葉惠芳 林輝慶

(杭州市余杭高級(jí)中學(xué) 浙江 杭州 311100)

1 一個(gè)電磁感應(yīng)問題及常見解答

【題目】如圖1所示，兩足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN和PQ間的距離L=0.4 m，金屬導(dǎo)軌所在平面與水平面的夾角θ=37°，M和P間連接電阻R=2.0 Ω，質(zhì)量m=0.04 kg，電阻r=3.0 Ω的金屬棒AB垂直放置在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌接觸良好且與MP距離x0=0.5 m.在MPNQ區(qū)域有垂直于導(dǎo)軌向上隨時(shí)間變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知t=0時(shí)刻磁感應(yīng)強(qiáng)度B0=0.5 T,若此刻無初速釋放金屬棒AB，它將沿導(dǎo)軌勻加速下滑.已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.試求：

(1)金屬棒勻加速下滑的加速度大??；

(2)從t=0時(shí)刻開始磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t應(yīng)如何變化.

圖1 題圖

常見解答：AB能勻加速下滑，則可知電路中的感應(yīng)電流為零，故其加速度

a=gsin37°=6 m/s2

由電路中感應(yīng)電流為零可知感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為零，回路中磁通量不發(fā)生變化，即

解得

(1)

2 對(duì)常見解答的質(zhì)疑

常見解答隱含著如下的矛盾：在t=0時(shí)刻，AB速度為零，不切割磁感線，則動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)E動(dòng)為零，但磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t是變化的，因此可能會(huì)產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)，這樣回路中就可能會(huì)有感應(yīng)電流，導(dǎo)體棒AB可能會(huì)受安培力作用，不會(huì)以加速度a=gsinθ下滑.

讓我們來計(jì)算一下t=0時(shí)感生電動(dòng)勢(shì)E感的大小

雖然這里驗(yàn)證了當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t以式(1)變化，AB以a=gsinθ勻加速下滑，但這里仍存在更普遍的問題：如果B隨時(shí)間按其他方式變化，AB是否也能以其他加速度勻加速下滑？

3 對(duì)一般解答的探討

設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度B以B=B(t)方式變化，AB以加速度a勻加速下滑，AB與MP的距離

t時(shí)刻的磁通量為

Φ=LxB

感生電動(dòng)勢(shì)為

感應(yīng)電流為

AB棒所受的安培力

FA=BIL

由牛頓第二定律有

mgsinθ-FA=ma

聯(lián)立以上各式解出

(2)

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得到

(3)

從理論上講，對(duì)任何一個(gè)a值，由式(3)都能求出對(duì)應(yīng)的B=B(t).

把a(bǔ)=gsinθ代入式(2)得到

化為

對(duì)上式兩邊積分即可得到

(4)

其中C是積分常數(shù).將t=0時(shí),B=B0=0.5 T代入上式，即得C=0.25 T·m.

可見當(dāng)a=gsinθ時(shí)式(1)只是式(3)對(duì)應(yīng)的一個(gè)特殊解.

讓我們?cè)倏戳硪环N特殊情況，即a=0，導(dǎo)體棒AB靜止在導(dǎo)軌上，式(2)為

化為

mgsinθ(R+r)dt=BL2x0dB

解出

(5)

在一般情況下，式(2)是非線性微分方程，我們無法由它求出B(t)的解析式.但我們可以根據(jù)這個(gè)方程，用微元數(shù)值計(jì)算法得到函數(shù)B=B(t)對(duì)應(yīng)不同時(shí)刻(例如每隔Δt=0.01 s)的B值，并由此作出B-t圖像.

(6)

求出

在t1=0.01 s時(shí)

0.5 T+10×0.01 T=0.6 T

(7)

求出

在t2=0.02 s時(shí)刻

0.6 T+8.282×0.01 T=0.683 T

(8)

求出

同理求出以后各時(shí)刻的B值如表1所示.

表1 a=4 m/s2時(shí)各時(shí)刻對(duì)應(yīng)的B值

作出B-t圖像如圖2所示.

圖2 a=4 m/s2時(shí)的B-t圖像

假如要使棒AB靜止釋放后以5 m/s2的加速度向上運(yùn)動(dòng)，即取a=-5 m/s2，同理可以求出對(duì)應(yīng)的B=B(t)在不同時(shí)刻的值，如表2所示.

表2 當(dāng)a=-5 m/s2時(shí)各時(shí)刻對(duì)應(yīng)的B值

作出B-t圖像如圖3所示.

圖3 a=-5 m/s2時(shí)的B-t圖像

用同樣的方法可以求出對(duì)應(yīng)棒AB以任一加速度運(yùn)動(dòng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化方式.

4 結(jié)論

通過上面的研究知道，常規(guī)解法得到的結(jié)果，只是一個(gè)特殊解，并不是這個(gè)問題的唯一解.實(shí)際上，只要磁場(chǎng)以恰當(dāng)?shù)姆绞阶兓?，?dǎo)體棒能以任一加速度沿導(dǎo)軌向下勻加速運(yùn)動(dòng)，也能以任一加速度沿導(dǎo)軌向上勻加速運(yùn)動(dòng)，還可以保持靜止不動(dòng).