楊 波，李圣辰，韓寶強

(1.中國音樂學院 音樂科技系，北京 100101； 2.北京郵電大學 信息光子學與光通信研究院，北京 100876)

小提琴琴弦振動產(chǎn)生的聲音是復(fù)合音，其中包含整弦振動和部分弦振動的聲音，整弦振動產(chǎn)生基音，部分振動產(chǎn)生泛音，基音和泛音統(tǒng)稱為諧音.其中，基音為1號諧音，第一泛音為2號諧音……以此類推.諧音的分布情況，是一件樂器所發(fā)出聲音的質(zhì)量一個的重要參考方面[1].研究諧音，對于研究樂器的音色有十分重要的作用[2]，例如人耳可以根據(jù)諧音的不同來識別樂器或者是人聲.因此，研究樂器諧音的數(shù)量、能量以及分布，對于調(diào)查樂器的質(zhì)量、聲音的音色以及指導樂器的制造等方面，有積極的作用.

傳統(tǒng)分析樂器諧音的方法，多通過不同的硬件如頻譜分析儀，或者軟件如GMAS通用音樂分析系統(tǒng)來完成，其分析對象一般以一個音為單位.這樣的分析方法不利于大規(guī)模進行研究，且受到樣本的是否具有典型性、樣本的穩(wěn)定性等因素的影響，其結(jié)果僅針對單個被研究樣本.本文研究對象為3個八度音階的音，從頻譜分析的結(jié)果數(shù)據(jù)中，提取諧音能量數(shù)據(jù)進行數(shù)學建模.這種方法較傳統(tǒng)方法更具有樣本的概括性，得到的結(jié)果也更穩(wěn)定，減少了樣本是否具有典型性等偶然因素的影響.在已有的研究中，缺乏使用數(shù)學方法對小提琴諧音分布規(guī)律的研究工作，所以本文擬使用數(shù)學建模的方法對不同小提琴的諧音能量分布規(guī)律進行比較研究.一般來說，物理模型的分析方法是基于相關(guān)抽象假設(shè)的，本文的方法是由實際情況出發(fā)，研究小提琴諧音在能量分布上的結(jié)果，進行建模和對比，因此本文方法不受相關(guān)假設(shè)的影響.

本文使用自行錄制的6把小提琴音階音頻作為數(shù)據(jù)庫來源，樣本音頻包括g到g3的22個音(G大調(diào)).小提琴音域大致為g到c4，本實驗所用樣本選擇的22個音，基本涵蓋了小提琴音域內(nèi)的音，因此樣本具有一定的代表性.實驗過程首先使用常數(shù)Q變換(Constant-Q Transform, CQT)對每一個音進行頻譜分析，通過尋找基音和諧音，提取有效的諧音及能量分布.借助高斯混合模型根據(jù)每把小提琴22個音的諧音及能量特性為每把小提琴的諧音進行數(shù)學建模，然后使用Kullback-Leibler(KL)散度對得到的6把小提琴的數(shù)學模型進行兩兩對比，研究數(shù)據(jù)間的差異性.最后借助假設(shè)驗證完成所有琴差異的統(tǒng)計，研究在不同頻域范圍內(nèi)諧音分布規(guī)律的差異是否顯著，得出小提琴不同諧音間差異性的大小，即具有顯著差異的諧音和不具有顯著差異的諧音分別有哪些.

實驗結(jié)果顯示，在調(diào)查的小提琴前12號諧音中，根據(jù)諧音能量分布規(guī)律間差異的顯著性，可以分為3個層次： 首先，5號、9號、11號諧音具有的差異顯著性最低；其次，3號、4號、7號、8號、10號諧音的差異顯著性中等；最后，2號、6號和12號諧音的差異顯著性最大.實驗說明本文提出為小提琴諧音能量分布建模進行研究是有效的.此結(jié)果可以被用來對比研究樂器音色、研究樂器質(zhì)量，或者樂器識別等方面.

1 研究現(xiàn)狀及相關(guān)研究

在對樂器進行聲學研究方面，小提琴聲學一直是被熱切關(guān)注的焦點.Von Helmholtz在《On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music》[1]中，對小提琴及弦樂器有一定的研究.這本書比較詳細地介紹了音樂聲學的相關(guān)知識，對于我們進行音樂聲音音頻分析的研究具有指導的意義.同時，在該書中，作者介紹了諧音是樂器聲音品質(zhì)的一個重要方面，并提出諧音對于樂器音色有重要影響.

《The Science of Sound》[3]亦是一本關(guān)于樂器和樂器聲音研究的書，作者提出樂器的音色不僅受諧音的影響，還受到頻譜包絡(luò)和持續(xù)等因素的影響，但諧音是更為重要的方面.該書中，第三章節(jié)介紹了小提琴聲學，主要集中在弦振動、琴體振動以及空腔振動等方面.該研究是從小提琴本身振動出發(fā)的，本文則通過分析小提琴音頻的頻譜數(shù)據(jù)分布情況，并進行數(shù)學建模，以提供更加實際的分析結(jié)果.

研究樂器的諧音，首先需要進行頻譜分析.CQT[4]被證明在頻譜分析和頻譜信息提取方面是非常有效的.文獻[4]提出使用中心頻率和帶寬的恒定比值(Q值)，以及按照幾何級數(shù)展開的頻率軸，來完成快速傅里葉變換.本文選擇此方法來提取每一個音的頻譜信息.

我們參考了一些對樂器音頻進行分析的文獻.文獻[5]介紹了幾種分析音頻的方法，比較籠統(tǒng).文獻[6]介紹了利用插值法進行短時頻譜分析.本文提出的研究創(chuàng)新點在于利用數(shù)理統(tǒng)計的方法，對音頻頻譜分析結(jié)果進行研究，得到諧音的能量分布規(guī)律.同時頻譜分析不是本文的重點，且不作深入討論.另外在參考的文獻中找到一些研究樂器諧音不同側(cè)重點的文章.如文獻[7-8]研究諧音的共振峰；文獻[9]提出借助適應(yīng)基音的多框架集合分析方法，提取頻譜包絡(luò)；文獻[10]側(cè)重在捕捉頻譜包絡(luò)的變化.在參考的研究中，首先注意到，研究樂器的諧音是非常重要且有意義的，可以從多方面、多角度對樂器的諧音進行調(diào)查研究.而本文的方法是利用統(tǒng)計方法來研究樂器諧音能量分布，這在已有的研究中是鮮有的，因此是本文的創(chuàng)新點.在計算方面，我們主要通過MATLAB來完成，并參考了文獻[11]中使用MATLAB進行聲音分析的方法.

2 數(shù)據(jù)庫

依據(jù)本文所提出的研究小提琴諧音分布模型的方法，需要自行錄制所需音頻.其原因主要有兩點： 第一，在已有的音頻數(shù)據(jù)庫中，小提琴音頻數(shù)量有限，不能夠滿足本實驗的需求；第二，實驗中需要盡量避免除小提琴以外的其他因素的影響，例如演奏者、錄音環(huán)境、錄音設(shè)備等.因此，本文所使用的小提琴音頻，是作者自行錄制的，并保證演奏員、錄音環(huán)境、設(shè)備等都是相同的.

用于實驗的樣本音頻是來自6把中國制造、價格相近且相近生產(chǎn)時間的小提琴，這些琴從生產(chǎn)后一直在使用中.我們要求一位演奏員(余彥男，寧波交響樂團小提琴演奏家)，在每一把小提琴上演奏3個八度的G大調(diào)音階，也就是每把琴22個音，將這些音作為得到這把琴最終用于比較的數(shù)據(jù)的樣本來源.每把琴演奏上行音階兩遍，每個音以每分鐘60拍的速度演奏4拍，音與音之間間隔2拍，也就是每個音長度約為4s.待錄音結(jié)束，由演奏員親自試聽，從兩遍中選擇一遍作為最終樣本來源，試聽內(nèi)容主要參考音準、強度和穩(wěn)定度.

錄音使用具有強指向性的SCHOPES MK4麥克風，這個麥克風具有較強的指向性，因此可以減少環(huán)境噪音對錄音的影響.錄音軟件使用Digidesign公司的ProTools，錄音完成后未對音頻做后期處理.錄音時令麥克風指向小提琴f孔，距離為1m，并確保演奏員和麥克風的位置固定，這樣可以更好地拾取直達聲，且盡量減少環(huán)境因素的影響.最終音頻的采樣率為96kHz，采樣精度為24bit.根據(jù)尼奎斯特采樣定理，本樣本采樣率所容納的信號中最大頻率分量頻率為48kHz，是超過人耳可聽閾的，符合本實驗的要求.樣本的錄音地點是在中國音樂學院國音堂地下錄音棚.所有樣本音頻是在同一天同一地點且由同一位演奏員演奏的，盡可能移除了可能存在的變量，如演奏員身體狀況、錄音棚環(huán)境狀況等，保證錄音的統(tǒng)一性，以進行比較研究.

3 實驗過程

我們使用A(f,t)來代表頻譜分析的結(jié)果，意為某一時刻、某一頻率的振幅.我們知道，在某一頻率下，不同時刻的振幅是不穩(wěn)定的.所以需要計算振幅在某一頻率下，所有時刻的平均值，以此來去掉不穩(wěn)定性.計算公式如下：

(1)

式中：t0是窗長，為1024；fs是采樣率，為96kHz.

圖1 數(shù)據(jù)裁剪示意圖Fig.1 Example of data frame

于是，我們得到了每個音在不同頻率段下的振幅值.本文著重考慮的是小提琴的諧音，因此，根據(jù)已知音的音高(基音頻率)，去除基音頻率以下的數(shù)據(jù).隨著音高的不斷升高，基音的頻率也在升高.這就導致經(jīng)過去掉基音以下部分后，剩下的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)長度不一致，音高越高，數(shù)據(jù)長度越短.為了保證每一個數(shù)據(jù)的長度一致，需要按照最高音的數(shù)據(jù)長度來裁剪其他音的數(shù)據(jù)，如圖1所示.

到此為止，我們得到了每一個經(jīng)過處理后的數(shù)據(jù)，每把琴有22個這樣的數(shù)據(jù).每一行數(shù)據(jù)的第一個元素為這個音的基音振幅.因為每一個音的基音頻率并不是一樣的，所以需要進行標準化，即令基音頻率為1，其余各諧音需計算其頻率與基音頻率的比值，即：

(2)

根據(jù)之前頻譜分析時將每一個八度分成n(n=120)個單位，所以我們可以通過式(3)來計算頻率比值：

(3)

基于同樣的原因，為了使振幅之間具有可比性，我們需要將振幅也作標準化處理.將基音的振幅設(shè)為1，其他頻率的振幅依次計算其與基音振幅的比值，即：

(4)

琴弦整弦振動產(chǎn)生基音，2次諧音頻率是基音的2倍，3次諧音是基音的3倍……[2]因此，我們嘗試將每把琴的22個音的數(shù)據(jù)求平均值，能夠簡化并得到這把琴每個諧音振幅與基音振幅的比值的平均水平，即：

(5)

式中：n為22，即22個音；i為每個音的編號；k為頻率比值點序號.

圖2 尋找諧音位置示意圖Fig.2 Example of finding harmonics location

接下來，我們使用尋找峰值的辦法，找到每一個諧音的所在位置.諧音的定義要滿足：

(6)

其中，因為非諧音成分占數(shù)據(jù)中的大多數(shù)且其幅值比較小，所以我們將閾值設(shè)為該琴數(shù)據(jù)的平均值，從而找到諧音的所在位置.將1號小提琴的諧音示意圖展示如圖2所示.

從圖中我們可以清楚地找到本實驗中小提琴的諧音，包括基音在內(nèi)共12個諧音.現(xiàn)將所有琴的除基音外的諧音位置數(shù)據(jù)整理如表1所示.

表1 諧音位置表

從表1中我們看到，小提琴諧音與基音頻率比值并不完全一致.在5號諧音、9號諧音和10號諧音處(表1中劃線的數(shù)據(jù))，諧音頻率比不統(tǒng)一，但差距不是非常的大.根據(jù)式(3)，可以計算各諧音與基音頻率的比值.1，5，6號琴的第5號諧音與基音的比值為5.0101，其余3把琴的比值為5.0397；3，4號琴的第9號諧音與基音的比值為9.0840，其余4把琴的比值為9.0317；1，2，5號琴的第10號諧音與基音的比值為10.0213，其余3把琴的比值為10.0794.猜想其原因可能與琴弦的質(zhì)量有關(guān)，誤差可忽略.

在實驗中，除了之前發(fā)現(xiàn)的3個諧音頻率比有差異，其余諧音的頻率比是相同的.本文的目的是研究頻域內(nèi)諧音能量的分布規(guī)律，所以我們將每個琴的諧音數(shù)據(jù)進行整理，將不統(tǒng)一處的諧音位置進行調(diào)換，使之與其他琴的諧音位置統(tǒng)一，再繼續(xù)進行深入諧音分布規(guī)律的探究.我們使用高斯混合模型將振幅比值按照各頻率比值點進行分布規(guī)律統(tǒng)計，即：

(7)

然后對每一把琴的各頻率比值點上的振幅比值分布進行統(tǒng)計，即：

(8)

式中i代表琴的編號.

接下來，使用上一步得到的結(jié)果，使用KL散度對琴的數(shù)據(jù)進行兩兩對比，即：

(9)

式中：i和j代表任意兩把琴；k代表各頻率比值點.

此時得到的結(jié)果是6把琴在各頻率比值點(k值)處的兩兩比較的數(shù)據(jù).下一步，我們使用假設(shè)驗證來調(diào)查其中各頻段上是否有顯著差異.作如下假設(shè)：

H0:μ≤μ0,H1:μ>μ0.

(10)

假設(shè)H0(原假設(shè))認為在此條件下，該處諧音無顯著差異；假設(shè)H1(備選假設(shè))認為在此條件下，該處諧音具有顯著性差異.6把琴兩兩對比，我們得到15組數(shù)據(jù)，且總體標準差未知，所以選擇t檢驗，即：

(11)

表2 假設(shè)驗證的情況

經(jīng)過以上9組假設(shè)驗證，我們將具有明顯差異和不具有明顯差異的諧音進行統(tǒng)計，結(jié)果如表3所示.

表3 假設(shè)驗證結(jié)果統(tǒng)計

4 討論及未來工作

通過使用高斯混合模型為小提琴諧音能量建模，KL散度分析兩兩數(shù)據(jù)間的差距，以及假設(shè)驗證不同諧音的差異性是否顯著，最終我們得到了關(guān)于諧音能量在分布規(guī)律上的不同(表3).

表3中我們可以看到，當擬設(shè)均值增大以及顯著性水平減小時，具有明顯差異的諧音數(shù)量減少.在調(diào)查的小提琴前12號諧音中，依據(jù)諧音能量分布規(guī)律的差異顯著性，我們將其分為3個等級： 首先，5號、9號、11號諧音具有的差異顯著性最低，因為這3個諧音在預(yù)設(shè)值變化時，最先呈現(xiàn)出差異無顯著性；其次，6號諧音始終表現(xiàn)出十分顯著的差異，2號和12號諧音只有在假設(shè)驗證第⑨組情況中才表現(xiàn)出顯著性降低，因此，本文認為2號、6號和12號諧音的差異顯著性比較高；最后，其余3號、4號、7號、8號和10號諧音，差異的顯著性處于中等水平.

結(jié)果數(shù)據(jù)中，第5號諧音每把琴模型之間差異的顯著性很低，其原因可能是小提琴這件樂器本身造成的，即有可能第5號諧音的能量分布規(guī)律是小提琴的共性.而結(jié)果顯示第6號諧音各模型間差異非常顯著，本文認為這個諧音是小提琴諧音中差別最大的一個.關(guān)于第5號諧音能量分布差異性小、第6號諧音能量分布差異性大，以及其他諧音呈現(xiàn)出不同的差異顯著性，是作者下一步需要深入研究探討的.

5 結(jié) 語

本文提出了一種研究小提琴諧音分布的模型分析方法.將大量的小提琴演奏的單音作為分析樣本，提取頻譜信息，從頻域的角度為小提琴的諧音能量分布建立模型.從對比研究不同小提琴模型間的差異，來調(diào)查小提琴諧音分布規(guī)律的差異性，以及差異的顯著性.實驗結(jié)果證明，此種方法對于調(diào)查諧音間的差異是有效的.

實驗結(jié)果說明： 在本文提出的研究方法下，小提琴諧音呈現(xiàn)出有區(qū)別的差異性分布規(guī)律，不同諧音差異顯著性不同.若研究樂器和樂器之間、音色和音色之間的共性特征，應(yīng)當選擇差異顯著性較小的諧音重點分析研究；若進行樂器差別、音色差別的研究，應(yīng)當著重考慮差異顯著性較大的諧音.本方法比傳統(tǒng)方法研究單一樣本的實驗結(jié)果更具有概括性.此外，本方法還可以用在諸多方面，如研究和評價樂器質(zhì)量、調(diào)查高質(zhì)量樂器與低質(zhì)量樂器之間的諧音差異；與樂器制作工藝相結(jié)合，利用諧音研究指導和促進樂器制作；以及識別樂器、聲音等方面.