龍建，王志剛，徐增丙

(武漢科技大學(xué) 冶金裝備及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430081)

信號分析方法是目前常用的軸承故障診斷方法[1]，但此類方法缺乏對故障機(jī)理的深入研究。通過對軸承動力學(xué)模型的深入分析，了解故障軸承的振動響應(yīng)特征，揭示故障狀態(tài)中動力學(xué)參數(shù)與響應(yīng)信號的內(nèi)在聯(lián)系，可以為故障診斷提供理論依據(jù)。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對滾動軸承故障的動力學(xué)模型進(jìn)行了廣泛的研究。然而，二自由度彈簧阻尼模型只考慮了內(nèi)圈的運(yùn)動，無法對滾動體的運(yùn)動進(jìn)行研究，不能真實(shí)反映軸承內(nèi)在響應(yīng)作用機(jī)理；且現(xiàn)有模型大多采用球勻速公轉(zhuǎn)假設(shè)，并提前給定球的運(yùn)動狀況，并未考慮球與溝道間的相對滑動[2-5]。為更全面地模擬軸承動力學(xué)特性，文獻(xiàn)[6]建立了完整的軸承動力學(xué)模型，模型中的每個(gè)元件都具有6個(gè)自由度，但Gupta模型只考慮了正常軸承，未考慮故障軸承的動力學(xué)行為。另外，在實(shí)際工程中復(fù)合故障經(jīng)常存在，而現(xiàn)有軸承動力學(xué)模型大多以單點(diǎn)損傷為主[7-8]，鮮少研究軸承的復(fù)合故障。

基于此，為更加真實(shí)和精確地反映軸承內(nèi)部動力學(xué)行為，以Gupta模型為基礎(chǔ)，結(jié)合局部損傷模型，充分考慮球與內(nèi)外圈間的相互作用，對軸承單點(diǎn)損傷及復(fù)合故障軸承的動力學(xué)模型及響應(yīng)特性進(jìn)行分析，為滾動軸承故障診斷提供一定的指導(dǎo)作用。

1 軸承動力學(xué)建模

1.1 正常軸承模型

考慮到深溝球軸承及其支承結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，為方便建立整個(gè)系統(tǒng)動力學(xué)模型，進(jìn)行下列假設(shè)：所有零件的質(zhì)量中心與幾何中心重合；球與溝道間只存在局部彈性變形；忽略球與保持架的相互作用；忽略熱效應(yīng)引起的零件變形的影響。

軸承動力學(xué)建模主要包括求解軸承零件間的相互作用及相對滑動速度等，據(jù)此計(jì)算球與溝道間的作用力。為了模擬軸承零件的運(yùn)動，首先定義了各種坐標(biāo)系，包括固定于空間的慣性坐標(biāo)系及固定于軸承零件中的定體坐標(biāo)系等。定體坐標(biāo)系有球定體坐標(biāo)系Obxbybzb，套圈定體坐標(biāo)系Orxryrzr(圖中以外圈為例)。另外，為了計(jì)算球與溝道間的相互作用，定義了接觸坐標(biāo)系Ocxcyczc，如圖1所示。

圖1 滾動軸承坐標(biāo)系Fig.1 Coordinates of rolling bearing

圖1中，位置向量rb和rr分別確定了球質(zhì)心和套圈質(zhì)心在慣性坐標(biāo)系中的位置?？赏ㄟ^球質(zhì)心相對于套圈溝道曲率中心Rc的位置矢量rbc確定球與套圈的相互作用。相對位置向量rbc為

rbc=rb-(rr+rcr)，

(1)

式中：rcr為套圈溝道曲率中心與套圈質(zhì)心的相對位置。

一旦由(1)式確定了球質(zhì)心相對于套圈曲率中心的位置，就可求出幾何相互作用，即接觸變形為

δ=|rbc|-(f-0.5)Dw，

(2)

式中：Dw為球徑；f為套圈溝曲率系數(shù)，其定義為套圈溝道曲率半徑與球的直徑之比。δ為負(fù)時(shí)表示球與套圈不接觸，δ為正時(shí)表示球與套圈存在相互作用，可根據(jù)Hertz點(diǎn)接觸理論計(jì)算接觸載荷[9]，即

Q=Kδ1.5，

(3)

式中：K為Hertz接觸系數(shù)，由軸承幾何形狀及軸承材料特性決定。

(4)

式中：ur,ub分別為套圈和球的平移速度；ωr,ωb分別為套圈和球的角速度；rp,Rp分別為接觸區(qū)域上任意一點(diǎn)P相對于球質(zhì)心和套圈質(zhì)心的位置向量；Tac，Tia，Tir，Tib分別為方位坐標(biāo)系到接觸坐標(biāo)系的變換矩陣、慣性坐標(biāo)系到方位坐標(biāo)系的變換矩陣、慣性坐標(biāo)系到套圈定體坐標(biāo)系的變換矩陣、慣性坐標(biāo)系到球定體坐標(biāo)系的變換矩陣。

則套圈和球在P點(diǎn)相對滑動速度為

us=ur-ub。

(5)

牽引潤滑性能與相互作用的套圈和球間的相對滑動速度有關(guān)，如圖2所示。牽引系數(shù)起初隨著相對滑動速度的增大而增大；而在較高的相對滑動速度時(shí)，由于潤滑劑中的剪切發(fā)熱變得顯著，牽引系數(shù)將達(dá)到最大值；此后，隨著相對滑動速度的進(jìn)一步增大，牽引系數(shù)又開始減小，牽引潤滑模型服從下列關(guān)系：

圖2 典型牽引-滑動模型Fig.2 Typical traction-slip model

k=(A+Bu)e-Cu+D，

(6)

式中：k為在相對滑動速度u下的牽引系數(shù)；A,B,C,D可根據(jù)實(shí)際牽引數(shù)據(jù)來計(jì)算。然后就可以根據(jù)P點(diǎn)相對滑動速度計(jì)算出P點(diǎn)增量力和增量力矩，在整個(gè)接觸橢圓上積分即可得到作用在球和滾道上的合力和合力矩。

1.2 局部損傷模型

當(dāng)套圈溝道表面出現(xiàn)局部損傷后，球與溝道間接觸變形將發(fā)生突變，改變后的接觸變形為

(7)

式中：δh為損傷深度；θb為球在滾道上的位置；θo為損傷位置；θd為損傷在滾道圓周上的圓周角的一半，由損傷直徑wd所決定，如圖3 所示。單點(diǎn)故障即在原有正常模型中引入(7)式進(jìn)行聯(lián)立。

圖3 局部損傷模型Fig.3 Model of localized damage

復(fù)合故障模型為同時(shí)發(fā)生2種或多種不同的故障，多種故障在一起相互關(guān)聯(lián)并相互影響。復(fù)合故障的動力學(xué)建模為局部故障模型的聯(lián)立，即內(nèi)外圈復(fù)合故障是內(nèi)圈損傷模型與外圈損傷模型的聯(lián)立。

1.3 動力學(xué)方程

軸承零件的運(yùn)動分為：零件的質(zhì)心運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。質(zhì)心運(yùn)動可通過Newton定律來求解，而旋轉(zhuǎn)運(yùn)動則用Euler運(yùn)動方程來描述。

1.3.1 質(zhì)心運(yùn)動

對于套圈，可用笛卡爾運(yùn)動坐標(biāo)系描述其質(zhì)心運(yùn)動，即

(8)

式中：m為套圈質(zhì)量；F為外力向量；下標(biāo)x,y,z表示力的3個(gè)分量。

對于球的質(zhì)心運(yùn)動，采用圓柱坐標(biāo)系來描述較為方便，即

(9)

式中：mb為球的質(zhì)量；F為外力向量；下標(biāo)x,r,θ表示力在圓柱坐標(biāo)系下的3個(gè)分量。

另外，在軸承振動特性測試中，傳感器通常安裝在軸承座上，故在本模型中添加了軸承座以便分析軸承振動特性，軸承座模型如圖4所示。軸承座的動力學(xué)方程為

圖4 軸承座模型Fig.4 Model of bearing housing

(10)

式中：mh為軸承座的質(zhì)量；ch為軸承座在z方向上的阻尼系數(shù)；kh為軸承座在z方向上的剛度系數(shù)。

1.3.2 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動

軸承零件完全對稱時(shí)，軸承零件的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動可用下列Euler運(yùn)動方程來描述

(11)

式中：I為慣性主矩；ω為角速度；G為外力力矩；下標(biāo)1，2，3表示慣性主矩和角速度及外力力矩的3個(gè)分量。

2 仿真結(jié)果分析

通過四階Runge-Kutta法對動力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值積分求解，求解初值由擬靜力學(xué)模型得到，初始積分步長Δt設(shè)置為1.0×10-5s，軸承參數(shù)見表1。仿真時(shí)外圈固定，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為10 000 r/min，并對軸承內(nèi)圈施加250 N的純徑向力，損傷直徑為1 mm，損傷深度為0.1 mm。

表1 滾動軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of rolling bearing

由簡單運(yùn)動學(xué)和純滾動假設(shè)可得深溝球軸承的內(nèi)、外圈故障特征頻率分別為[9]

(12)

代入數(shù)值計(jì)算可得外圈故障特征頻率fbpfo=409.29 Hz,內(nèi)圈故障特征頻率fbpfi=590.71 Hz，另外軸承轉(zhuǎn)頻fr=83.33 Hz。

2.1 正常軸承動力學(xué)分析

球與內(nèi)、外圈間的接觸載荷如圖5a所示，無游隙深溝球軸承內(nèi)圈與球間最大接觸載荷Qmax為[10]

圖5 正常軸承振動響應(yīng)特性Fig.5 Vibration response characteristic of normal bearing

(13)

式中：Fc為對內(nèi)圈施加的徑向力；Z為球數(shù)。

計(jì)算可得Qmax=104.2 N，與圖中最大接觸載荷104.8 N的誤差僅為0.58%。從圖5a中可看出：在高速運(yùn)動時(shí)的離心力作用下，球與外圈間接觸載荷大于與內(nèi)圈間接觸載荷。在徑向力的作用下，軸承分為承載區(qū)和非承載區(qū)，在非承載區(qū)時(shí)內(nèi)圈與球間接觸載荷為0，即在非承載區(qū)球與內(nèi)圈不發(fā)生相互作用。

軸承座z方向加速度如圖5b所示，可以看出在軸承無損傷的情況下，軸承座加速度信號很平穩(wěn)，加速度幅值在0.30 m/s2以下，且沒有明顯沖擊。

2.2 外圈損傷軸承動力學(xué)分析

當(dāng)外圈損傷時(shí)，球與外圈接觸載荷如圖6a所示，從圖中可以看出，外圈存在表面損傷時(shí),球與外圈間接觸載荷會在球經(jīng)過損傷位置時(shí)產(chǎn)生突變。從接觸載荷局部放大的圖6b可以看出，外圈損傷時(shí)，球與外圈間彈性變形陡然減小，而后在內(nèi)圈的反作用下彈性變形將增大到正常狀況下的數(shù)倍，故而產(chǎn)生較強(qiáng)的沖擊；另外，外圈與球間接觸載荷會在損傷處驟然減小，而后增大。軸承座徑向加速度信號如圖6c所示，可以看到每當(dāng)球經(jīng)過損傷部位時(shí)，軸承座的振動響應(yīng)便會產(chǎn)生一個(gè)沖擊；從軸承座的加速度包絡(luò)譜(圖6d)可以看到頻率成分最為明顯的外圈故障特征頻率408.9 Hz以及逐漸衰減的2倍頻、3倍頻等成分。而由純滾動和簡單運(yùn)動假設(shè)得到的理論計(jì)算結(jié)果為fbpfo=409.3 Hz，兩者間的誤差為0.95%。該誤差是由于本模型考慮了潤滑牽引作用，摒棄了純滾動理論假設(shè)，因此本模型的結(jié)果更利于實(shí)際工況下的故障診斷。

圖6 外圈損傷軸承振動響應(yīng)特性Fig.6 Vibration responses characteristic of bearing with outer ring damage

2.3 內(nèi)圈損傷動力學(xué)分析

當(dāng)內(nèi)圈損傷時(shí)，球與內(nèi)圈接觸載荷如圖7a所示，從圖中可以看到明顯的沖擊。另外，由于內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)，球與內(nèi)圈損傷部位將在不同方位發(fā)生碰撞，因此，沖擊力大小將發(fā)生變化,沖擊力的幅值受到轉(zhuǎn)頻調(diào)制。從內(nèi)圈損傷時(shí)軸承座的加速度波形(圖7b)可以看出，沖擊只發(fā)生在承載區(qū)上，而在非承載區(qū)沒有明顯沖擊。軸承座的加速度包絡(luò)譜如圖7c所示，從圖中可以看出主要頻率成分有內(nèi)圈故障特征頻率fbpfi(590.5 Hz)及其倍頻成分(2fbpfi=1 181 Hz，3fbpfi=1 772 Hz)，故障特征頻率倍頻的邊頻(fbpfi±fr,2fbpfi±fr,3fbpfi±fr)，轉(zhuǎn)頻fr(83.2 Hz)及其倍頻(2fi=166.3 Hz,3fi=250.2 Hz)，邊頻的產(chǎn)生是由于內(nèi)圈損傷處的位置會隨著內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)而周期性變化，內(nèi)圈的故障特征頻率受到轉(zhuǎn)頻的調(diào)制。

2.4 內(nèi)、外圈復(fù)合故障動力學(xué)分析

當(dāng)內(nèi)、外圈同時(shí)具有損傷時(shí)，軸承座的加速度波形如圖8a所示，從圖中可看出該波形較內(nèi)、外圈單一損傷更為復(fù)雜，包含有單點(diǎn)缺陷時(shí)的沖擊。而從內(nèi)、外圈復(fù)合故障軸承座的振動包絡(luò)譜(圖8b)可以看到內(nèi)、外圈故障特征頻率成分及其倍頻成分，還有內(nèi)圈轉(zhuǎn)頻及其倍頻成分。復(fù)合故障頻率成分可看成是單點(diǎn)缺陷的非線性疊加，包含有單點(diǎn)損傷所有的頻率成分。另外，復(fù)合故障特征信號不僅包含有單個(gè)故障的特征信號，還包括2種單故障信號作用在軸承上的相互調(diào)制的振動信號。

圖8 復(fù)合故障軸承振動特性Fig.8 Vibration characteristic of bearing with compound fault

3 結(jié)論

在考慮球與滾道間的相對滑動作用和潤滑牽引作用的前提下，以Gupta模型為基礎(chǔ)建立了單點(diǎn)損傷及復(fù)合故障軸承的動力學(xué)模型，探索了單點(diǎn)損傷及復(fù)合故障對軸承內(nèi)部接觸載荷及軸承振動特性的影響規(guī)律，得出以下結(jié)論：

1)分析結(jié)果與傳統(tǒng)理論假設(shè)有一定的偏差，該偏差是由于傳統(tǒng)理論未考慮球在軸承運(yùn)動中存在一定的相對滑動等復(fù)雜運(yùn)動。分析將有助于研究和預(yù)測單點(diǎn)損傷軸承及復(fù)合故障軸承的動力學(xué)行為，并為軸承故障診斷提供一定依據(jù)。

2)驗(yàn)證了單點(diǎn)損傷頻譜圖的特征頻率成分。外圈損傷軸承在包絡(luò)譜上表現(xiàn)為以外圈故障特征頻率為間隔的隨頻率增大而逐漸衰減的理論譜線；內(nèi)圈損傷軸承的包絡(luò)譜在各階倍頻特征頻率處有幅值逐漸減小的譜線，且在各階倍頻處的兩旁存在間隔等于轉(zhuǎn)頻的調(diào)制譜線。

3)在復(fù)合故障軸承仿真中，頻譜結(jié)果圖表明了復(fù)合故障頻譜特性是單點(diǎn)損傷頻譜的非線性疊加，頻譜圖包含有內(nèi)外圈單點(diǎn)損傷的特征頻率成分，還包含2種故障信號作用在軸承上相互調(diào)制的振動信號。