吳璐璐陳漢清王樂洋

（1.江西水利職業(yè)學院建筑工程系 江西南昌 330013；2.河海大學地球科學與工程學院 江蘇南京 211100；3.東華理工大學測繪工程學院 江西南昌 330013）

1 引言

總體最小二乘算法（TLS）在近30年來得到了充分的發(fā)展與廣泛的應用，它能同時顧及觀測值誤差并同時考慮模型系數矩陣誤差，是一種能夠有效處理變量含誤差模型（EIV模型）的數學方法［1］。當數據之間不獨立或是系數矩陣中數據不等精度時，需要考慮系數矩陣元素之間以及觀測值之間的定權問題，則要使用加權總體最小二乘法（WTLS）。測繪學科中加權總體最小二乘算法的發(fā)展主要在近些年，2013年Malengo A［2］提出基于擬牛頓法的加權總體最小二乘方法。本文以點云數據平面擬合模型為基礎，將最小二乘算法（LS）、TLS以及基于擬牛頓法的WTLS應用到點云數據平面擬合模型中。通過仿真模擬數據和實際點云數據對這三種算法進行了比較與分析，得出了一些有意義的結論。

2 擬牛頓法

當EIV模型的函數為：

式中y為n×1的觀測向量，A為m×n的系數矩陣，ey為觀測向量的隨機誤差，EA為系數矩陣的隨機誤差，x為m×的待求未知參數。式（1）中由于存在EAx這一項，因此EIV模型是一個非線性模型。誤差向量ey和vec（EA）的均值向量和協(xié)方差矩陣為

式中，Qy、QA分別為誤差向量ey和eA的協(xié)因數陣，表示單位權方差，vec（·）表示矩陣的拉直變換。

用求解約束優(yōu)化問題［3］的方式來處理式（1）的總體最小二乘方法得：

其中，eA=vec（A-），表示系數矩陣的真值，（A-EA）x=（xT?In）vec（A-EA）。

考慮到EIV模型的本質為一特殊的非線性模型，因此可以采用非線性最小二乘估計理論進行參數求解，本文在Malengo A［2］文獻的基礎上推導了基于擬牛頓法的WTLS。

利用非線性優(yōu)化理論方法［5］求解未知參數：

其中，x（k+1）、x（k）為未知參數的全量形式，dk表示該算法中的搜索方向，αk為dk的系數。式（5）的求解關鍵在于搜索方向dk的確定，在擬牛頓法中，dk與目標函數的二階偏導的近似矩陣和梯度函數有關，可以通過下式進行確定：

其中，Hk用于近似表示目標函數Φ的二階偏導矩陣的逆矩陣。

基于擬牛頓法的WTLS的迭代步驟闡明如下：

第一步：給定觀測數據A、y，根據函數模型結構確定 Qy、QA，設置 k=0；

第三步：計算系數αk

第四步：計算

3 點云數據空間平面擬合模型及加權總體最小二乘算法

3.1 點云數據空間平面擬合模型

假設點云數據平面方程式為［6］：

式中，a、b、c為點云數據平面擬合參數。把式（7）寫成矩陣形式為

式中，eY為觀測向量Y的隨機誤差矩陣，EA為系數矩陣 A 的隨機誤差矩陣；，表示EA列向量化后得到的矩陣；σ20為驗前單位權中誤差；QY，QA分別表示觀測向量協(xié)因數陣和系數矩陣列向量化后的協(xié)因數陣［7］。

根據eA值和相關權值的設置，采用不同的方法解算點云平面擬合參數估計：

方法一：eA=0，此時僅有觀測向量的誤差，EIV模型變?yōu)闇y量平差G-M模型：

使用最小二乘解法解算參數估值。

方法二：eA≠0，QY=In，QA=Inm，此時假定點云數據是獨立等精度的，QY，QA均為單位陣，使用總體最小二乘法解算參數估值。

方法三： eA≠0，QY≠In，QA≠Inm，此時假定是不等精度的點云數據。運用WTLS求解參數估值［7］。

3.2 空間平面擬合模型的加權總體最小二乘算法

式中，θi為 i點入射角余弦值，（a，b，-1） 為平面法向量，（xi，yi，zi）為點 i的三維坐標。

設點云數據在x、y、z方向上是等精度觀測的，則有σx=σy=σz。根據系數矩陣A的特點，設計相關的權陣：

式中，P0為 A 的列向量之間的權陣；PX=PY∈Rn×n，它們與入射角余弦值cosθi有關。

對應的協(xié)因數陣為［9］：

由Q0和QX可算系數矩陣協(xié)因數陣［9］：

4 算例分析

本文的原始點云數據通過三維激光掃描儀對地面掃描獲得，如圖1所示。分別利用基于擬牛頓法的加權總體最小二乘、總體最小二乘和最小二乘對樣本點云數據進行擬合，獲取平面擬合參數以及單位權中誤差。由式（15）計算點到擬合平面的距離 di，平面擬合精度。

式中，n為觀測點個數。

不同算法優(yōu)劣的評判指標使用單位權中誤差和平面擬合精度。利用三種算法對仿真模擬數據和實際點云數據進行點云數據平面擬合。

4.1 仿真模擬點云數據平面擬合

根據點云數據平面擬合方程式z=ax+by+c，隨機確定一個平面［7］，例如 z=x+3y+1，即參數真值 a=c=1，b=3；在該平面隨即抽取100個點，如圖1所示，各點（xi，yi，zi）加入均值 u=0，方差=σ2/cosθi的隨機誤差；模擬10次，取每個參數均值作為每個參數的最終結果，具體各參數計算結果及精度評定指標見表1。

圖1 模擬點云數據

表1 各方法點云數據平面擬合計算結果

從表1能夠看出，基于擬牛頓法的WTLS法求解的參數估值距離真值最近，TLS次之，LS求解的各參數與真值相差最遠；在單位權中誤差上，WTLS比LS和 TLS分別提高了 83%和 54%；WTLS、TLS、LS的平面擬合精度分別為4.8cm、4.8cm和5.9cm；綜合兩個精度評判指標，WTLS方法平面擬合效果最優(yōu)，TLS次之，LS擬合效果較差。

4.2 實際點云數據平面擬合

使用三維激光掃描儀對地掃描，獲得一組原始點云數據，經過剔除粗差后，獲取一組點云數據。如圖2

圖2 地面點云數據

表2 實際點云數據平面擬合計算結果

從表2可以看出，在單位權中誤差上，WTLS比LS和TLS分別提高了76%和63%；WTLS、TLS和LS的平面擬合精度皆為1.09mm，造成這樣的原因是因為三種方法求解出的參數估值較為接近；綜合兩個精度評判指標，WTLS擬合效果最優(yōu)，TLS次之，LS擬合效果較差。WTLS引入相關協(xié)因數陣，得到更優(yōu)的平面擬合模型和更高精度的參數估值。

5 結論

通過模擬算例和實際地面點云數據平面擬合算例驗證了WTLS在點云數據平面擬合中獲得比TLS和LS法更精確的參數估值；根據點云數據精度與入射角的關系，確定相關協(xié)因數陣 Q0，QX，QA，得到的中誤差和平面擬合精度比TLS和LS更小，得到的參數解更優(yōu)；由于系數矩陣A存在隨機誤差且第三列為常數，引入的列向量Q0，能得到更合理的解算模型。本文中的加權總體最小二乘法繼承了擬牛頓法求解非線性優(yōu)化問題的優(yōu)點，不需要目標函數二階導數的信息，此算法有它一定的優(yōu)勢，可以考慮在其他的模型中加以運用。