首都師范大學附屬育新學校 見海榮

葉圣陶先生曾說：教是為了不教。我的理解就是數(shù)學學習不是簡單地讓學生習得知識，更是讓學生習得學習知識的方法。作為初中數(shù)學教師，就是要通過教師的課堂教學，把數(shù)學學習的方法教給學生,從而啟迪學生的思維發(fā)展。

一、傳授思維之道

教學，要講清知識的來龍去脈、知識的習得過程方法及思維的方法。要達成這樣的教學設(shè)計，需要教師深度理解數(shù)學，整體把握教學內(nèi)容進行教學設(shè)計。章建躍先生曾說：理解數(shù)學，體會數(shù)學知識的意蘊，才能理解數(shù)學的基本思想，把握數(shù)學的基本方法。理解數(shù)學的水平?jīng)Q定了理解數(shù)學的高度，同時也決定了教學所能達到的水平和效果。因此，做好教學設(shè)計的前提是教師對教學內(nèi)容的理解。

以《從分數(shù)到分式》的教學為例，在教學設(shè)計前，教師就要達成對這一內(nèi)容的深度學習。我們知道分式屬于代數(shù)的典型內(nèi)容，而代數(shù)學的根源在于代數(shù)運算，這就是教學設(shè)計的起點；我們還知道數(shù)及其運算是一切運算系統(tǒng)的模范，與它類比發(fā)現(xiàn)需研究的問題和方法，是基本且重要的數(shù)學方法。我們還知道代數(shù)運算的過程和方法可以容易發(fā)展成高層次函數(shù)觀點，這就是知識的延伸。基于這些認識，教師將圍繞以下內(nèi)容引領(lǐng)學生進行數(shù)學學習：

1.起點：如何設(shè)計運算創(chuàng)造新的數(shù)學對象——分式？基于這個問題，本節(jié)課將引導學生用整式除法這種運算在整式范圍內(nèi)的不封閉性引發(fā)學生認知的沖突，從而創(chuàng)造新的數(shù)學對象——分式。

2.理解：如何用運算幫助學生理解新的數(shù)學對象——分式？基于這個問題，本節(jié)課將引導學生通過除法的性質(zhì)（除法運算的使用條件）來理解分式有意義、分式值為0的條件。

3.方法：如何類比分數(shù)學習新的數(shù)學對象——分式？基于這個問題，本節(jié)課將引導學生用由特殊到一般的方法達成這一目標的學習：

層次一：由數(shù)系的擴充到式的擴充：由整數(shù)除法運算產(chǎn)生分數(shù)類比到整式除法運算產(chǎn)生分式；

層次二：由分數(shù)的性質(zhì)類比學習分式的性質(zhì)（分式值為0、有意義的條件）。

4.延伸：如何在教學中滲透函數(shù)的觀點？基于這個問題，本節(jié)課教師引導學生體會分式的值是如何隨著分式中字母取值的變化而變化的，為初三反比例函數(shù)的學習做好鋪墊。

這樣的教學設(shè)計使學生在瞻前——整式除法運算的矛盾沖突中，自然產(chǎn)生新的數(shù)學對象——分式，使學生在明白為什么學習新的數(shù)學知識的同時加深了整式與分式間的聯(lián)系。教學中用分數(shù)的學習經(jīng)驗類比學習解決分式問題的方法，讓學生深刻地體會到數(shù)式通性。教學中教師有意識地滲透，使學生可以顧后：對函數(shù)意識有了初步體會，為后續(xù)學習打好伏筆。這樣的教學設(shè)計加深了知識各部分之間的聯(lián)系，使知識成為一個相互聯(lián)系的、密不可分的整體，易于形成知識系統(tǒng)。這樣的教學設(shè)計更體現(xiàn)了代數(shù)運算教學方法的一致性，即用運算產(chǎn)生新對象，用運算理解新對象，用數(shù)式通性，即類比的方法學習新的數(shù)學對象。學生積累的這種學習知識的經(jīng)驗有利于培養(yǎng)系統(tǒng)思維，讓學生養(yǎng)成全面思考問題的習慣，讓學生能“由木見林”，將來在面對新的代數(shù)運算的其他內(nèi)容時，他們可以用同樣的方法認識問題，解決問題，這就是思維之道。

二、傳授思維之法

俗話說：授之以魚不如授之以漁。教師要通過自己的教學設(shè)計讓學生獲得理解和解決問題的工具——“一般方法”。

在《平方差公式》的教學中，教師通過問題引導學生回顧冪的運算性質(zhì)的學習以及等腰三角形的性質(zhì)的學習過程，讓學生重拾原有的活動經(jīng)驗：冪的運算性質(zhì)的學習是具體的數(shù)的冪的運算到抽象的式的冪的運算，這是用從特殊到一般的方法習得新知；等腰三角形的性質(zhì)的學習是先學習一般三角形的性質(zhì)，再到特殊的三角形——等腰三角形，從條件特殊化會引發(fā)什么結(jié)論特殊化，即從一般到特殊的方法習得新知。這樣的回顧為后面建構(gòu)平方差公式提供了解決問題的原型以及更好地理解和解決問題的工具——“一般方法”。這個“一般方法”讓學生擁有用數(shù)學的眼光在對舊知識的再認識（上節(jié)課的多項式乘以多項式的練習）中提出新的問題：

方法一：學生可以把已有的多項式乘以多項式公式（a+b）(c+d）=ac+ad+bc+bd特殊化，如：讓a=c,b=d或a=c,b=-d等。即從一般到特殊的方法得到新的公式，這種發(fā)現(xiàn)方法需要學生具備較高的認知水平和較高的理性思考精神。

方法二：學生通過特殊形式的多項式相乘運算結(jié)果發(fā)現(xiàn)某些運算結(jié)果簡單，從中發(fā)現(xiàn)這種特殊的多項式相乘的結(jié)構(gòu)特征，從特殊到一般地發(fā)現(xiàn)新的公式，并證明所發(fā)現(xiàn)的公式。這個過程中學生經(jīng)歷了觀察——思考——抽象——推理——歸納的全過程，經(jīng)歷了數(shù)學抽象、數(shù)學建模的全過程。

這樣的設(shè)計中，教師引導學生用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學的方法分析問題，最終用數(shù)學的思維解決問題，從而獲得新知。這樣的過程使學生學會如何思考問題，特別是有邏輯地思考問題，即習得思維的方法，容易使學生成為善于認識問題、善于解決問題的人才。

三、關(guān)注思維之度

教師的教學設(shè)計應該引發(fā)學生不同角度的思考，引發(fā)學生更深刻的思考，引發(fā)學生創(chuàng)新性的思考，為學生搭建思維發(fā)展的空間。

1.開放性的教學設(shè)計關(guān)注思維多樣性

在《平方差公式》一節(jié)，教師設(shè)計開放性問題：你能從前面多項式乘以多項式的習題中發(fā)現(xiàn)新的問題嗎？你可以通過怎樣的不同途徑對你發(fā)現(xiàn)的問題進行解決？學生提出的問題可以是開放的，解決問題的路徑是開放的，讓學生可以從不同角度發(fā)現(xiàn)問題，用不同方法解決問題。

在引導學生概括歸納平方差公式的階段，教師引導學生從符號語言、文字語言、圖形語言等不同方面多元理解平方差公式，這樣可以讓擁有不同特長智能的學生選擇他們更合適的方法，讓不同智能的學生優(yōu)勢互補，共同發(fā)展。

2.開放性教學設(shè)計引發(fā)學生思維創(chuàng)新性

在《角的再認識復習課》的教學設(shè)計中，教師讓學生畫一個角，使它等于已知角。問題的開放性帶來學生解答方式的多樣性：有直接應用所學單一知識畫出已知角，從而完成知識梳理的基本方法，更有綜合所學知識，融會貫通運用知識，創(chuàng)造性畫出已知角的創(chuàng)新型方法。正是教師開放性的問題設(shè)計激發(fā)了學生的創(chuàng)造性思考，這樣的設(shè)計讓學生有展示的空間和時間，讓學生獲得成功的快樂，從而樂學。

3.變式設(shè)計引導學生思維深刻性

教師的教學設(shè)計均圍繞同一情境，通過變式教學提出不同層次的問題：有讓基礎(chǔ)薄弱的學生也能入手的基礎(chǔ)題，讓他覺得數(shù)學“不難”，我可以學，還有體現(xiàn)通法，關(guān)注大多數(shù)學生的典型題——讓他覺得數(shù)學“有律可循”，我可以做，更有思維深度讓優(yōu)秀學生有展示天地的提高題，讓他覺得數(shù)學“要攀登”，我可以做得更好。這樣的設(shè)計讓學生達成對知識的本質(zhì)結(jié)構(gòu)的理解，突破難點，一步步引發(fā)更深層次的思考。

如角的復習課中，教師設(shè)計如下習題：

（1）如圖1，AB∥CD，請你探究∠B、∠C、∠E的關(guān)系。

（2）如圖2，點E位置發(fā)生變化，其余條件不變，請你直接寫出∠B、∠C、∠E的關(guān)系。

（3）如圖3，點E位置發(fā)生變化，其余條件不變，請你直接寫出∠B、∠C、∠E之間的關(guān)系。

（4）如圖4，AB與CD交于點N，請你探究∠B、∠C、∠E、∠N的關(guān)系。

圖 1

圖 2

圖 3

圖 4

這樣的設(shè)計,讓學生從復習平行線中的角到三角形中的角,知識從簡單到復雜，方法上深思有什么共通之處?有什么變化之處?為什么共通?為什么變化?這樣的教學設(shè)計引發(fā)學生的思維步步深入，真正達成了對知識由厚到薄的學習過程。

綜上所述，教師的教學正如傅種孫先生在談到教學時所說的：知其然，知其所以然，何由以知其所以然，啟發(fā)學生，示以思維之道。