范偉

代數(shù)、幾何、三角知識(shí)的綜合運(yùn)用能力是考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要指標(biāo)，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一項(xiàng)重要課題。本文希望通過(guò)一些具體實(shí)例的研究，就幾何證題中運(yùn)用代數(shù)方法的某些類型提出探討。

一、用方程法證明幾何命題

在幾何證題中，經(jīng)常遇到這樣的題目，題中的各個(gè)幾何量的關(guān)系都已找出，但這些關(guān)系交叉錯(cuò)雜，很難理出頭緒，總覺(jué)得推理論證中思路不夠清晰。要是學(xué)生能將已知的幾何量之間的關(guān)系，用一系列的等式表示出來(lái)。用列方程（或方程組）的方法加以整理和變形，就能找出它們的內(nèi)在聯(lián)系。

例1.在Rt△ABC中，D、E是斜邊AB上兩點(diǎn)，且AD=AC，BC=BE，又EF⊥CD，F(xiàn)為垂足，求證：EF=CF。

分析與證明：題中有若干等腰三角形、直角三角形，因此存在相等、互余、內(nèi)外角關(guān)系等，這些關(guān)系交錯(cuò)紛紜，初中生剛接觸幾何證明題，容易搞成一團(tuán)亂麻，將這些關(guān)系列成一組等式，情況就清楚了。如圖1，欲證EF=CF，只需證∠ECF=∠CEF=45°。設(shè)∠ECF為∠α，∠CEF為∠β，有：

∠1+∠α+∠2=90° ①

∠α+∠2=∠β+∠3 ②

∠β+∠3=∠A+∠1 ③

∠1+∠α=∠4 ④

∠4=∠B+∠2 ⑤

∠A+∠B=90° ⑥

在這組等式中，等式①與等式⑥是等價(jià)的，只要用一個(gè)就可以了，這也是運(yùn)用方程法時(shí)經(jīng)常遇到的問(wèn)題。在五個(gè)等式里，仿照解方程組的方法消去∠α，∠β的幾何量，就可以得出∠α與∠β的關(guān)系：

由④⑤得∠1+∠α=∠B+∠2；由②③得∠α+∠2=∠A+∠1。則2∠α+∠1+∠2=∠B+∠2+∠A+∠1，所以2∠α=∠A+∠B=90°，所以∠α=45°=∠β。

運(yùn)用方程法解幾何題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，抓住事物的本質(zhì)，能夠判別出哪些條件是必要的，哪些是多余的，哪些是獨(dú)立的，哪些是重復(fù)的？這種能力對(duì)他們將來(lái)的學(xué)習(xí)是很有幫助的。

二、用反證法證明幾何命題

反證法（又稱歸謬法）屬于間接證明方法。當(dāng)證明“若A則B”很困難甚至不可能時(shí)，先提出和結(jié)論相反的假設(shè)，再根據(jù)這個(gè)假定推導(dǎo)出和條件、定理、公式相矛盾的結(jié)果來(lái)，從而否定了該假設(shè)，得到結(jié)論。

例2.試證明不存在格點(diǎn)正三角形。

證：（反證法）設(shè)△ABC為三頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的正三角形，如圖2建立坐標(biāo)系。有A（0，0），B（x1，y1），C（x2，y2），其中（x1，y1），（x2，y2）均為有序整數(shù)對(duì)。

從數(shù)學(xué)思想角度看，反證法即為證偽法，反證思想表現(xiàn)為反例法。比如：兩個(gè)互為反函數(shù)的函數(shù)的公共點(diǎn)，都在直線y=x上嗎？舉y=b-x等反函數(shù)為自身的反例即可。

在這個(gè)例子中結(jié)合了初等數(shù)論知識(shí)，綜合運(yùn)用坐標(biāo)法、反證法解決問(wèn)題，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、積累具體的解決問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)、促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成具有重要作用。

三、用向量代數(shù)證明幾何命題

向量是既有方向又有大小的量，因此向量具有幾何與代數(shù)的雙重身份。用向量代數(shù)解決幾何問(wèn)題，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)抽象和直觀想象能力都很有幫助。

數(shù)形結(jié)合包括由形到數(shù)、由形到形和由數(shù)到形。在中高考中，針對(duì)選擇題和填空題的特點(diǎn)，重點(diǎn)檢查學(xué)生將數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問(wèn)題來(lái)解決的能力。而在解答題中，考慮到推理論證的嚴(yán)密性，對(duì)數(shù)量關(guān)系問(wèn)題的研究仍突出代數(shù)的方法，其對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查以由形到數(shù)為主。

所以AB是點(diǎn)A到直線OB的最短距離。

用代數(shù)方法證明幾何命題時(shí)，重在挖掘圖形中隱藏的數(shù)量關(guān)系。應(yīng)注意數(shù)量結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)涵的距離、角度、面積、斜率的幾何意義，數(shù)量關(guān)系中蘊(yùn)含的位置關(guān)系，數(shù)量結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)涵的圖象截取，以及曲線性質(zhì)中的幾何關(guān)系。問(wèn)題解決時(shí)應(yīng)從代數(shù)、三角、幾何知識(shí)中擇其所要，相互為用。

參考文獻(xiàn)：

[1]王保國(guó)，王紅敢.數(shù)形結(jié)合顯身手[J].數(shù)學(xué)愛(ài)好者（高考版），2007（1）.

[2]陳軍.一道高考題的題源的研究及演變[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2007（10）：49-52.

編輯 溫雪蓮