沈 衛(wèi)

(湖州市菱湖中學(xué) 浙江 湖州 313018)

浙江省2016年物理選考第23題的第(3)問(wèn)是一個(gè)典型的微小物理量計(jì)算問(wèn)題.其最后一問(wèn)描述出了每秒打到探測(cè)板上每個(gè)位置離子的動(dòng)量均不同，但呈現(xiàn)線性變化的問(wèn)題，然而在具體給出的參考答案中卻把計(jì)算過(guò)程極盡精簡(jiǎn)化，沒(méi)有體現(xiàn)出這一特點(diǎn)，使不少考生頗為疑惑.本文將從圖像面積求解這個(gè)角度來(lái)對(duì)線性變化的離子動(dòng)量計(jì)算給出分析論證.

1 浙江省2016年物理選考第23題真題以及參考答案

(1)求離子束從小孔O射入磁場(chǎng)后打到x軸的區(qū)間；

(2)調(diào)整磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，可使速度最大的離子恰好打在探測(cè)板右端，求此時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B1；

(3)保持磁感應(yīng)強(qiáng)度B1不變，求每秒打在探測(cè)板上的離子數(shù)N,若打在板上的離子80%被吸收，20%被反向彈回，彈回速度大小為打板前速度大小的0.6倍，求探測(cè)板受到的作用力大小.

圖1 題圖

參考答案：(1)根據(jù)動(dòng)能定理，可得

由

可得

v0≤v≤2v0

離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

離子打在x軸上的坐標(biāo)表達(dá)式為

代入數(shù)據(jù)得

2a≤x≤4a

(2)當(dāng)速度最大的離子打在探測(cè)板右端

(3)離子束能打到探測(cè)板的實(shí)際范圍為

2a≤x≤3a

對(duì)應(yīng)的速度范圍為

每秒打在探測(cè)板上的離子數(shù)為

由動(dòng)量定理，吸收的離子受到板的作用力大小

反彈的離子受到板的作用力大小

根據(jù)牛頓第三定律，探測(cè)板受到的作用力大小

2 對(duì)于選考23題第(3)問(wèn)“探測(cè)板受力”的分析探討

把探測(cè)板分成無(wú)窮多的小段Δx，每小段都足夠的小，那么可以認(rèn)為打到每小段Δx上的離子速度是相同的.再任意取一個(gè)小段Δx，設(shè)為A點(diǎn)，令離子進(jìn)入磁場(chǎng)的位置O到A的距離為x，得到如圖2所示的示意圖.

圖2 離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的示意圖

x的取值范圍為2a～3a，且有打到A點(diǎn)的離子速度vx滿足

即有

因此可認(rèn)為探測(cè)板上A點(diǎn)所在處Δx范圍內(nèi)的離子速度相同，且在Δx范圍內(nèi)每秒打到板上的離子數(shù)目

則在這個(gè)長(zhǎng)度微元Δx范圍內(nèi)，打到探測(cè)板上離子的動(dòng)量為

如此可將探測(cè)板上每個(gè)長(zhǎng)度微元中離子的動(dòng)量表示出來(lái)，再進(jìn)行累加，便可獲得每秒鐘內(nèi)打到板上離子的總動(dòng)量

p總=Δp1+Δp2+Δp3+…=

令

所以y的取值范圍就是

故可作y與x的正比函數(shù)關(guān)系圖如圖3所示.

圖3 y與x的正比函數(shù)關(guān)系圖

由總動(dòng)量p總的累加計(jì)算公式與y-x圖像，不難發(fā)現(xiàn)，y-x圖像中正比例圖線與兩個(gè)坐標(biāo)軸在x軸的2a～3a范圍內(nèi)所圍梯形(陰影部分)的面積即為單位時(shí)間內(nèi)打到探測(cè)板上離子的總動(dòng)量p總.

每秒打到板上離子的總動(dòng)量

再根據(jù)題目條件與動(dòng)量定理可求得探測(cè)板受到的作用力

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)將探測(cè)板分解為一個(gè)個(gè)長(zhǎng)度微元，把呈線性變化的物理過(guò)程經(jīng)過(guò)細(xì)分成為一個(gè)個(gè)恒定不變的過(guò)程，化變?yōu)楹悖谶@里所體現(xiàn)出的無(wú)限分割思想使原本復(fù)雜的過(guò)程變得簡(jiǎn)單而直觀.將這一系列的小過(guò)程進(jìn)行累加求和，讓小量求和的過(guò)程以直觀的圖像面積計(jì)算呈現(xiàn)出來(lái)，使這種極限求和得以用考生所熟知的數(shù)學(xué)方法解決，從而幫助考生正確認(rèn)識(shí)與理解解決物理問(wèn)題的有效手段與途徑.