任海駿

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)物理學(xué)院 合肥 230026)

1 引 言

測地聲模是環(huán)形約束等離子體裝置中特有的一種波動模式，具有環(huán)向?qū)ΨQ(環(huán)向波數(shù)為零)和極向上近似對稱的結(jié)構(gòu)[1]。具體來說，極向擾動速度、徑向電場和對應(yīng)的擾動靜電勢具有極向波數(shù)為零的空間特征，而壓強(qiáng)擾動和密度擾動在極向上則具有波數(shù)為 1 的正弦結(jié)構(gòu)。測地聲模的頻率在離子聲速的量級。

測地聲模通常被認(rèn)為是帶狀流的高頻分支，對托卡馬克等離子體中的邊界湍流和等離子體輸運(yùn)有重要影響[2-4]，無論是理論分析[5-7]和數(shù)值模擬[8-10]，還是實驗觀測[11-13]均引起了等離子體物理學(xué)界廣泛的關(guān)注與研究。實際上，測地聲模通常不直接與湍流發(fā)生相互作用，而是通過影響徑向電場，使徑向電場作用于低頻帶狀流，從而與湍流發(fā)生作用。

一般來說，對于低β量級等離子體(這里β定義為等離子體熱壓與磁壓之比)，在磁流體力學(xué)框架下研究測地聲模，通常利用如下兩個假設(shè)：(1)動量方程中擾動磁場為零，同時擾動電流不為零；(2)擾動熱壓與磁壓的合為零，以消除快磁聲波的貢獻(xiàn)。然后利用磁面積分極向動量方程，即可推導(dǎo)出測地聲模的色散關(guān)系。2007年，中國科學(xué)院等離子體物理研究所的周登研究員利用漂移動理學(xué)方程研究了測地聲模的磁場問題[14]，發(fā)現(xiàn)平行磁場方向極向波數(shù)為 2 的擾動回流產(chǎn)生了垂直方向波數(shù)為 2 的擾動磁場。2008年，Wahlberg[15]利用理想磁流體力學(xué)方程組研究測地聲模本征模式的全局結(jié)構(gòu)時，也在理論上預(yù)測了這種結(jié)構(gòu)的磁分量存在。2009年，Wahlberg[16]進(jìn)行了更為細(xì)致、深入的解析，獲得了測地聲模的徑向和極向擾動磁場的表達(dá)式。西南物理研究所的 Wang 等[17]利用回旋動理學(xué)方程，解析推導(dǎo)了測地聲模的擾動磁矢，并數(shù)值計算了有限β效應(yīng)對測地聲模頻率和朗道阻尼的作用。Berk 等[18]的數(shù)值模擬結(jié)果表明，極向波數(shù)為 2 的擾動磁場分量占據(jù)主導(dǎo)地位，波數(shù)為 1 和3 的諧波分量在同一個量級，但遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于波數(shù)為2 的分量。在理論研究和數(shù)值模擬之外，實驗上也直接觀測到了這樣的磁場信號，如 JT-60U 托卡馬克裝置(日本)上的實驗[19]和 TCV 托卡馬克裝置(瑞士)上的實驗[20]，分別觀測到了上述信號。

2014年，我們利用不同于文獻(xiàn)[14,17]的方法，從理想磁流體力學(xué)方程組出發(fā)，分析測地聲模的磁場擾動發(fā)現(xiàn)，平行方向的擾動磁場具有極向波數(shù)為 1 的結(jié)構(gòu)，極向擾動磁場具有環(huán)向波數(shù)為 2的結(jié)構(gòu)，并且兩者具有相同的量級。徑向擾動磁場則比極向擾動磁場還要小一個量級，并且具有波數(shù)為 2 的余弦結(jié)構(gòu)[21]。但是，上述研究只考察了擾動磁場，并沒有分析擾動磁矢，考慮到回旋動理學(xué)方程中處理的對象是擾動磁矢而不是擾動磁場，因此有必要分析清楚測地聲模激發(fā)期間的擾動磁矢。本文研究正是基于此目的。

2 基本方程和線性化

效仿 Ren[21]的做法，我們定義擾動位移，并且按照如下方式展開：其中，是徑向方向；是磁場方向單位矢量；下標(biāo)分別表示徑向、極向和平行方向的分量；同時定義同樣，我們考慮大縱橫比圓截面近似下的托卡馬克位形，其中，R是托卡馬克大半徑；r是小半徑。為了方便讀者理解，我們稍微重復(fù)一下 Ren[21]的部分推導(dǎo)過程。由線性化理想磁流體力學(xué)方程組得到：

3 色散關(guān)系與擾動磁矢

基于公式(9)，在低β條件下，不考慮高次諧波的耦合效應(yīng)，得到的測地聲模主導(dǎo)量級的頻率滿足：

將上式代回到公式(4)和(5)中，可以得到如下的擾動磁場表達(dá)式：

本文沒有寫出徑向擾動磁場的表達(dá)式。這是因為，根據(jù)文獻(xiàn)[21]可知，之前的分析中暫時丟掉了的影響，但如果要分析則必須要把找回來。下面，我們引入擾動磁矢在求解擾動磁矢的過程中會發(fā)現(xiàn)，徑向擾動磁場可以很方便地求解出來，而不用尋找另外的假設(shè)。

聯(lián)立公式(12)～(15)，可以得到擾動磁矢極向和平行分量的表達(dá)式：

最后來看徑向擾動磁矢。利用徑向擾動磁場與擾動磁矢關(guān)系，有：

可以看到，公式(20)與文獻(xiàn)[21]中的公式(19)完全一致，表明上述分析的準(zhǔn)確性。

4 與國內(nèi)外相似研究的對比分析

目前，測地聲模的擾動磁場問題受到了較多關(guān)注，除了實驗上對測地聲模擾動磁場的觀測外，很多理論研究者也從不同模型出發(fā)考慮過該問題。Zhou[14]從漂移動理學(xué)方程出發(fā)推導(dǎo)了擾動磁場信息，但沒有明確分析擾動磁矢。Bashir等[22]從回旋動理學(xué)方程出發(fā)，研究了擾動磁矢對測地聲模色散關(guān)系的作用，但計算中只考慮了擾動磁矢m＝1 的諧波分量。Sgalla[23]從雙流體方程組出發(fā)，嚴(yán)格分析了擾動磁矢的影響，由于表達(dá)式過于復(fù)雜，不便與實驗結(jié)果比對。2016年，Wahlberg 和 Graves[24]在理想磁流體力學(xué)框架下，深入、全面地分析了測地聲模的全局模式、徑向結(jié)構(gòu)及擾動磁場問題，但沒有考慮擾動磁矢?；诖?，本文在磁流體力學(xué)框架下，對測地聲模擾動磁場和擾動磁矢展開了理論研究。與上述國內(nèi)外研究相比，可以發(fā)現(xiàn)：

(1)本文給出了擾動磁場和擾動磁矢簡單明了的表達(dá)式，量級清晰，便于實驗人員或數(shù)值模擬工作者直接利用本文的結(jié)果與相應(yīng)的實驗結(jié)果和數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行比對。

(2)相關(guān)推導(dǎo)過程立足理想磁流體力學(xué)方程組，圖像清晰，數(shù)學(xué)復(fù)雜度不高，對等離子體物理相關(guān)的初級研究人員，特別是研究生來說，易于學(xué)習(xí)和理解，可以快速、準(zhǔn)確地把握測地聲模的物理圖像和數(shù)學(xué)特征。

(3)同時注意到，理想磁流體力學(xué)方程組下的色散關(guān)系與動理學(xué)下的結(jié)果并不一致。已有研究表明，利用雙流體方程或各向異性模型可以解決這一問題[25]，而本文暫時未考慮各向異性的問題。此外，Wahlberg 和 Graves[24]已經(jīng)考慮到了非圓截面效應(yīng)，本文只是局限于圓截面近似。這些是本文的不足之處，將在未來的工作中考慮進(jìn)來。

5 總 結(jié)

本文利用理想的磁流體力學(xué)方程組，分析了大縱橫比圓截面近似下托卡馬克等離子體中的測地聲模。推導(dǎo)過程中考慮了詳細(xì)的磁場擾動信息，基于已有研究成果[21]，引入擾動磁矢，從而獲得了平行方向與極向的擾動磁矢表達(dá)式。研究發(fā)現(xiàn)，平行方向的擾動磁矢與極向的擾動磁矢在一個量級上，徑向擾動磁矢則遠(yuǎn)小于平行方向擾動磁矢。因為庫侖規(guī)范的存在，擾動磁矢并不精確等于零，但可以直接忽略掉。

平行方向擾動磁矢(也即近似環(huán)向)具有極向波數(shù)等于 2 的正弦結(jié)構(gòu)。換言之，在磁流體力學(xué)框架下，并不具有m＝±1 的諧波分量，或者說，m＝±1 的諧波分量并沒有體現(xiàn)出來，對擾動磁場直接起作用的是m＝±2的諧波分量。這與回旋動理學(xué)框架下的結(jié)果不一致[17,22,23]，這種不一致也體現(xiàn)在擾動靜電勢上，反映了流體模型和動理學(xué)模型的差異。具體來說，在動理學(xué)中，無論是擾動電勢還是擾動磁矢，各級諧波的量級都是按照是離子回旋半徑)即有限拉莫半徑逐漸遞減的，如而在流體框架下，根據(jù)公式(11)，則有同時不難理解的是，理想磁流體力學(xué)框架下不存在有限拉莫半徑效應(yīng)，考慮到的量級近似，在流體圖像和動理學(xué)圖像下的結(jié)果是一致的。

與平行擾動磁矢不同的是，極向(垂直)擾動磁矢具有m＝1 的正弦結(jié)構(gòu)。這一點也是回旋動理學(xué)方程無法給出來的，因為在動理學(xué)框架下，只保留了信息，這也是本文工作的意義所在。