潘 營(yíng) 利

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南 714099)

在普通物理[1-2]及電磁學(xué)[3-5]教材中，人們常處理變化磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)和變化電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)的問(wèn)題，以此來(lái)解釋或說(shuō)明一些電磁現(xiàn)象，但是對(duì)于電磁轉(zhuǎn)換過(guò)程中的能量關(guān)系則避而不談，這樣對(duì)電磁轉(zhuǎn)換過(guò)程的描述就存在著缺陷。在處理電路問(wèn)題時(shí)，更多的是從電路角度討論其能量轉(zhuǎn)化關(guān)系，并沒(méi)有從電磁場(chǎng)角度對(duì)能量的轉(zhuǎn)化關(guān)系做說(shuō)明，基于此，本文將從電磁場(chǎng)理論出發(fā)對(duì)磁產(chǎn)生電和電產(chǎn)生磁過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)化關(guān)系做了全面的說(shuō)明，同時(shí)對(duì)電路中的能量轉(zhuǎn)化關(guān)系也從電磁場(chǎng)的角度做出解釋，從而使人們對(duì)“路”與“場(chǎng)”的關(guān)系有更深刻的理解。

1 電磁轉(zhuǎn)換過(guò)程中的能量關(guān)系

1.1 磁產(chǎn)生電過(guò)程中的能量關(guān)系

1.1.1 從坡印廷矢量的角度進(jìn)行討論

(1)

(2)

方向垂直于圓柱面指向圓柱內(nèi)(如圖2所示)，其大小為：

是一常數(shù)。這樣單位時(shí)間內(nèi)從周圍電磁場(chǎng)進(jìn)入圓柱面的能量為：

(3)

圖1載流長(zhǎng)直螺線管

圖2 變化磁場(chǎng)產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)

由于磁場(chǎng)增大，單位時(shí)間內(nèi)磁場(chǎng)能量的增加量為：

(4)

由(3)式和(4)式得

由此可得：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)圓柱面內(nèi)磁場(chǎng)能量的增加量來(lái)源于單位時(shí)間內(nèi)從周圍電磁場(chǎng)進(jìn)入圓柱面的能量。

1.1.2 從自感電動(dòng)勢(shì)的角度進(jìn)行討論

(5)

由于

L=μ0n2V=μ0n2πR2l，μ0nI=B，

代入(5)式并整理得

(6)

由此又可得：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)圓柱面內(nèi)磁場(chǎng)能量的增加量來(lái)源于單位時(shí)間內(nèi)電源反抗自感電動(dòng)勢(shì)所做的功。

1.1.3 從渦旋電場(chǎng)的角度進(jìn)行討論

(7)

考慮到I=n0S0qv，B=μ0nI，代入(7)式得：

(8)

由此還可得出：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)圓柱面內(nèi)磁場(chǎng)能量的增加量來(lái)源于單位時(shí)間內(nèi)電源反抗渦旋電場(chǎng)對(duì)電荷的作用力而對(duì)所有電荷所做的功。

1.2 電產(chǎn)生磁過(guò)程中的能量關(guān)系

(9)

此時(shí)的坡印廷矢量大小為：

(10)

方向如圖3所示。這樣單位時(shí)間內(nèi)電容器從周圍電磁場(chǎng)中吸收的能量為：

(11)

單位時(shí)間內(nèi)電容器中電場(chǎng)能量的增加量為：

(12)

由(11)式和(12)式可得：

由此可得：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)電容器中電場(chǎng)能量的增加量來(lái)源于電容器單位時(shí)間內(nèi)從周圍電磁場(chǎng)中吸收的能量。

圖3變化電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)

2 電路中的能量轉(zhuǎn)化與電磁場(chǎng)

對(duì)電磁現(xiàn)象的研究從一開(kāi)始就分為2種不同的方法，這就是“路”與“場(chǎng)”。“路”的理論以歐姆定律、焦耳定律為基礎(chǔ)，以基爾霍夫定律為核心；“場(chǎng)”的理論以庫(kù)侖定律、畢奧—薩伐爾定律、法拉第電磁感應(yīng)定律為基礎(chǔ)，以麥克斯韋方程組為核心?！奥贰迸c“場(chǎng)”的理論在研究多樣性的電磁現(xiàn)象中從不同角度解釋了其規(guī)律性，二者的殊途同歸反映了電磁現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律的和諧性。

下面從“場(chǎng)”的理論出發(fā)推導(dǎo)“路”的定律以探求“路”的定律與“場(chǎng)”的內(nèi)在聯(lián)系。

2.1 焦耳定律與電磁場(chǎng)

圖4電阻消耗的能量與電磁場(chǎng)的關(guān)系

下面計(jì)算由周圍電磁場(chǎng)向電阻傳輸?shù)哪芰俊?/p>

為研究問(wèn)題方便，假定電阻截面是半徑為r′的圓形，電阻的長(zhǎng)度為l′，則有[5]:

電阻在單位時(shí)間內(nèi)吸收的電磁能為：

電阻在時(shí)間t內(nèi)吸收的能量全部轉(zhuǎn)化為熱能，即

Q=W=I2Rt。

(13)

此式即為“路”的焦耳定律。

2.2 歐姆定律與電磁場(chǎng)

如圖5電路所示，電源的電動(dòng)勢(shì)為ε，內(nèi)阻為R0，外電路負(fù)載電阻為R，導(dǎo)線電阻忽略不計(jì)。

圖5簡(jiǎn)單電路與歐姆定律

由坡印廷矢量定義式知：

首先討論幾個(gè)有關(guān)矢量的方向問(wèn)題：

(3)由右手螺旋定則可知，磁場(chǎng)方向?yàn)橛呻娫簇?fù)極向正極看去時(shí)的順時(shí)針?lè)较颉?/p>

這幾個(gè)矢量的方向如圖6所示。

圖6電源內(nèi)多個(gè)物理量的方向

注意到上述各矢量間的方向關(guān)系，由

為了研究問(wèn)題方便，將電源看成是截面半徑為r的圓且正、負(fù)極間的距離為l，此時(shí)有

(14)

電源單位時(shí)間內(nèi)向外傳輸?shù)碾娔芗措娫吹妮敵龉β蕿?/p>

=εI-R0I2。

即

(15)

(15)式結(jié)果表示電源的輸出功率等于電源的非靜電功率減去電源內(nèi)阻消耗的功率。由我們所研究的電路知電源的輸出功率即為電路中負(fù)載電阻吸收的功率RI2，由此得出：

RI2=εI-R0I2，

(16)

(16)式即為“路”的歐姆定律。

2.3 基爾霍夫定律與電磁場(chǎng)

圖7為電路中某一節(jié)點(diǎn)，作閉合曲面Σ，Σ與通過(guò)節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)線相交被截得的面積分別為Σ1、Σ2、Σ3、Σ4。

圖7節(jié)點(diǎn)電流之間的關(guān)系

設(shè)各導(dǎo)線中流過(guò)的穩(wěn)恒電流分別為I1、I2、I3、I4，由電荷守恒定律知：

如果穿過(guò)節(jié)點(diǎn)的電流有i個(gè)，則有

(17)

此式為基爾霍夫定律的電流定律。

3 結(jié)論

(1)單位時(shí)間內(nèi)磁場(chǎng)能量的增加量來(lái)源于單位時(shí)間內(nèi)從周圍電磁場(chǎng)中吸收的能量。

(2)單位時(shí)間內(nèi)磁場(chǎng)能量的增加量來(lái)源于單位時(shí)間內(nèi)電源反抗自感電動(dòng)勢(shì)所做的功。

(3)單位時(shí)間內(nèi)磁場(chǎng)能量的增加量來(lái)源于單位時(shí)間內(nèi)電源反抗渦旋電場(chǎng)對(duì)電荷的作用力而對(duì)所有電荷所做的功。

(4)單位時(shí)間內(nèi)電容器中電場(chǎng)能量的增加量來(lái)源于電容器單位時(shí)間內(nèi)從周圍電磁場(chǎng)中吸收的能量。

(5)“路”與“場(chǎng)”的理論在研究多樣性的電磁現(xiàn)象中從不同角度解釋了其規(guī)律性，二者的殊途同歸反映了電磁現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律的和諧性。