林龍鋒，周 力

（1. 廣州地鐵設(shè)計(jì)研究院，廣州 510000；2. 同濟(jì)大學(xué)鐵道與城市軌道交通研究院，上海 201804）

在地鐵運(yùn)行過程中，1由于軌道幾何不平順、剛度不平順、車輪踏面磨損等因素，車輪和鋼軌之間會(huì)發(fā)生動(dòng)力作用，產(chǎn)生振動(dòng)，使得車輪和鋼軌的磨損加劇，又進(jìn)一步加大了輪軌間的振動(dòng)，形成惡性循環(huán)。同時(shí)，輪軌間的振動(dòng)會(huì)向道床、隧道、土壤和周圍建筑物傳播，給地鐵沿線居民的生活和工作帶來不利影響。這些因素大大制約了地鐵的建設(shè)和發(fā)展。

輪軌間相互作用產(chǎn)生的振動(dòng)是不可避免的，那么，為了降低地鐵振動(dòng)對(duì)沿線居民和建筑的影響，國內(nèi)外研制和開發(fā)了各種軌道減振產(chǎn)品，如減振扣件、梯形軌枕、鋼彈簧浮置板等。其中，鋼彈簧浮置板是目前效果比較好的減振產(chǎn)品之一[1-4]。鋼彈簧浮置板的工作原理主要是通過低剛度的彈簧阻尼器，把振源（輪軌）與隧道壁隔開，進(jìn)而減小隧道壁向外界環(huán)境傳播的振動(dòng)，達(dá)到保護(hù)沿線建筑物和居民的目的?，F(xiàn)有研究表明，鋼彈簧浮置板在降低隧道壁振動(dòng)的同時(shí)，往往會(huì)增大道床和鋼軌的振動(dòng)，加劇輪軌間的相互作用，進(jìn)一步惡化車輪和鋼軌接觸面，對(duì)軌道線路和車輛十分不利[5-6]。

為了解決這一問題，筆者研究通過在浮置板軌道上加設(shè)動(dòng)力吸振器，降低由隔振所引發(fā)的浮置板軌道道床和鋼軌振動(dòng)增大的部分。動(dòng)力吸振器的工作原理主要是借助吸振器的阻尼和剛度元件，通過自身振動(dòng)，從目標(biāo)系統(tǒng)中吸收能量并進(jìn)行消耗，從而降低目標(biāo)系統(tǒng)的振動(dòng)。目前，國內(nèi)外已經(jīng)有很多關(guān)于動(dòng)力吸振器在工程中的研究與應(yīng)用[7-8]，在城市軌道交通行業(yè)主要應(yīng)用于鋼軌，而在浮置板上應(yīng)用較少。將單自由度動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)理論和多模態(tài)控制理論相結(jié)合，根據(jù)有限元模型中車輛運(yùn)行狀態(tài)下浮置板軌道振動(dòng)頻譜特性，對(duì)浮置板動(dòng)力吸振器的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并分析了浮置板動(dòng)力吸振器的制振效果。

1 動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)理論與方法

1.1 單自由度主振系統(tǒng)的動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)

對(duì)于一個(gè)單自由度無阻尼主振系統(tǒng)，根據(jù)定點(diǎn)擴(kuò)展理論[9]，其附加的動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)參數(shù)如式（1）～（3）所示，其中，m、k、c分別為動(dòng)力吸振器的質(zhì)量、剛度和阻尼，μ 為動(dòng)力吸振器的質(zhì)量比，M、K為主振系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度。

當(dāng)動(dòng)力吸振器處于最優(yōu)設(shè)計(jì)條件時(shí)，即滿足最優(yōu)同調(diào)條件和最優(yōu)阻尼條件，主振系統(tǒng)的最大振幅比由式（4）決定。由式（1）～（4）看出，動(dòng)力吸振器的參數(shù)和主振系統(tǒng)的最大振幅比均由動(dòng)力吸振器的質(zhì)量比參數(shù)決定。增加質(zhì)量比可以提高制振的效果，但會(huì)使整體結(jié)構(gòu)變重。為了避免增加過大的質(zhì)量，一般質(zhì)量比不大于0.2。

文獻(xiàn)[10]給出了單自由度無阻尼主振系統(tǒng)附加了滿足最優(yōu)設(shè)計(jì)條件的動(dòng)力吸振器后的強(qiáng)迫振動(dòng)最大振幅比近似值：

其中，eqζ是與最優(yōu)狀態(tài)的動(dòng)力吸振器等價(jià)的單自由度系統(tǒng)的阻尼比。利用式（6）可以確定為了達(dá)到期望的減振效果所需的動(dòng)力吸振器的質(zhì)量比。

1.2 多自由度主振系統(tǒng)的動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)

對(duì)于單自由度主振系統(tǒng)，可以通過定點(diǎn)擴(kuò)展理論較為簡單地計(jì)算出動(dòng)力吸振器的參數(shù)。但現(xiàn)實(shí)中，主振系統(tǒng)往往是多自由度系統(tǒng)，且各自由度之間相互耦合，很難通過系統(tǒng)的頻響函數(shù)直接求得動(dòng)力吸振器的最優(yōu)同調(diào)條件和最優(yōu)阻尼條件。這時(shí)，首先需要利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換將多自由度系統(tǒng)解耦，轉(zhuǎn)換成多個(gè)互不干涉的單自由度系統(tǒng)，然后利用單自由度系統(tǒng)動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[10]認(rèn)為可以將以單自由度為對(duì)象的動(dòng)力吸振器的最優(yōu)設(shè)計(jì)法與模態(tài)控制理論相結(jié)合，即以各個(gè)模態(tài)為控制對(duì)象，將單自由度動(dòng)力吸振器的最優(yōu)設(shè)計(jì)關(guān)系式應(yīng)用到第i階模態(tài)的制振中。在第i階模態(tài)動(dòng)力吸振器的設(shè)置位置，通過該點(diǎn)的等價(jià)質(zhì)量確定吸振器的質(zhì)量比后，根據(jù)單自由度系統(tǒng)吸振器設(shè)計(jì)中的最優(yōu)同調(diào)和最優(yōu)阻尼條件，確定用于對(duì)第i階模態(tài)制振的動(dòng)力吸振器的參數(shù)。

1.3 浮置板軌道動(dòng)力吸振器的參數(shù)設(shè)計(jì)步驟

根據(jù)2.2節(jié)中對(duì)多自由度多模態(tài)控制的動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)方法的闡述，本文對(duì)浮置板軌道中道床板的制振設(shè)計(jì)主要按照以下3個(gè)步驟：1）根據(jù)車輛—軌道動(dòng)力學(xué)原理，建立車輛—浮置板軌道有限元模型，計(jì)算出車輛運(yùn)行過程中浮置板的動(dòng)力響應(yīng)；2）對(duì)浮置板進(jìn)行模態(tài)分析，結(jié)合浮置板動(dòng)力響應(yīng)的頻譜特性，確定需要制振的模態(tài)階數(shù)以及吸振器的安裝位置；3）將單自由度吸振器設(shè)計(jì)原理與多模態(tài)控制相結(jié)合，計(jì)算出動(dòng)力吸振器的參數(shù)。

2 鋼彈簧浮置板動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)

2.1 車輛—軌道動(dòng)力耦合有限元模型仿真與計(jì)算

本文利用ABAQUS有限元軟件，根據(jù)圖1所示的車輛—軌道簡化模型，建立車輛—鋼彈簧浮置板軌道有限元模型。其中，車體和轉(zhuǎn)向架均采用剛體，質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均按照地鐵B型車輛參數(shù)進(jìn)行設(shè)置；一系和二系懸掛用彈簧阻尼單元進(jìn)行模擬；浮置板軌道扣件剛度為50 kN/mm；浮置板采用6 m板，鋼彈簧套筒間距1.2 m，鋼彈簧的剛度大小設(shè)置為6.9 kN/mm。

圖1 車輛—軌道動(dòng)力模型Fig. 1 Vehicle-track dynamic model

本文主要關(guān)注浮置板垂向振動(dòng)，選擇美國六級(jí)譜作為系統(tǒng)的激勵(lì)，把軌道不平順看作平穩(wěn)隨機(jī)過程，采用三角級(jí)數(shù)法，將高低不平順譜轉(zhuǎn)換為軌道高低不平順空間樣本[11]，圖2、圖3為在軌道高低不平順激勵(lì)下，車輛運(yùn)行過程中的浮置板振動(dòng)加速度的計(jì)算結(jié)果。

圖2 鋼彈簧浮置板中點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程曲線Fig. 2 Time history curve of mid-point on the steel-spring floating slab

圖3 鋼彈簧浮置板中點(diǎn)振動(dòng)頻域Fig. 3 Vibration frequency curve of mid-point on the steel-spring floating slab

2.2 浮置板模態(tài)計(jì)算

由于本文主要關(guān)注浮置板垂向振動(dòng)，所以所求的浮置板模態(tài)也是垂向的。利用ABAQUS有限元軟件，建立浮置板實(shí)體模型，采用Lanczos算法，求出浮置板前四階模態(tài)，如圖4所示。

圖4 浮置板前四階模態(tài)Fig. 4 First four modes of the floating slab

從2.1節(jié)圖3中可以看出，在100 Hz以內(nèi)，鋼彈簧浮置板在37 Hz和85 Hz附近有較大的振動(dòng)峰值，浮置板在這兩處各有一階模態(tài)（第2階模態(tài)和第3階模態(tài)）。因而，本文以浮置板的第2、3階模態(tài)為控制對(duì)象，通過設(shè)置相應(yīng)的動(dòng)力吸振器來控制浮置板在37 Hz和85 Hz附近的振動(dòng)。

2.3 浮置板動(dòng)力吸振器參數(shù)計(jì)算

根據(jù)多模態(tài)動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)方法，在將多自由度系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為N個(gè)互不耦合的單自由度系統(tǒng)后，可以把系統(tǒng)各個(gè)模態(tài)視為控制對(duì)象，將單自由度動(dòng)力吸振器的最優(yōu)設(shè)計(jì)關(guān)系式，即公式（1）～（5）應(yīng)用到第i階模態(tài)的制振中。在確定了第i階模態(tài)的等價(jià)阻尼后，如果能夠獲得第i階模態(tài)的系統(tǒng)等價(jià)質(zhì)量Mi，就可以計(jì)算出第i階模態(tài)動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)參數(shù)。系統(tǒng)的第i階模態(tài)的等價(jià)質(zhì)量與吸振器的設(shè)置位置有關(guān)。具體來說，首先借助ABAQUS有限元軟件，采用Lanczos方法進(jìn)行模態(tài)分析，得到第i階模態(tài)的一致慣性質(zhì)量，并結(jié)合安裝位置的振幅與最大振幅的關(guān)系，計(jì)算得到等價(jià)質(zhì)量；其次，在確定吸振器阻尼后，根據(jù)多模態(tài)控制與動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)理論[10]，結(jié)合單自由度動(dòng)力吸振器的最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)，從而計(jì)算出第i階模態(tài)的吸振器參數(shù)。

吸振器的設(shè)計(jì)質(zhì)量大小與吸振器控制的目標(biāo)模態(tài)階數(shù)以及安置的位置有關(guān)?？紤]到如果吸振器設(shè)計(jì)質(zhì)量過大，兼顧到浮置板軌道空間布局，在實(shí)際應(yīng)用中不便于實(shí)現(xiàn)，所以本文盡量將動(dòng)力吸振器設(shè)置在所控制的模態(tài)振動(dòng)較大處。因而，本文將抑制第2階模態(tài)振動(dòng)的動(dòng)力吸振器 1安置在浮置板沿軌道縱向端部（兩端各一個(gè)），即第2階振動(dòng)模態(tài)波腹位置（變形最大處）；將抑制第3階模態(tài)振動(dòng)的動(dòng)力吸振器2安置在浮置板軌道外側(cè)的中部位置（左右兩側(cè)各一個(gè)），即第3階振動(dòng)模態(tài)波腹位置，如圖5所示。同時(shí)，動(dòng)力吸振器1的安置位置恰好是浮置板第3階振動(dòng)模態(tài)的波節(jié)位置，動(dòng)力吸振器2安置位置恰好是浮置板第2節(jié)階振動(dòng)模態(tài)的波節(jié)位置，實(shí)現(xiàn)了各個(gè)模態(tài)的非耦合控制設(shè)計(jì)，避免了抑制不同模態(tài)振動(dòng)的動(dòng)力吸振器之間相互干擾。表1給出了控制各模態(tài)振動(dòng)的動(dòng)力吸振器最優(yōu)參數(shù)。

雖然在參數(shù)計(jì)算過程中，模型的質(zhì)量是按照相應(yīng)模態(tài)最大振幅點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的質(zhì)量大小而設(shè)計(jì)，但考慮到實(shí)際情況，選擇具有一定體積的實(shí)體模型，結(jié)合軌道的空間、車輛運(yùn)行安全等因素，動(dòng)力吸振器1和2的質(zhì)量塊幾何尺寸初步設(shè)置為1 m×1 m×0.1 m、0.6 m×0.4 m× 0.1 m。此外，質(zhì)量塊通過彈簧/阻尼矩陣與浮置板相連，方向與板面垂直，彈簧/阻尼矩陣的總剛度和阻尼大小分別等于表1中對(duì)應(yīng)的剛度和阻尼參數(shù)值。

圖5 動(dòng)力吸振器位置分布Fig. 5 Position distribution diagram of the dynamic vibration absorber

表1 控制各模態(tài)振動(dòng)的動(dòng)力吸振器最優(yōu)參數(shù)Tab. 1 Optimal parameters of the dynamic vibration absorber for controlling the modal vibration

2.4 動(dòng)力吸振器吸振特性分析

如圖6所示，將動(dòng)力吸振器（DVA）設(shè)置在車輛—浮置板軌道有限元模型中，計(jì)算浮置板軌道在車輛載荷作用下的動(dòng)力響應(yīng)。其中，動(dòng)力吸振器采用實(shí)體單元進(jìn)行模擬，吸振器的剛度和阻尼用線性彈簧/阻尼單元矩陣表示。將設(shè)置有吸振器的浮置板道床中點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)域和頻域結(jié)果與未設(shè)置吸振器的浮置板道床中點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖6、圖7所示。

圖6 浮置板道床中點(diǎn)振動(dòng)加速度時(shí)程Fig. 6 Vibration time history curve of acceleration at the midpoint of the floating Slab

圖7 浮置板道床中點(diǎn)振動(dòng)加速度頻譜Fig. 7 Vibration frequency curve of acceleration at the midpoint of the floating slab

如圖7所示，鋼彈簧浮置板在加設(shè)有動(dòng)力吸振器后，板中點(diǎn)的加速度響應(yīng)明顯降低。在未設(shè)置動(dòng)力吸振器前，浮置板道床中點(diǎn)在100 Hz以內(nèi)有兩個(gè)峰值，分別在30～37 Hz和79～89 Hz范圍內(nèi)，各自對(duì)應(yīng)浮置板的第2階模態(tài)和第3階模態(tài)，如圖8所示。在加設(shè)了動(dòng)力吸振器后，這兩頻段的振動(dòng)得到明顯改善，峰值分別從0.116 m/s2和0.077 m/s2降低至0.089 m/s2和0.044 m/s2，且對(duì)其他頻段（100 Hz以內(nèi)）的振動(dòng)基本沒有產(chǎn)生不利影響。這表明，動(dòng)力吸振器有效抑制了浮置板的第2階模態(tài)和第3階模態(tài)的振動(dòng)。此外，加設(shè)了動(dòng)力吸振器后，浮置板在第四階模態(tài)頻率（103.2 Hz）附近的振動(dòng)也有所降低。

浮置板上有、無設(shè)置動(dòng)力吸振器時(shí)，鋼軌振動(dòng)響應(yīng)如圖 8所示。從圖中可以清楚地看到在設(shè)置了動(dòng)力吸振器后，鋼軌的振動(dòng)響應(yīng)有所降低。這說明，通過在浮置板上安裝動(dòng)力吸振器不但能夠降低道床板的振動(dòng)，同時(shí)也能夠使得鋼軌低頻范圍內(nèi)的振動(dòng)略有減小。

圖8 軌道鋼軌振動(dòng)加速度頻譜Fig. 8 Vibration acceleration spectrum of the rail

3 結(jié)論

筆者以車輛荷載作用下的浮置板軌道為研究對(duì)象，利用建立的車輛—軌道有限元?jiǎng)恿Ψ抡婺Ｐ?，?jì)算得到鋼彈簧浮置板振動(dòng)加速度響應(yīng)，結(jié)合浮置板的自振特性，運(yùn)用多模態(tài)控制理論，得到鋼彈簧浮置板動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)參數(shù)，并對(duì)動(dòng)力吸振器的吸振效果進(jìn)行了分析，得到如下結(jié)論：

1）基于定點(diǎn)擴(kuò)展理論，將單自由度動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)理論和多模態(tài)控制理論應(yīng)用于浮置板動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)中，并結(jié)合浮置板軌道在車輛荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)特性與浮置板本身的振動(dòng)特性，能夠準(zhǔn)確制定具有良好制振效果的動(dòng)力吸振器參數(shù)。

2）在車輛荷載作用下，安裝有動(dòng)力吸振器的浮置板軌道道床在30～37 Hz和79～89 Hz兩個(gè)頻段范圍內(nèi)的振動(dòng)加速度峰值分別降低了23%和42.8%，這說明在設(shè)計(jì)工作頻段范圍內(nèi)，動(dòng)力吸振器具有較好的吸振效果；但在設(shè)計(jì)工作頻段外，動(dòng)力吸振器基本沒有任何效果。

3）在動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)工作頻段范圍內(nèi)，不僅浮置板道床的振動(dòng)明顯降低，鋼軌的振動(dòng)也有所降低，而傳統(tǒng)的隔振措施在降低軌道板振動(dòng)的同時(shí)往往會(huì)增大軌道的振動(dòng)，這是動(dòng)力吸振器較為突出的優(yōu)點(diǎn)。

質(zhì)量塊材料、軌道空間大小、車輛運(yùn)行安全等均是影響動(dòng)力吸振器幾何尺寸設(shè)計(jì)的重要因素；此外，動(dòng)力吸振器在工作過程中的振動(dòng)相應(yīng)大小也是影響吸振器參數(shù)設(shè)計(jì)的重要因素。本文并未對(duì)上述內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)研究與分析，動(dòng)力吸振器的參數(shù)設(shè)計(jì)還處于理論階段，有待進(jìn)一步的研究。