豐 上，徐忠亮，馬 琳，李海峰

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，哈爾濱 150001)

稀疏分解作為一種目前相對比較成熟的信號壓縮存儲、傳輸及成分解析的手段，一直以來都受到學(xué)界的廣泛關(guān)注，并已獲得了長足的發(fā)展[1].這一方法通過構(gòu)建過完備稀疏字典可以把信號分解為字典原子與稀疏系數(shù)構(gòu)成的線性組合方程，實現(xiàn)信號高精度的壓縮存儲、傳輸；同時，對由學(xué)習(xí)過程得到的非確定基字典而言，其字典原子可以視作由訓(xùn)練樣本集得出的特征集合，而稀疏系數(shù)則可以視為這些特征的強度系數(shù)，由此即可進行對信號內(nèi)在結(jié)構(gòu)和本質(zhì)屬性的鑒別和分析.在各類信號之中，音樂信號的結(jié)構(gòu)相對固定、特征比較顯著、噪聲成分與信號本征成分特征差異明顯，尤其適合利用稀疏化分析方法進行分析與識別；同時，借由低信息量泄露的分解算法，可以對音樂信號進行精確可靠的定量分析，這對音樂相關(guān)領(lǐng)域的研究也具有重要的意義和價值.

對稀疏分解字典的學(xué)習(xí)，目前有若干種有效算法，如最優(yōu)方向法(Method of Optimal Direction, MOD)[2]、K-SVD算法(K-means Singular Value Decomposition)[3]及在線字典學(xué)習(xí)(Online Dictionary Learning Algorithm)[4]等.使用字典對語音信號進行稀疏建?？傻玫矫總€信號對應(yīng)的稀疏分解系數(shù)矩陣，作為原始數(shù)據(jù)的壓縮表征.稀疏建模算法主要分為兩類： 凸松弛法和貪婪法.凸松弛法中最有代表性的是基追蹤(Basis Pursuit, BP)算法[5].貪婪法中比較常用的是匹配追蹤(Matching Pursuit，MP)算法[1]和正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法[6].

在信號處理及分析領(lǐng)域，稀疏分解算法一直受到廣泛關(guān)注和應(yīng)用.如Jafari等提出了一種運用稀疏字典實現(xiàn)立體聲音信號識別的算法[7]，董麗夢等利用稀疏表示分類器對音樂中和弦進行識別[8]，Panagakis等將稀疏表示技術(shù)與時間調(diào)制結(jié)合，用于音樂體裁的分類[9]，都達成了較好的識別效果；此外，Plumbley等還用稀疏編碼實現(xiàn)了復(fù)調(diào)音樂的轉(zhuǎn)錄[10]，Cogliati等也用快速卷積稀疏編碼完成了鋼琴音樂的轉(zhuǎn)錄[11]，等等.以上這些工作涵蓋音樂和弦、體裁、樂器分類以及其他調(diào)制分析方法，充分說明了稀疏分解在音樂信號解析領(lǐng)域的有效性.

目前稀疏分解問題的求解對象包括l0，l1及l(fā)2范式，其中求解l0范數(shù)是稀疏分解的根本問題，但對其直接求解非常困難；在近似求解模型中，使用l2范式求解會導(dǎo)致重構(gòu)系數(shù)矩陣中系數(shù)絕對值小而數(shù)量眾多，若將該矩陣應(yīng)用于特征提取和分析領(lǐng)域，將會消耗大量不必要的計算；l1范式的使用最為廣泛，但其分解得到的重構(gòu)系數(shù)矩陣中仍存在一定的系數(shù)均一化情況，對特征提取和分析仍然存在一定影響.

因此，為了實現(xiàn)音樂信號的高區(qū)分度特征提取及精密分析，有必要對對稀疏分解重構(gòu)矩陣的系數(shù)分布情況進行研究，以此作為現(xiàn)有求解范式及分析方法的補充.另外，作為近似求解方法，基于l1及l(fā)2范式的求解模型難以避免地會產(chǎn)生相當(dāng)程度的誤差，會對分析結(jié)果產(chǎn)生影響；為了精確地評估這種偏差的程度，也有必要對音樂信號的稀疏質(zhì)量進行研究.在本文中，我們嘗試將一類稀疏質(zhì)量評價指標(biāo)應(yīng)用于音樂信號的分析之中，并評估該指標(biāo)與稀疏分解重構(gòu)誤差(模型精度)的相關(guān)性，并進一步嘗試探討將該指標(biāo)應(yīng)用于音樂分析與識別的可能性.

1 稀疏分解基本原理

信號的稀疏建模即是通過一個N×k維的字典矩陣D=[d1|d2|…|dk]∈N×k中的原子dk進行線性組合,對信號y∈N進行表示的過程，其中k為字典維數(shù)，N為信號長度，如式(1)所示：

y=Dα+e，

(1)

式中：e∈N為模型的逼近誤差，‖e‖?‖y‖.1×k維稀疏系數(shù)向量α中只有很少的非零值，即‖α‖0?K.信號的稀疏建模問題就是對以下問題求解：

(2)

或

(3)

式中： ‖·‖0表示l0范數(shù)；ε為誤差限制；(P(0,ε))和(P0)表示包含或不包含誤差限制的l0稀疏建模問題.字典學(xué)習(xí)的過程是對一組訓(xùn)練信號Y={yi|i=1，2，…，M}，尋找字典D，基于該字典求解問題(P0)或(P(0,ε))，可以對每一個訓(xùn)練信號yi建模，得到對應(yīng)的稀疏模型ai.

在實際應(yīng)用中，字典D可以是確定基字典，也可以是非確定基字典.確定基字典的原子的形態(tài)事先已知，很難與較復(fù)雜的音頻信號的特征完全匹配，重構(gòu)效果相對較差.非確定基字典由目標(biāo)信號集訓(xùn)練得出，可以對任意類別音樂信號進行針對性的特征提取，從而實現(xiàn)更精確的重構(gòu).通常來說，這一類字典的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練都是在特定的約束下，通過最小化目標(biāo)函數(shù)完成的.由于求解l0范數(shù)是一個NP難問題，所以常使用l1范數(shù)作為l0范數(shù)的近似.用l1范數(shù)代替l0范數(shù)作為約束條件的稀疏字典求解目標(biāo)函數(shù)可以表述如下：

(4)

式中：D表示稀疏字典；αi，yi分別表示第i個訓(xùn)練樣本的稀疏重構(gòu)矩陣及該樣本本身；λ為罰函數(shù)的修正系數(shù).在優(yōu)化求解過程中，一般需要在確保l1范數(shù)不大于事先設(shè)定閾值τ的限制下，對稀疏字典D及稀疏模型{ai}進行迭代更新.迭代過程分為兩個步驟，即在稀疏模型{ai}及訓(xùn)練集{yi}確定的情況下更新字典D，而后在稀疏字典D與訓(xùn)練集{yi}確定的情況下更新稀疏模型{ai}，同時保證‖αi‖1≤τ.

當(dāng){ai}及{yi}確定：

(5)

當(dāng)D及{yi}確定：

(6)

2 音樂稀疏化分析方法研究

2.1 音樂稀疏化分析基本思想

與其他類別信號類似，對音樂信號進行稀疏化分析需要首先對其進行稀疏分解.首先將信息量充分(包含待分析樣本集中所有特征的小規(guī)模訓(xùn)練集)，以此訓(xùn)練得到稀疏分解字典，而后使用最小絕對值收斂和選擇算子(Least Absolute Shrinkage and Selection Operator, LASSO)、OMP等算法對所有待分析樣本進行稀疏建模，將得到的稀疏系數(shù)矩陣作為提取后的特征.在某些稀疏分解算法如K-SVD算法中，這兩步是同時進行的.在特征提取完成后，可以使用聚類、支持向量機(Support Vector Machine, SVM)、深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Deep Neural Network, DNN)等具體分類方法和訓(xùn)練樣本的標(biāo)記對分類模型進行訓(xùn)練，完成最終的分類識別模型.

值得注意的是，使用可靠的分解算法對音樂信號進行稀疏分解后，其稀疏系數(shù)矩陣中的系數(shù)分布情況根據(jù)音頻性質(zhì)會出現(xiàn)很大的差異.其中，樣本重構(gòu)系數(shù)矩陣中非零值越少、能量的集中程度越高(有效原子的絕對值越大)，表示重構(gòu)矩陣的稀疏質(zhì)量越好、重構(gòu)中使用的字典原子(音樂基礎(chǔ)特征)越接近樣本的本征特征.這種分布情況本身既可作為待識別樣本的一類特征，參與到后續(xù)的分析及識別工作中；另外，這種分布情況也跟稀疏分解的復(fù)原誤差存在很高的相關(guān)性，這一點我們將在后文的實驗中進行詳細(xì)證明.

為了將這種分布情況納入實際的分析識別工作中，需要對其進行準(zhǔn)確、快速的分析和度量，接下來，我們將詳細(xì)介紹由稀疏分解后的重構(gòu)系數(shù)矩陣(特征矩陣)出發(fā)，度量樣本當(dāng)前稀疏性能特征的方法.

2.2 系數(shù)矩陣的稀疏性能評價

對稀疏性能矩陣進行稀疏性能度量需要考慮以下幾個因素： 首先，最關(guān)鍵的因素就是矩陣中非零元素的個數(shù)，這一指標(biāo)在稀疏問題中受到最多關(guān)注、同時也易于評價；其次，另一個同樣重要的因素就是樣本中主要成分(絕對值較大的重構(gòu)系數(shù))相對于其他成分的強度，這個因素對稀疏性能的影響同樣重大，但受到關(guān)注相對較少；此外，數(shù)據(jù)的偏移程度(絕對值的差異)還會受到原始信號能量(也即音樂音量)的影響.故為了準(zhǔn)確地評價稀疏系數(shù)矩陣內(nèi)元素的偏移程度(即稀疏性能)，必須消除信號的l1范數(shù)或能量的影響.

基于以上評價準(zhǔn)則，本文使用所有元素間差的累加和作為基礎(chǔ)，使用如下稀疏性能統(tǒng)計指標(biāo)SPS(Sparse Performance Statistics)統(tǒng)計系數(shù)矩陣αi的稀疏性能：

(7)

式中：αij，αik表示重構(gòu)系數(shù)向量αi的第j，k個元素.易知SPS(αi)>0.

該統(tǒng)計指標(biāo)的物理意義即是在除去待重構(gòu)樣本音量的影響之后，稀疏系數(shù)的相對偏移程度.該指標(biāo)的值越大就表示稀疏系數(shù)相對偏移量越大，即系數(shù)的分布情況傾向于只有極少數(shù)絕對值較大的系數(shù)；在這種情況下，重構(gòu)誤差能量一般也較小.然而，傳統(tǒng)方法使用l1范數(shù)求解模型(4)，該模型要求最小化目標(biāo)函數(shù).因SPS(αi)>0，且SPS(αi)越大，稀疏性能越好，故SPS(αi)指標(biāo)的優(yōu)化方向與字典求解模型的優(yōu)化方向是相反的.為了將二者統(tǒng)一起來，我們實際應(yīng)用的重構(gòu)系數(shù)矩陣的稀疏性能評價指標(biāo)SPI(Sparse Performance Index)可以表示為：

(8)

由SPI(αi)的定義方式可知，同樣的稀疏建模算法和稀疏度限制下，較小的SPI(αi)說明待重構(gòu)信號可以被更少的字典原子線性表示，意味著字典對αi對應(yīng)的訓(xùn)練樣本完備程度較好；而對若干個不同的字典，同一樣本yi對應(yīng)SPI(αi)更小的字典也可以更好地匹配yi的固有特征.在實際應(yīng)用中，只需計算所有樣本重構(gòu)矩陣對應(yīng)的SPI并將其排序，重構(gòu)矩陣SPI指標(biāo)較大的即是稀疏性能較差的樣本.該指標(biāo)只需讀取稀疏分解系數(shù)矩陣即可計算，與稀疏字典無關(guān)，實際操作起來也較簡便.

接下來，我們將通過實驗驗證該指標(biāo)與音樂樣本信號重構(gòu)誤差的關(guān)系，并探討其與音樂本質(zhì)特征的相關(guān)性.

3 實驗與結(jié)果分析

為了令實驗結(jié)果精確可靠，我們首先選取K-SVD算法訓(xùn)練稀疏字典，對音樂樣本進行分析.樣本分為兩組： 第一組包含兩首樂曲，來自兩類不同音樂體裁(肖邦夜曲第20號及貝多芬第五交響曲“命運”)，驗證本文方法對音樂類別進行分類的效果；第二組包含4首小提琴獨奏曲，驗證本方法對統(tǒng)一類型不同內(nèi)容的音樂進行鑒別的效果.選取音樂信息見表1.

表1 實驗選取的音樂信息

在訓(xùn)練稀疏字典時，參數(shù)如下： 音樂數(shù)據(jù)先分為長度為256采樣點的幀，幀間交疊為128點.字典維數(shù)為256維，樣本重構(gòu)稀疏度限制為非零元素小于等于50，使用K-SVD算法迭代10輪，并對其進行統(tǒng)計分析.實驗參數(shù)的設(shè)計綜合考慮了稀疏性和計算復(fù)雜度兩方面，幀長影響了字典原子數(shù)和幀數(shù)，而過高的幀長會導(dǎo)致字典原子數(shù)的大量增長，降低幀數(shù)會導(dǎo)致字典訓(xùn)練不足，無法獲得稀疏的系數(shù)矩陣，進而影響SPI的參考價值.

3.1 第一組音樂實驗結(jié)果

首先，使用肖邦夜曲第20號(升C小調(diào))作為訓(xùn)練集，共得到93238個分析樣例，對其根據(jù)SPI指標(biāo)進行排序后結(jié)果如圖1所示.

圖1 1號音樂樣本分析試驗結(jié)果Fig.1 Experiment results of music sample No.1

從實驗結(jié)果中可以看出，該指標(biāo)在音樂分析結(jié)果中與重構(gòu)誤差存在高度的相關(guān)性，即該指標(biāo)可以相當(dāng)精確地度量樣本實際稀疏情況和復(fù)原效果.

接下來，作為比較，我們將貝多芬C小調(diào)第5號交響曲“命運”作為不同類別的樣本，同樣分為長度為256采樣點的幀，幀間交疊128采樣點，得到151536個分析樣本，使用同一稀疏字典進行稀疏建模，對其SPI指標(biāo)排序后結(jié)果如圖2所示.

圖2 2號音樂樣本分析實驗結(jié)果Fig.2 Experiment results of music sample No.2

由實驗結(jié)果可見，“命運”交響曲與肖邦夜曲的整體趨勢皆相同，但由于兩者調(diào)式和體裁的不同，其SPI分布及對應(yīng)的誤差能量分布都存在著較大的差異.

3.2 第二組音樂實驗結(jié)果

圖3所示為第二組音樂的分析試驗結(jié)果.圖中(a)，(b)，(c)，(d)分別對應(yīng)第二組樂曲的各個樂曲；第一列為SPI的時變曲線，第二列為排序后的相對誤差分布，第三列為相對誤差趨勢.

從第二組的結(jié)果來看，利用本文的方法可以較好地展示同一種樂器在演奏不同樂曲時的時域特征，從而提供了較好的區(qū)分度.同時利用相對誤差分布，可以發(fā)現(xiàn)樂器演奏不同樂曲的共同特征，可以用于樂器的識別應(yīng)用中.

由此可見，SPI指標(biāo)不僅與單一樣本的稀疏性能、重構(gòu)精度存在很高的相關(guān)性，同時其分布也可以用來度量不同類別的音樂調(diào)式和體裁，對基于稀疏分解的音樂類別分析具有顯著的參考價值.

4 結(jié) 語

本文面向音樂的稀疏化分析，介紹了使用稀疏分解思想進行音樂類別鑒別分析的具體思路，并給出了將稀疏系數(shù)分布情況進行精確統(tǒng)計并納入音樂類型識別體系中的方法，且通過實驗驗證了我們給出的指標(biāo)與音樂樣本本身稀疏分布情況及重構(gòu)精度的關(guān)系，探討了使用這類指標(biāo)進行音樂體裁和調(diào)式分別的可能性.若能對該指標(biāo)與音樂體裁、調(diào)式的內(nèi)在關(guān)聯(lián)進行進一步的探討和研究，這一指標(biāo)將可以成為音樂類型分析工作的一個有力參照和依據(jù).

圖3 第二組音樂的分析試驗結(jié)果Fig.3 Experiment results of music sample group 2