預應力能等效場Hσ。靜態(tài)場作用的自由能等效場H1、交變磁場作用的自由能等效場H2的矢量表達式如式(7)所示。

(7)

波導絲中通入的激勵信號為周期性脈沖電流I(t),可展開為三角函數(shù)信號的各次諧波分量的疊加:

(8)

式中:ω為激勵信號頻率,IA表示脈沖信號幅值,Ip表示任意頻率下電流幅值,當p取1時即I1為基頻電流幅值,τ表示脈寬,T表示矩形脈沖信號周期。因此電流復數(shù)與時間關系為I(t)=Ipe-jpωt,則交變磁場復數(shù)與時間的關系為H(t)=H0e-jpωt,可設由交變磁場作用的應力分量依賴于時間的關系為σ1(t)=(Ipσ0e-jpωt)/I1,其中H0、σ0為基頻交變電流I作用下磁場與應力幅值。當脈沖信號的頻率或?qū)挾茸兓瘯r,磁場與應力幅值也會相應改變,且與基波電流大小正相關。

圖3 磁疇模型及其坐標系建立示意圖

為了確定磁疇靜態(tài)取向,本文建立了如圖3所示坐標系,給出了波導絲線材內(nèi)部磁疇分布及各等效場分布示意圖,其中n方向表示靜態(tài)時的磁疇取向θ0。根據(jù)布朗方程M0×H0=0可得靜態(tài)磁疇取向滿足等式:

Hecos(θ+θ0)=(HK1+Hσ1+Hσr1)cosθsinθ

(9)

再根據(jù)所求取向以及坐標系中等效場分量可得波導絲中通以交變電流時材料內(nèi)部等效場Heff在各個軸的分量表達式:

(10)

式中:HK=2K/μ0Ms,Hσ=3λsσ/μ0Ms,Hσr=3λsσr/μ0Ms,分別表示各個自由能系數(shù)。

利用所求的Heff在各軸分量并結合Maxwell方程和Landau-Lifshitz-Gilbert方程:

(11)

可得出波導絲材料在磁場耦合處β方向的磁化率χβ:

(12)

再通過積分法可算出y軸與z軸間的各方向磁化率平均值,進而計算出平均相對磁導率μr:

(13)

式中:Heq=Hesin(θ+θ0)+(HK+Hσ+Hσr)cos2θ,H1=HK+Hσ+Hσr。

3 磁化強度的計算

由維拉利效應知,應力會改變波導絲內(nèi)有效磁場從而導致材料磁化強度改變。忽略線圈電流產(chǎn)生的磁場,線圈位置處波導絲內(nèi)僅存在因應力波傳播導致的材料磁化狀態(tài)的變化。磁化強度對時間的變化可利用磁機效應變化率dM/dσ與應力變化率dσ/dt表示:

(14)

由于偏置磁場恒定,只需要考慮交變磁場產(chǎn)生的應力分量σ1(t)的作用,即應力變化率為dσ1/dt。

材料磁化強度的變化主要受應力等效場的影響,波導絲在應力作用下的磁化M(σ)相當于在等效場Hea作用下的磁化M(Hea),可利用多晶材料的Langevin函數(shù)coth(x)-1/x表示,并考慮到應力作用的磁化強度遠小于飽和磁化強度,從而求出M(Hea)[17]:

M(Hea)=MsHea/3a

(15)

式中:a為材料無滯回磁化強度形狀系數(shù)。有效場Hea用能量密度U可表示為式(16):

(16)

材料的磁化主要有磁疇旋轉(zhuǎn)引起的磁化強度變化量Mr和疇壁位移引起的變化量MWM。當波導絲內(nèi)通以高頻交變電流時,疇壁因受到渦流阻尼作用而釘扎,故只需考慮疇轉(zhuǎn)所引起的磁化強度變化。若單位體積材料內(nèi)取向為θ的磁疇數(shù)為b,磁矩為m,則位于疇壁另一側(cè)與m相對的磁疇磁矩m′=mcosθ。克服釘扎所需的平均能量εpin取決于m和m′。且克服釘扎所產(chǎn)生的能量等于疇轉(zhuǎn)產(chǎn)生能量的γ倍(0<γ<1)[18]。將磁化強度對總釘扎能Epin進行微分可得:

(17)

式中:V為材料體積,ζ=bγεπ(1-cosθ)/2,επ為180°壁能。

由此得到了磁化強度與釘扎能的關系,釘扎能將以磁彈性能形式釋放,根據(jù)材料力學知識,磁彈性能密度可表示為W=σ2/2E,將磁彈性能轉(zhuǎn)化到彈性力學中可得到磁化強度與應力之間的關系:

(18)

由式(15)、(16)、(17)、(18)可得磁機效應變化率:

(19)

式中:M0為基波交變電流下磁化強度,與基波電流幅值線性相關。

綜上所述,利用磁導率、磁機效應變化率,并結合式(6),可求出經(jīng)過放大電路放大后的輸出電壓:

(20)

式中:η為檢測電路放大倍數(shù)。

由式(20)以及(5)可知,若給定波導絲的彈性模量E、體積能量系數(shù)ζ、磁化曲線形狀系數(shù)a等相關參數(shù),同時求解出波導絲在磁場耦合位置的磁導率μr,此時影響接受線圈輸出電壓的因素主要有線圈匝數(shù)n、激勵電流脈寬τ及其角頻率ω等。

圖4 扭轉(zhuǎn)波幅值與線圈匝數(shù)關系

4 實驗結果分析

本文利用實驗平臺驗證了接收線圈匝數(shù)、激勵脈寬、頻率對輸出電壓幅值的影響。首先在保持激勵信號的脈寬τ為16μs、頻率f為500 Hz和檢測線圈的有效面積S不變的條件下改變線圈匝數(shù)n,得出如圖4(a)所示的n從800到1 300變化對應的扭轉(zhuǎn)波幅值變化,同時圖4(b)給出了扭轉(zhuǎn)波幅值隨匝數(shù)的變化趨勢。可以看出,在800～1 200匝范圍內(nèi),線圈輸出電壓和匝數(shù)變化趨勢與數(shù)學模型吻合;當n超過1 200時,由于實際中檢測線圈采用層疊繞法,線圈匝數(shù)繼續(xù)增加導致漏磁增加,因此增加相同的匝數(shù)時,輸出電壓變化幅度減小。另外,隨著線圈的匝數(shù)增加,系統(tǒng)檢測信號的噪聲也會隨之增大,故選擇n為1 200匝較為合適。

其次,在保證線圈匝數(shù)n為800,檢測線圈的有效面積S以及激勵信號頻率f為500 Hz不變的條件下,記錄扭轉(zhuǎn)波幅值隨激勵脈沖的脈寬τ的變化關系如圖5所示?？梢钥闯?在τ為2 μs～16 μs時,輸出電壓隨脈寬的增加而增加,由于激勵電流的增加會使導體的磁化狀態(tài)趨于飽和,當脈寬大于16 μs時,磁感應強度不再繼續(xù)增加,則輸出電壓值也趨于穩(wěn)定狀態(tài),且脈寬繼續(xù)增大導致系統(tǒng)功耗也增加,因此選擇τ為16 μs。

圖5 扭轉(zhuǎn)波幅值與脈寬關系

最后,控制其他參數(shù)和實驗條件不變,改變激勵信號頻率f,得出其與扭轉(zhuǎn)波幅值的關系如圖6所示,扭轉(zhuǎn)波幅值隨激勵信號頻率的增加而增加,變化趨勢符合所求計算表達式。實驗發(fā)現(xiàn)信號頻率的增加也會導致系統(tǒng)噪聲增加,因此激勵頻率不宜過大。

圖6 扭轉(zhuǎn)波幅值與頻率關系

5 結論

本文從磁彈耦合位移傳感器扭轉(zhuǎn)波的產(chǎn)生出發(fā),利用鐵基合金材料的壓磁效應將波導絲線材所受電磁力轉(zhuǎn)化到彈性力學中,得到材料中扭轉(zhuǎn)波的應力方程并給出了扭轉(zhuǎn)波的運動形式;根據(jù)電磁場在鐵磁體中分布以及鐵磁體中磁化強度在高頻下的進動,并結合Maxwell方程和LLG方程,得出波導絲磁場耦合位置的磁導率;利用磁機效應的J-A理論,考慮磁化強度改變是因應力波的傳播導致,再利用能量守恒原理建立應力感應磁化強度模型,從而構建傳感器接收線圈輸出電壓的理論計算模型。根據(jù)材料和實驗的實際情況建立了坐標系,使模型簡化。利用實驗驗證并分析了感應線圈匝數(shù)、激勵脈沖的脈寬、頻率對輸出結果的影響,實驗均采用多次測量取均值方法以提高實驗數(shù)據(jù)準確度。結果表明,激勵脈沖的脈寬、頻率,接收線圈匝數(shù)對檢測線圈輸出電壓幅值的影響均與所建模型相符。因此建立的理論計算模型對磁致伸縮位移傳感器的設計和制備具有一定的指導意義。

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