江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 闞麗波

美國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家G·波利亞認(rèn)為：“解題是人類(lèi)的天性”“數(shù)學(xué)教師要盡一切可能發(fā)展他的學(xué)生的解決問(wèn)題能力，特別是解決新問(wèn)的能力”。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，很多都是從例題講授中獲得的。例題教學(xué)是數(shù)學(xué)課的重要組成部分，是把知識(shí)、技能、思想和方法聯(lián)系起來(lái)的一條紐帶。

教科書(shū)中呈現(xiàn)了大量精彩的例題，這些題目雖然基礎(chǔ)，但體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和方法的運(yùn)用，同時(shí)為學(xué)生呈現(xiàn)了規(guī)范的解題模式。但是，隨著學(xué)習(xí)的深入，需要將知識(shí)融會(huì)貫通，教師就要額外精心編制適當(dāng)?shù)睦}。教學(xué)中，筆者對(duì)教科書(shū)中以外的例題的選擇與編制經(jīng)常進(jìn)行揣摩與反思，總結(jié)出設(shè)計(jì)與講授例題時(shí)通常需要結(jié)合以下原則：

一、目的明確，有的放矢

數(shù)學(xué)例題的編制與講授首先需要目的明確，有時(shí)為了引入某一個(gè)概念，有時(shí)為了揭示某一公式或法則的運(yùn)用，有時(shí)是為了推導(dǎo)某一個(gè)公式，有時(shí)用來(lái)強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)規(guī)范和解題格式，有時(shí)是為了讓學(xué)生掌握某種解題技巧，還有時(shí)則用來(lái)突出某種數(shù)學(xué)思維的方法。

如在講授“函數(shù)”的概念時(shí)，學(xué)生普遍感到抽象、難懂。事實(shí)上，“函數(shù)”的概念描述具有一定的抽象性，咬文嚼字地講解容易引起學(xué)生的反感。學(xué)生需要在學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等具體函數(shù)的過(guò)程中，自發(fā)地加強(qiáng)對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵與外延的理解。因此，在初次接觸“函數(shù)”概念時(shí)，教師需要提供大量函數(shù)關(guān)系的實(shí)例，比如勻速行駛時(shí)路程與時(shí)間的關(guān)系，并且讓學(xué)生嘗試舉例，在具有實(shí)際意義的兩個(gè)變量的變化關(guān)系中，理解自變量與因變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生感受到生活中的函數(shù)關(guān)系普遍存在，進(jìn)而辨認(rèn)一些曲線的坐標(biāo)是否滿足函數(shù)關(guān)系以及關(guān)于兩個(gè)變量的表達(dá)式是否滿足函數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的認(rèn)識(shí)上的飛躍。

二、巧設(shè)“梯子”，易于接受

例題教學(xué)要易于學(xué)生接受。要做到這一點(diǎn)，教師要“吃透兩頭”，即“吃透例題”“吃透學(xué)生”。對(duì)于難度較大，估計(jì)學(xué)生一下子接受有困難的例題，要降低難度，搭好臺(tái)階，讓學(xué)生感到在老師的引導(dǎo)下“跳一跳”就能達(dá)到，有人主張的“先做后講”“作業(yè)前移”正是為了讓老師充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從而有的放矢地講解。比如，教師在講解平面幾何題目時(shí)，需要講清楚思維過(guò)程，并以思維導(dǎo)圖的形式進(jìn)行展示，對(duì)學(xué)生的解法，即使方法煩瑣，也要舍得花時(shí)間幫助學(xué)生簡(jiǎn)化過(guò)程，這樣的過(guò)程有利于學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，增強(qiáng)方法運(yùn)用技巧。筆者認(rèn)為，能夠解決問(wèn)題的方法都是可行的，沒(méi)有必要批判其為“笨方法”。很多時(shí)候教師所謂的簡(jiǎn)便方法，未必易于學(xué)生接受，某些學(xué)生的方法更接近于班級(jí)學(xué)生的知識(shí)水平。

例題講解要先讓學(xué)生講思路，既可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，又有可能產(chǎn)生讓多數(shù)學(xué)生易于接受的方法。如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，反比例函數(shù)（x＞0，k≠0）的圖象與BC交于點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)E。若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，若四邊形OEBD的面積是2，則k=____。此題有的學(xué)生設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)而不求可以解決。雖有點(diǎn)煩瑣，但多數(shù)學(xué)生易于接受。但筆者講授此題時(shí)認(rèn)為，用面積關(guān)系解決即可秒殺。怎樣讓學(xué)生接受這種方法呢？我設(shè)置了問(wèn)題：“求證：E是邊AB的中點(diǎn)?！钡扔诮o了學(xué)生“一把梯子”，不妨追問(wèn)“若CD=3BD，則點(diǎn)E在線段AB的何處？”進(jìn)行拓展，以此激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

三、循循善誘，注重啟發(fā)

例題教學(xué)要遵循啟發(fā)式原則，摒棄“注入式”“填鴨式”。教師如行云流水般的板書(shū)、口若懸河般的講授，學(xué)生或者聽(tīng)得云里霧里、不知所云，要么驚嘆老師的巧妙構(gòu)思，然后感慨“老師怎么想到的？”如果教師盡量少講，多給予啟發(fā)并留給學(xué)生思維的空間，學(xué)生才能成為課堂的主體。

設(shè)計(jì)問(wèn)題串是教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生的常用手段。如在下題的教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)了如下幾個(gè)問(wèn)題：如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點(diǎn)P、Q分別在BD，AD上，則AP+PQ的最小值為_(kāi)___________。

問(wèn)題1：兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都影響著AP+PQ的值，能否先固定一點(diǎn)？P與Q兩點(diǎn)，先固定哪一點(diǎn)較好？

問(wèn)題2：（經(jīng)討論，先固定點(diǎn)Q）點(diǎn)A與點(diǎn)Q是定點(diǎn)，點(diǎn)P是定直線上的動(dòng)點(diǎn)，這是所學(xué)的哪種典型問(wèn)題？

問(wèn)題3：（問(wèn)題2得出是“將軍飲馬”問(wèn)題）點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與點(diǎn)Q所連線段何時(shí)最短？

問(wèn)題4：由條件“ED=3BE”可得點(diǎn)P在何處？

問(wèn)題5：（點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)）三角形ABP的形狀有何特殊性？

……

在以上問(wèn)題的引導(dǎo)下，學(xué)生思路陸續(xù)打開(kāi)，有的經(jīng)兩三個(gè)問(wèn)題啟發(fā)后便能自主解答。

四、延伸拓展，觸類(lèi)旁通

所選例題盡量進(jìn)行拓展延伸，讓學(xué)生由“會(huì)一道題”上升為“會(huì)一類(lèi)題”。少數(shù)學(xué)生本身的舉一反三能力較強(qiáng)，而多數(shù)學(xué)生需要教師講完一道例題后再輔以若干變式，才能真正理解例題的方法并融會(huì)貫通，否則他們往往會(huì)機(jī)械地照搬這個(gè)固定模式解題，造成思維的呆板和僵化。在例題教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生獲得某種解題的基本方法后，應(yīng)及時(shí)對(duì)原題的條件、結(jié)論、情境或方法進(jìn)行延拓變通。變式教學(xué)多年來(lái)受到數(shù)學(xué)教育者的青睞，并且形成了比較完善的教學(xué)理論。然而實(shí)際教學(xué)中，很多數(shù)學(xué)教師熱衷于題量，卻不愿慢下來(lái)將有限的例題多角度進(jìn)行變式。

筆者在講解分式方程中“增根”問(wèn)題時(shí)，有的學(xué)生很難理解，對(duì)相似的條件不知道如何運(yùn)用，問(wèn)題根源是沒(méi)有理清分式方程與所化整式方程根之間的關(guān)系。因此，筆者在授課時(shí)設(shè)置了如下變式題組：解分式方程：

首先通過(guò)具體的分式方程的求解，讓學(xué)生在簡(jiǎn)單的解方程的過(guò)程中體會(huì)“增根”的含義，弄清分式方程與所化整式方程根之間的關(guān)系，進(jìn)而通過(guò)一組含參數(shù)的變式題，逆向理解這種關(guān)系，最后再輔以適當(dāng)練習(xí)進(jìn)行強(qiáng)化，取得了較好的教學(xué)效果。

數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握不是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本任務(wù)，教會(huì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題才是數(shù)學(xué)教育的歸宿。選好例題、講透例題，將目的性、接受性、啟發(fā)性、延伸性融為一體，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)解題的機(jī)會(huì)，也是學(xué)生學(xué)會(huì)解題的關(guān)鍵一步。學(xué)生在獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面也可以得到進(jìn)步和發(fā)展。