近年來許多省市的高考壓軸題都是導數(shù)應用問題，在考查基礎知識和基本方法的同時，注重考查學生綜合能力，特別是對函數(shù)與方程、化歸與轉化、分類討論和數(shù)形結合等數(shù)學思想的靈活運用.本文以2017年全國新課標II卷文科壓軸題為例，探析利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的方法和策略，以期為高中數(shù)學解題教學提供參考.

1.考題再現(xiàn)

（2017年新課標II·文21）設函數(shù)f（x）=（1-x2）ex.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）當x≥0時，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍.

2.標準解法

評注 標準答案采用分類討論和舉反例的方法.先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，進而研究不等式恒成立，分三種情況討論：①a≥1；②0

筆者通過對該問題的探析，結合學生的思維模式，給出了以下四種行之有效的解法.

3.拓展解法

解法1 分離參數(shù)法

解 當x≥0時，f（x）≤ax+1，即αx≥（1-x2）ex-1（*）對？坌x≥0恒成立.

而h′（x）=-xex（x2+4x+1）<0，所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調遞減，

所以h（x）

所以g′（x）<0在（0，+∞）上恒成立，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調遞減，由洛必達法則有

即當x→0時，g（x）→1，即當x>0時，g（x）<1.

因為a≥g（x）恒成立，所以a≥1.

因為（*）式對x≥0恒成立，所以由①②得a≥1.

評注 將該問題轉化為學生普遍習慣采用的分離參數(shù)法，重新構造不含參的函數(shù)，再利用“洛必達法則”求解未定式的極限，該問題便迎刃而解.

解法2 二次求導法

解 當x≥0時，f（x）≤ax+1，即（1-x2）ex-ax-1≤0對？坌x≥0恒成立.

令g（x）=（1-x2）ex-ax-1，則g′（x）=ex（-x2-2x+1）-a

而g″（x）=ex（-x2-4x-1）<0，即g′（x）在[0，+∞）是減函數(shù)，所以g′（x）≤g′（0）=1-a.

當1-a≤0時，即a≥1時，g′（x）≤0，此時g（x）在[0，+∞）是減函數(shù)，

所以g（x）≤g（0）=0，故a≥1.

評注 構造新函數(shù)，對新函數(shù)二次求導，通過導函數(shù)的導數(shù)研究原函數(shù)的性質，不失為解決導數(shù)壓軸題的良策.

解法3 數(shù)形結合法

解令g（x）=（1-x2）ex-ax-1，則g′（x）=ex（-x2-2x+1）-a.

因為g（0）=0，所以一定？堝x0>0，使得x∈[0，x0）時，g′（x）≤0，

即使得g（x）在[0，x0）單調遞減，即g′（0）=a-1≤0，得a≥1.

評注 對函數(shù)進行圖像分析也即數(shù)形結合，利用圖像的直觀性分析去解決問題，從而得到解題的思路和方法.

解法4 巧用結論法

解 由人教A版教材選修1-1第99頁B組習題“利用函數(shù)的單調性，證明不等式，ex>x+1，x≠0”，可得ex≥x+1，將x代換為-x，則（1-x）ex≤1.

而f（x）=（1-x2）ex=（1+x）（1-x）ex≤x+1，又當x≥0時，f（x）≤ax+1，故a≥1.

評注 課本是知識和方法的重要載體，也是高考命題的主要來源，本試題充分體現(xiàn)了“源于教材而又高于教材”的高考命題原則.

4.教學啟示

高考作為選拔性考試，關注學生數(shù)學核心素養(yǎng)的考查，試題往往靈活多樣，作為一線教師，教學時通過對一些典型試題的探析，將它轉化為教學的素材，優(yōu)化教學過程，提高課堂教學的時效性；同時通過典型試題從專業(yè)知識的廣度和深度上拓展充實自我，從觀念、理念的更新上豐富自我，不斷提升自己的教學素養(yǎng).

作者簡介：馮小明（1982—），男，甘肅嘉峪關人，中學一級教師，嘉峪關市優(yōu)秀班主任，從事高中數(shù)學教學12年。

編輯 馬曉榮