李增輝, 李建勛, 李光偉, 王恩堂

(1. 空軍研究院, 北京 100085; 2. 中國人民解放軍93498部隊(duì), 河北 石家莊 050071)

0 引 言

預(yù)警雷達(dá)擔(dān)負(fù)著國土防空、航空管制、引導(dǎo)攻擊、目標(biāo)指示以及遠(yuǎn)程戰(zhàn)略預(yù)警等重要任務(wù)，是平時(shí)和戰(zhàn)時(shí)的重要武器裝備[1]。隨著電子技術(shù)的演進(jìn)，干擾與反干擾技術(shù)之間的斗爭愈演愈烈。

在復(fù)雜電磁環(huán)境下，為了保持雷達(dá)效能和提高生存能力，只有不斷提升抗干擾性能，降低干擾對(duì)雷達(dá)性能的影響[2-4]。同時(shí)，通過構(gòu)建復(fù)雜電磁環(huán)境，評(píng)估預(yù)警雷達(dá)抗干擾性能對(duì)于預(yù)估戰(zhàn)時(shí)雷達(dá)實(shí)際效能具有重要意義[5-7]。

預(yù)警雷達(dá)抗噪聲壓制干擾能力評(píng)估常需要對(duì)通道噪聲幅度的均值進(jìn)行估計(jì)。從理論上說,在脈沖壓縮體制的雷達(dá)系統(tǒng)中,脈沖壓縮后的噪聲通常服從瑞利分布,因此對(duì)通道噪聲幅度均值的估計(jì)本質(zhì)上是對(duì)服從瑞利分布的噪聲進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推理。關(guān)于瑞利分布的統(tǒng)計(jì)估計(jì)已有大量研究[8-14]。然而,雷達(dá)系統(tǒng)在處理過程中,通常會(huì)對(duì)噪聲進(jìn)行量化處理,受采樣位數(shù)影響還可能舍棄低位數(shù)據(jù)。如果仍然采用瑞利分布下的噪聲估計(jì)方法,必然導(dǎo)致一定的估計(jì)偏差,尤其是量化電平較高或者低位舍棄位數(shù)較多的情況。

為了對(duì)截?cái)嗔炕蟮娜鹄肼晿颖具M(jìn)行有效的統(tǒng)計(jì)推理,降低估計(jì)偏差,本文從瑞利分布和多項(xiàng)分布出發(fā),推導(dǎo)得到了瑞利分布參數(shù)的極大似然估計(jì)、無信息先驗(yàn)貝葉斯估計(jì)和共軛先驗(yàn)貝葉斯估計(jì)方法,仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的有效性。

1 噪聲樣本統(tǒng)計(jì)估計(jì)模型

1.1 低位截?cái)嗟娜鹄植紭颖镜慕y(tǒng)計(jì)分布

設(shè)xi(i=1,2,…,n)為服從瑞利分布的樣本,即[15]

p(x;λ)=2λxexp(-λx2)

(1)

式中,參數(shù)λ與樣本均值和方差的關(guān)系為

(2)

(3)

(4)

式中,參數(shù)向量θ=[θ0,θ1,…,θK-1]中的參數(shù)θk為噪聲樣本量化截?cái)嗪笕〉膋概率,且

e-λk2Δ2{1-exp(-λ(2k+1)Δ2)}

(5)

同時(shí)θK為噪聲樣本量化截?cái)嗪笕≈荡笥贙的概率,且

(6)

從而,在給定量化截?cái)嗪髽颖緯r(shí),參數(shù)λ的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

lnL(λ|n)=lnp(n;θ)=

(7)

式中,參數(shù)θk按照式(5)取值。

1.2 最大似然估計(jì)及其凸優(yōu)化

根據(jù)式(7)給出參數(shù)λ的最大似然估計(jì)公式為

ln[1-exp(-λ(2k+1)Δ2)]}

(8)

求對(duì)數(shù)似然函數(shù)ln L的二階導(dǎo)數(shù)可得

(9)

即對(duì)數(shù)似然函數(shù)為凸函數(shù),因此理論上以大于零的任意實(shí)數(shù)為初值進(jìn)行迭代尋優(yōu)總能找到式(8)中優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解,即解得最大似然估計(jì)。

事實(shí)上,截?cái)嗪蟮娜鹄麡颖镜木狄院艽蟮母怕蕽M足

(10)

因此,取式(10)中λ的上限為初值,可使優(yōu)化問題快速收斂到最優(yōu)解,即使式(10)以極小概率不成立時(shí),也不會(huì)影響問題的收斂性。

1.3 貝葉斯估計(jì)

由于超參數(shù)λ的似然函數(shù)無法簡單分離樣本統(tǒng)計(jì)量,相應(yīng)的共軛先驗(yàn)分布也無法直接給出。因此,貝葉斯估計(jì)中采用瑞利分布的共軛先驗(yàn)分布來近似超參數(shù)λ的共軛先驗(yàn),即Gamma分布[16]

(11)

其中,α>1，β>0,則后驗(yàn)分布可得

π(λ|n)=π(λ;α,β)L(λ|n)∝

exp{-βλ+(α-1)lnλ+lnL(λ|n)}

(12)

對(duì)式(12)取對(duì)數(shù)并求二階導(dǎo)數(shù)可得

(13)

因此,超參數(shù)λ的后驗(yàn)分布為對(duì)數(shù)凹分布,可以采用[17]中對(duì)于對(duì)數(shù)凹分布產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法生成足夠多的隨機(jī)樣本,進(jìn)而采用求樣本均值的方法實(shí)現(xiàn)超參數(shù)的精確后驗(yàn)估計(jì)。

設(shè)生成服從后驗(yàn)分布的隨機(jī)樣本為λi(i=1,2,…,N),則超參數(shù)λ的后驗(yàn)期望估計(jì)為

(14)

后驗(yàn)方差為

(15)

區(qū)間估計(jì)下限估計(jì)為

?

(16)

(17)

當(dāng)沒有先驗(yàn)信息可用時(shí),需要引入無信息先驗(yàn)或弱信息先驗(yàn)分布。比如引入無信息先驗(yàn)分布

π(λ)∝1

(18)

時(shí),相當(dāng)于式(12)中的后驗(yàn)分布退化為似然函數(shù)形式,此時(shí)后驗(yàn)分布的二階導(dǎo)數(shù)仍然小于零,即式(13)中的參數(shù)α取1時(shí)的情況,也就是后驗(yàn)分布仍然為對(duì)數(shù)凹分布,依然可以采用上述方法生成隨機(jī)樣本。因此,在共軛先驗(yàn)分布條件下給出的后驗(yàn)期望、后驗(yàn)方差和區(qū)間估計(jì)公式對(duì)無信息先驗(yàn)分布同樣適用。

此外,在引入無信息先驗(yàn)條件下,生成超參數(shù)后驗(yàn)分布的隨機(jī)樣本后,可以根據(jù)超參數(shù)的先驗(yàn)分布對(duì)先驗(yàn)分布的參數(shù)α和β進(jìn)行最大似然估計(jì)[18]

(19)

式中,校正因子μ=(N-1)/(N+2)。

2 仿真數(shù)據(jù)處理與分析

為了方便實(shí)驗(yàn)分析,不妨設(shè)量化間隔Δ取值為1。取參數(shù)λ的真值為1,即α=β,在取不同α和β參數(shù)值情況下,先驗(yàn)分布如圖1所示,顯然取值越大,分布越集中,這也意味著引入的先驗(yàn)信息越多。

圖1 不同參數(shù)下的先驗(yàn)分布Fig.1 Prior distributions under different parameter values

生成50個(gè)服從瑞利分布的隨機(jī)樣本,在量化截?cái)嗪笕≈登闆r如表1所示,量化后的數(shù)值僅包含0、1、2共3種數(shù)值。

表1 截?cái)嗔炕笕鹄肼暼≈登闆r

如果將量化后樣本仍然按照瑞利分布來估計(jì)參數(shù)數(shù)值,那么按照式(2)估計(jì)參數(shù)λ可得

(20)

顯然,估計(jì)值遠(yuǎn)離真值1。相比之下,如圖2所示,極大似然估計(jì)為0.972,無信息先驗(yàn)條件下的貝葉斯估計(jì)為1.003,后驗(yàn)方差為0.03,后驗(yàn)區(qū)間估計(jì)為[0.49,1.95],估計(jì)結(jié)果均遠(yuǎn)優(yōu)于式(20)的估計(jì)值。需要說明的是,極大似然估計(jì)的偏差并不是優(yōu)化誤差,而是極大似然函數(shù)本身存在的偏差,這也說明引入先驗(yàn)分布進(jìn)一步修正似然函數(shù)曲線的必要性。

圖2 對(duì)數(shù)似然函數(shù)曲線與估計(jì)結(jié)果Fig.2 Logarithm likelihood function curves and the associated estimates

雖然量化截?cái)嗪蟮娜鹄植紖?shù)的共軛分布不是Gamma分布,但從圖3來看,一方面按照對(duì)數(shù)凹分布生成的隨機(jī)樣本與后驗(yàn)分布符合較好;另一方面,后驗(yàn)分布與Gamma分布非常接近,在一定程度上說明采用Gamma分布作為先驗(yàn)分布的合理性。

圖3 服從后驗(yàn)分布的隨機(jī)樣本分布Fig.3 Histogram of the posterior distributed samples

在無信息先驗(yàn)條件下,貝葉斯估計(jì)不僅可以給出后驗(yàn)期望,同時(shí)還可以給出共軛先驗(yàn)分布參數(shù)的估計(jì)值。使用上述50個(gè)隨機(jī)樣本可以估計(jì)出先驗(yàn)分布參數(shù),相應(yīng)的分布曲線如圖4所示。

圖4 無信息先驗(yàn)條件下的先驗(yàn)分布估計(jì)Fig.4 Parameter estimation of the noninformative prior distribution

在共軛先驗(yàn)分布參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步生成50個(gè)隨機(jī)樣本,并執(zhí)行1 000次蒙特卡羅分析,可得極大似然估計(jì)、無信息先驗(yàn)貝葉斯估計(jì)和共軛先驗(yàn)貝葉斯估計(jì)結(jié)果的分布情況,如圖5所示。

圖5 不同估計(jì)方法1 000次估計(jì)值的分布直方圖Fig.5 Histograms of 1 000 estimates with different estimation algorithms

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看,與極大似然估計(jì)相比,無信息先驗(yàn)貝葉斯估計(jì)性能改善不明顯,這主要是引入的先驗(yàn)本質(zhì)上并未增加信息的緣故,同時(shí),無信息先驗(yàn)貝葉斯估計(jì)是利用參數(shù)分布求解的參數(shù)的后驗(yàn)期望估計(jì),極大似然估計(jì)是求解使參數(shù)分布最大的參數(shù)得到的,前者更為充分的運(yùn)用的樣本數(shù)據(jù),因此性能略有改善。而共軛先驗(yàn)貝葉斯估計(jì)由于引入了有效的先驗(yàn)信息,使得估計(jì)結(jié)果更集中于真值附近,即在先驗(yàn)分布的作用下降低了估計(jì)方差。

3 結(jié) 論

本文針對(duì)截?cái)嗔炕鹄肼暤墓烙?jì)問題,推導(dǎo)了噪聲的統(tǒng)計(jì)分布,通過證明極大似然函數(shù)的凸函數(shù)性質(zhì)和貝葉斯后驗(yàn)分布的對(duì)數(shù)凹分布性質(zhì),提出了極大似然和貝葉斯估計(jì)方法。通過設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)，利用生成的截?cái)嗔炕笕鹄肼晿颖具M(jìn)行統(tǒng)計(jì)推理，不僅驗(yàn)證了所提統(tǒng)計(jì)估計(jì)算法的有效性,還直觀反映了引入先驗(yàn)信息對(duì)參數(shù)估計(jì)精度的影響。