江蘇揚(yáng)州市江都區(qū)龍川小學(xué) 周春芝 徐 花

近日有幸參加一個(gè)培訓(xùn)活動(dòng)，聆聽了一位名師執(zhí)教的《釘子板上的多邊形》一課，對(duì)執(zhí)教者循循善誘，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察猜想—操作驗(yàn)證—構(gòu)建模型—應(yīng)用拓展”的探究過(guò)程印象深刻，并由此引發(fā)了筆者的一些思考。

猜想一：圍成的面積跟什么有關(guān)？

（出示三個(gè)長(zhǎng)方形）師：圍成圖形的面積與什么有關(guān)？

學(xué)生通過(guò)觀察計(jì)算，一致認(rèn)為：長(zhǎng)方形面積越大，邊上釘子數(shù)越多（n）。

生（齊）：與邊上釘子數(shù)有關(guān)系。

師：能具體說(shuō)一說(shuō)嗎？

生：圍成長(zhǎng)方形的釘子數(shù)越多，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積（S）就越大；反之,就越小。

師：同學(xué)們都同意這樣的觀點(diǎn)嗎？

生（眾）：同意。

出示第二組圖形：

學(xué)生再次通過(guò)觀察、數(shù)一數(shù)、算一算等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：通過(guò)這組圖形的觀察和計(jì)算，你覺(jué)得你們的猜想怎么樣？

生：不正確，三個(gè)圖形邊上都是4枚釘子，但面積卻不相等。

師：那么在剛才的猜想過(guò)程中，你們忽視了什么沒(méi)有考慮？

生：雖然它們邊上的釘子數(shù)相等，但里面的釘子數(shù)卻不相同。

師：能修改一下剛才的猜想嗎？

生：多邊形面積大小不僅與圖形邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還和里面的釘子數(shù)有關(guān)。

猜想二：究竟有什么關(guān)系呢？

師：那么，這三者之間究竟有什么樣的關(guān)系呢？我們可以從簡(jiǎn)單的問(wèn)題開始入手，先從圖形內(nèi)有一枚釘子的研究起。

出示第三組圖形：

學(xué)生數(shù)一數(shù)、算一算并填寫表格。

師：觀察表格中的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)只有一枚釘子時(shí)，多邊形面積和邊上的釘子數(shù)有什么關(guān)系？

生：多邊形邊上的釘子數(shù)是多邊形面積數(shù)的兩倍，多邊形面積數(shù)是邊上釘子數(shù)的一半。

師：前面，我們學(xué)習(xí)了《用字母表示數(shù)》，如果多邊形面積用字母“S”表示，邊上的釘子數(shù)用字母“n”表示，里面的釘子數(shù)用字母“a”表示。 當(dāng)a=1時(shí)，你能用字母表示出多邊形的面積和邊上釘子數(shù)的關(guān)系嗎？

生：n=2S。

師：還可以怎樣表示？

生：S=n÷2。 （板書）

師：看，用字母表示多簡(jiǎn)潔!下面請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手在點(diǎn)子圖上畫幾個(gè)里面有2枚釘子的多邊形，用剛才的方法研究一下，此時(shí)多邊形的面積和邊上的釘子數(shù)又有什么樣的關(guān)系？（學(xué)生獨(dú)立開展操作研究）

匯報(bào)：

師：再次觀察表格中的數(shù)據(jù)，說(shuō)一說(shuō)你發(fā)現(xiàn)“多邊形面積”和“多邊形邊上的釘子數(shù)”之間又有什么關(guān)系？

生：n=2S－2。

師：能不能統(tǒng)一下格式，像剛才一樣用含有除法的字母公式表示。

生：S=n÷2＋1。

師：為了便于觀察，我統(tǒng)一下關(guān)系式的結(jié)構(gòu)，剛才S=n÷2,我把它改寫成S=n÷2＋0的形式。這時(shí)你能大膽猜一猜，當(dāng)a=0時(shí)，S和n會(huì)有怎樣的關(guān)系？

生：當(dāng)a=0時(shí)，S=n÷2－1。

師：當(dāng)a分別等于3、4、5時(shí)，S和n又有怎樣的關(guān)系呢？

生1：當(dāng)a=3時(shí)，S=n÷2＋2。

生2：當(dāng)a=4時(shí)，S=n÷2＋3。

生3：當(dāng)a=5時(shí)，S=n÷2＋4。

師：這只是根據(jù)剛才兩個(gè)歸納出的關(guān)系式而做出的一種大膽猜測(cè)，那么我們的猜測(cè)是否正確，還需要……

生：（眾）驗(yàn)證。

師：正好，我們有4個(gè)小組，分工合作每個(gè)小組各驗(yàn)證一種情況。

匯報(bào)：（略）

猜想三：有什么規(guī)律可循？

師：a可以代表任何自然數(shù)，我們不可能把所有的情況都一一研究并加以驗(yàn)證，而是通過(guò)從已獲得的簡(jiǎn)單現(xiàn)象入手，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律和現(xiàn)象。

師：請(qǐng)你觀察這些字母公式，并做一個(gè)大膽的猜測(cè)，當(dāng)a=m時(shí)（m為任意自然數(shù)）多邊形的面積與邊上的釘子數(shù)會(huì)有怎樣的關(guān)系，你還能用字母公式表示出來(lái)嗎？

生：S=n÷2＋（m－1）。

師：這個(gè)關(guān)系是否成立，其實(shí)數(shù)學(xué)家早就通過(guò)數(shù)學(xué)推理證明它是正確的。（介紹“皮克定理”等）

師：現(xiàn)在你能用發(fā)現(xiàn)規(guī)律來(lái)解決本節(jié)課開始的這個(gè)不規(guī)則圖形的面積嗎？

生：能。

……

案例反思：

牛頓說(shuō)：“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)明。”數(shù)學(xué)猜想是研究科學(xué)方法論的豐富源泉，也是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的基本方式。它要求思維主體（學(xué)生）依據(jù)已知的事實(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行觀察、比較、歸納、類比、聯(lián)想后，對(duì)未知的量和關(guān)系做出的一種猜想和判斷。波利亞也曾說(shuō)過(guò)：在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是負(fù)責(zé)任的態(tài)度?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2011年版）》也指出：學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程。在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，我們過(guò)多強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)結(jié)論的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，這本身沒(méi)有錯(cuò)，但不應(yīng)忽視學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)，否則會(huì)導(dǎo)致學(xué)生想象力和創(chuàng)造力欠缺。因此在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，要有意識(shí)、有計(jì)劃、有步驟地培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力。這節(jié)課中，執(zhí)教老師就給我們做了很好的示范。

一、猜想需要指引

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，以問(wèn)題為核心，學(xué)習(xí)任務(wù)具有一定的挑戰(zhàn)性，探究能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的好奇心和求知欲。但是學(xué)生受已有知識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和操作技能等因素的限制，不能像數(shù)學(xué)家那樣在紛繁復(fù)雜的問(wèn)題情境中，及時(shí)捕捉、分辨、篩選出制約問(wèn)題解決的相關(guān)因素和變量信息，從而提出一些科學(xué)的猜想。這就需要教師充分發(fā)揮好組織、點(diǎn)撥、引導(dǎo)、調(diào)控的作用，幫助學(xué)生不斷調(diào)整、修正、完善自己的數(shù)學(xué)猜想，從而讓學(xué)生找到猜想的正確方向，為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)成功開展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。這就需要教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中不斷為學(xué)生的探究活動(dòng)搭建各種形式的“階梯”，讓學(xué)生的探究活動(dòng)得以拾階而上，最終到達(dá)成功的殿堂。案例中，當(dāng)教師先出示第一組圖形時(shí)，學(xué)生通過(guò)觀察、數(shù)一數(shù)、算一算等數(shù)學(xué)活動(dòng)得到第一個(gè)初步的猜想：圍成的多邊形邊上釘子數(shù)決定多邊形面積的大小，而沒(méi)有關(guān)注圖形內(nèi)的釘子數(shù)也是制約圖形面積大小的關(guān)聯(lián)因素。當(dāng)然這樣的猜想結(jié)果是受制于學(xué)生感知能力和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的必然結(jié)果。這時(shí)教師沒(méi)有立即否定學(xué)生的猜想，而是出示第二組多邊形，讓學(xué)生用剛才習(xí)得的學(xué)習(xí)方法再次觀察、比較。學(xué)生這時(shí)發(fā)現(xiàn)：這組三個(gè)圖形邊上的釘子數(shù)雖然相同，但是面積卻不相同，是因?yàn)閯偛藕鲆暳藞D形內(nèi)釘子數(shù)的原因。這樣的教學(xué)是學(xué)生自我反思、自我否定、自我調(diào)整、自我完善的過(guò)程。反之，如果上述過(guò)程中教師不積極介入，學(xué)生就會(huì)僅局限于問(wèn)題解決的單一制約因素，從而得不到全面、科學(xué)的數(shù)學(xué)猜想，后面的探究活動(dòng)縱然投入更多時(shí)間和精力也是枉然。

二、猜想需要驗(yàn)證

提出科學(xué)的猜想只是邁向成功的第一步，更重要的是對(duì)提出的猜想或判斷進(jìn)行驗(yàn)證。經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，也許有些猜想是正確的，那么就成為定理、公理、公式，并且在以后的判斷和推理、問(wèn)題解決時(shí)直接拿來(lái)應(yīng)用。但有些猜想經(jīng)過(guò)驗(yàn)證后判為錯(cuò)誤，抑或還有一些數(shù)學(xué)猜想暫時(shí)受某種因素的制約，還需要進(jìn)一步驗(yàn)證和完善。總之，引導(dǎo)學(xué)生開展驗(yàn)證活動(dòng)是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)、客觀、公正的治學(xué)態(tài)度的良好契機(jī)。案例中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，有計(jì)劃、有目的、有針對(duì)性地開展驗(yàn)證活動(dòng)，當(dāng)圍成圖形內(nèi)釘子數(shù)是1或2時(shí)，學(xué)生通過(guò)畫圖、數(shù)一數(shù)、算一算等思維活動(dòng)驗(yàn)證上述關(guān)系式的正確性。然后學(xué)生根據(jù)已有的兩個(gè)關(guān)系式之間的聯(lián)系，猜想出當(dāng)圖形內(nèi)釘子數(shù)是0、3、4、5時(shí)又具有什么類似的關(guān)系式。這時(shí)學(xué)生給出的關(guān)系式?jīng)]有經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，當(dāng)老師說(shuō)：“那么，我們的猜想是否正確，還需要……”學(xué)生立即意識(shí)到：空口無(wú)憑，還需要驗(yàn)證，并分工合作驗(yàn)證不同情況的關(guān)系式。最后的公式：當(dāng)a=m（m為任何自然數(shù)）時(shí)，S=n÷2＋（m－1）, 由于受知識(shí)水平和時(shí)間的限制，學(xué)生沒(méi)有親自驗(yàn)證，但是教師此時(shí)介紹國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家就此問(wèn)題研究的結(jié)果，并告知學(xué)生你們的終極猜想是正確的，是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家嚴(yán)密論證過(guò)的，可以放心使用。在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生的體驗(yàn)是深刻的、經(jīng)驗(yàn)是豐富的、情感是積極的。如果我們有意識(shí)地讓學(xué)生長(zhǎng)此以往經(jīng)歷這樣完整的探究過(guò)程，這對(duì)學(xué)生探索精神和創(chuàng)造能力的提升大有裨益。反之，即使學(xué)生通過(guò)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)自己的猜想是錯(cuò)誤的，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的挫折感和堅(jiān)強(qiáng)的意志品質(zhì)。畢竟，數(shù)學(xué)探究的道路并不總是一帆風(fēng)順的，更多的是充滿了坎坷和荊棘。

三、猜想需要提煉

概括規(guī)律并選擇適當(dāng)?shù)男问奖硎境鰜?lái)，是探索規(guī)律的點(diǎn)睛之筆。概括出規(guī)律是認(rèn)識(shí)客觀對(duì)象的標(biāo)志，如果能正確概括出一類對(duì)象的規(guī)律，就準(zhǔn)確把握了這類對(duì)象的本質(zhì)特點(diǎn)。概括規(guī)律是發(fā)展思維的極好機(jī)會(huì)，把一類對(duì)象里的規(guī)律，由表及里，由淺入深，由特殊到一般，由具體到抽象地表示出來(lái)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就能得到有效鍛煉和提高。當(dāng)學(xué)生用一個(gè)個(gè)含有字母的式子表示出多邊形面積和邊上釘子數(shù)的關(guān)系時(shí)，學(xué)生的思維水平就已經(jīng)得到了一次提升，已經(jīng)初步經(jīng)歷了算術(shù)思維向代數(shù)思維轉(zhuǎn)變的過(guò)程。然而執(zhí)教老師并沒(méi)有止步于此，而是讓學(xué)生觀察自己的板書。

當(dāng)a=0時(shí)，S=n÷2－1；當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2＋0；當(dāng)a=2時(shí)，S=n÷2＋1；當(dāng)a=3時(shí)，S=n÷2＋2； 當(dāng)a=4時(shí)，S=n÷2＋3；當(dāng)a=5時(shí)，S=n÷2＋4。

學(xué)生看到這些有著相似結(jié)構(gòu)的關(guān)系式時(shí)，他們的思維再次被點(diǎn)燃。心中油然而生出再次歸納、提煉的強(qiáng)烈沖動(dòng)，把上述眾多關(guān)系式合并成一個(gè) “以一馭萬(wàn)”的終結(jié)式子。這時(shí)，教師一句：我們不可能把所有的情況都做一一研究并加以驗(yàn)證，而是通過(guò)從已獲得的簡(jiǎn)單現(xiàn)象入手，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律和現(xiàn)象。猶如火星掉落到干柴上，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維再次被激活。當(dāng)教師說(shuō)出：當(dāng)a=m（m為任意自然數(shù)）時(shí)，學(xué)生水到渠成地提煉出：S=n÷2＋（m－1）。這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生既經(jīng)歷了從微觀上析理，又體驗(yàn)到在宏觀上觀察整體結(jié)構(gòu)。做到了既見(jiàn)樹木，又見(jiàn)森林。

總之，數(shù)學(xué)猜想作為一種直覺(jué)思維以及由此表現(xiàn)出的敏銳意識(shí)，可以幫助學(xué)生從繁雜現(xiàn)象中迅速捕捉各種有價(jià)值的數(shù)學(xué)信息，同時(shí)也有利于提高學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新思維能力。這些能力的獲得，需要教師長(zhǎng)期引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的探究學(xué)習(xí)過(guò)程，這樣學(xué)生的猜想能力才能有質(zhì)的飛躍。?