摘 要：喬治·波利亞（George Polya，1887-1985）是20世紀舉世公認的數(shù)學家，著名的數(shù)學教育家。波利亞致力于解題研究，將題解分為四個基本步驟：弄清題目、擬定計劃、實施計劃、回顧。在初中數(shù)學的幾個作圖題中同樣可以應用這一思維方法解決問題。本文筆者將結合一道幾何作圖題的分析過程闡述波利亞解題理論在教學中的應用。

關鍵詞：波利亞解題；幾何作圖；數(shù)學

對于尺規(guī)作圖，《課標》的要求是：能夠運用尺規(guī)完成基本作圖；能用基本作圖完成部分三角形和圓有關的復雜作圖；了解作圖的原理等。學習用波利亞解題理論分析幾何作圖題，可以提高學生分析和解決問題的能力。

教學案例：

如圖1，已知△ABC。請作一個∠BDC，使得∠BDC=∠BAC。

師：本題的條件是什么？求的是什么？（第一步：弄清題目，搞清已知量、未知量）

生：條件只有一個△ABC，求作一個角等于已知角∠BAC。（學生審題）

師：求作的角有什么特點？（引導學生深入理解題意，挖掘深層次條件。）

生：∠BDC的兩邊上的點B和C就是三角形的兩個頂點。（學生發(fā)現(xiàn)了隱含條件）

師：你能解決這個問題嗎？

生：以B、C兩點所在的直線為對稱軸，將∠A翻折過來就可以了得到一個角和∠BAC相等。（第二步：擬定計劃。學生想到了翻折）

師：你說的“翻折”用尺規(guī)作圖如何實現(xiàn)？（提示學生用尺規(guī)執(zhí)行方案）

生：首先過點A作已知直線BC的垂線交BC于點E，在AE的延長線上截取ED=AE，連接BD，CD，那么∠BDC=∠BAC（如圖2）。（第三步：實施計劃。學生進一步將擬定的計劃實施）

師：你能說說∠BDC=∠BAC的理由嗎？（引導學生思考作圖正確的原理，進一步確定答案）

生：由作圖知：直線BC垂直平分AD，∵AC=DC，AB=DB，又∵BC=BC，∴△ABC≌△DBC。

師：非常好！你從對稱的角度作一個角等于已知角，并用全等證明它的正確性。

如果教師就題論題，可以認為本題“做完了”，但卻沒有很好地鍛煉學生的思維，更忽略了波利亞解題理論中的最后一步：回顧。因此在每道題目結束后，一定要學會反思“本題是否有更好的解決方法”“我的方法是否全面”等問題。對于本題，我和學生做了更深層次的探究。

師：大家想一想，還有沒有其他解決方法。

生：（思考后回答）可以作全等三角形！直接通過作三邊相等，作一個△BCD和△ABC全等。

師：把你的想法用幾何作圖的語言描述出來。（培養(yǎng)學生用規(guī)范的幾何作圖語言描述問題的習慣）

生：以B為圓心，AB的長為半徑畫弧，再以C為圓心，以AC為半徑畫弧，兩弧交于點D，那么∠D=∠A（如圖3）。

師：非常好。按照你的思路可以確定幾個D點？

生（思考后回答）：三個！還可以以B為圓心，分別以AC的長為半徑畫弧，再以C為圓心，以AB為半徑畫弧，確定另外兩個D點（如圖4）。

師：請再思考：是不是只有三個D點呢？

學生陷入沉思，因為對于全等的情況學生比較好理解，也容易想到，但是如何過渡到更一般的情況，需要教師的啟發(fā)。

師：（拿出事先準備好的紙板）∠ABC是一個可移動的紙板，紙板移動的過程中保證兩條邊始終經(jīng)過B、C兩點，那么點A的運動軌跡是什么呢？（通過動態(tài)圖引發(fā)學生的思考，關聯(lián)已學知識發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)）

生：應該是個圓，不，應該是一段弧。作△ABC的外接圓O，根據(jù)“弧所對的圓周角相等”，在優(yōu)弧BAC上可以找出無數(shù)個D點，使∠BDC=∠BAC（如圖5）。

師：優(yōu)弧BAC（除去端點）上的點D，均滿足∠BDC=∠BAC；反過來，是不是所有的D點都在優(yōu)弧BAC上？

生：應該是吧？（不太確定自己的答案，思考后發(fā)現(xiàn)還有所遺漏）

生：不對，應該還有一段和弧BAC對稱的弧?？梢援嫛鰾CD2的外接圓上，優(yōu)弧BD2C（除去端點）上的所有點也滿足∠BDC=∠BAC（如圖6）。

至此，在老師的幫助和引導下，學生完成了全部的思考和作圖過程。

本題的解題思想恰好印證了波利亞的解題理論：“你要從不同的方面考慮問題，而且尋找與你過去所獲知識之間的聯(lián)系”。“試著在你考查的過程中認出一些你熟悉的東西，試著在你認清的東西里發(fā)現(xiàn)有用的東西”。教師要充分認識到尺規(guī)作圖的教學價值，在教學過程中不能“草草了事”，而要嚴格作圖步驟，規(guī)范作圖語言，明確作圖原理，重視分析過程，只有這樣才能更好地提高學生的動手實踐能力和數(shù)學思維能力。

參考文獻：

[1]G·波利亞.怎么解題[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

作者簡介：張媛，江蘇省南京市，江蘇省南京市第九初級中學。