安徽

陳曉明

(作者單位：安徽省宣城市寧國市寧國中學(xué))

“將錯就錯” 物盡其用
——對一道課本習(xí)題的變式探究

安徽

陳曉明

在一堂習(xí)題課上，筆者在對一道習(xí)題進行變式時，一不小心將題目中一個條件寫錯，改變了筆者課前的預(yù)設(shè)，筆者沒有慌亂，沒有及時更正，而是“將錯就錯”，讓學(xué)生繼續(xù)探究，沒想到卻有了新的發(fā)現(xiàn)，得到更完美的結(jié)論，真是物盡其用.

題目(人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)必修2》第90頁習(xí)題3.1B組第6題)經(jīng)過點P(0,-1)作直線l，若直線l與連接A(1,-2)，B(2,1)的線段總有公共點，找出直線l的傾斜角α與斜率k的取值范圍，并說明理由．

點評：這種解法很巧妙．從另外一個完全不同的視角來求斜率范圍．采取待定系數(shù)法，先設(shè)出直線方程，然后利用二元一次不等式與表示的平面區(qū)域的關(guān)系得到關(guān)于k的不等式，從而求出k的范圍．本解法充分利用了“A(1,-2)與B(2,1)總在直線MP的兩側(cè)”與“直線l與連接A(1,-2)，B(2,1)的線段總有公共點”之間的等價關(guān)系．學(xué)生很難想到這種方法，需要教師引導(dǎo)．同時，作為教師也要強調(diào)這種用不同表現(xiàn)形式表達同一個事物在數(shù)學(xué)中的重要性．

在講完這道課本題后，筆者在課前準(zhǔn)備對這道題進行下面的變式．

變式1(預(yù)設(shè))：將原題中A(1,-2)改為A(-3,2)，其余條件不變，求解問題不變．

可是，在課堂上發(fā)生了意外：筆者在對原課本題進行變式時一不小心錯將B點坐標(biāo)改成了B(-3,2)，筆者當(dāng)時沒有看出來，發(fā)現(xiàn)時本想再改過來，可學(xué)生已經(jīng)在思考了，回頭一想，將錯就錯，就讓學(xué)生做一做，看看情況怎樣．

變式2(生成)：將B點坐標(biāo)改為B(-3,2)，而其他條件不變，求解問題不變．

點評：學(xué)生經(jīng)過計算直線AP,BP的斜率，發(fā)現(xiàn)kAP=kBP=1，于是A,B,P三點共線，如圖所示．經(jīng)過點P(0,-1)作任意一條直線l，都與連接A(1,-2)，B(-3,2)的線段總有公共點，因此直線l的傾斜角α的取值范圍是[0，π)，除了直線l處于豎直位置時斜率不存在外，其余位置斜率k的取值范圍為R．

完成這個變式探究，學(xué)生們很是感慨，“數(shù)學(xué)使人周密”真是不假啊！

這時，筆者又接著補上了變式1．大家就覺得變式1很簡單了．

不知不覺課堂氣氛在探究中變得活躍起來，在教師的啟發(fā)下，有同學(xué)提出了一些新問題，也有同學(xué)反思總結(jié)出一些結(jié)論，甚至讓筆者也感到驚喜，受益匪淺，真是教學(xué)相長??！

教師：對呀，同學(xué)們在課后可繼續(xù)探究，看看有什么異同，找找規(guī)律．

學(xué)生2(反思總結(jié)1)：直線l從一個位置轉(zhuǎn)到另一個位置的過程中，若只經(jīng)過水平位置，則直線l的斜率k的取值范圍為一個整體區(qū)間，傾斜角α的取值范圍為兩部分的并集．若只經(jīng)過豎直位置，則直線的斜率取值范圍是兩部分的并集(其中當(dāng)直線處于豎直位置時斜率不存在)，而直線l的傾斜角α的取值范圍為一個整體區(qū)間．若既經(jīng)過水平位置，又經(jīng)過豎直位置，則斜率與傾斜角的取值范圍都為兩部分的并集.

教師：你總結(jié)得很好．

馬上有同學(xué)問道“若既不經(jīng)過水平位置，又不經(jīng)過豎直位置，則斜率與傾斜角取值范圍呢”？也很快有學(xué)生答上“都為一個整體區(qū)間”．

教師：不錯，各種情況都有了.

就在這時，班上有名的數(shù)學(xué)王子舉手了，“我有記住結(jié)論的好方法”．

教師：那你快說說看．

教師：太精辟了，多好的“取兩邊”，“取中間”，很好記住，能讓我們快速解題．在哪里我們還講過“取兩邊”，“取中間”啊？

學(xué)生很快想到了一元二次不等式的解集，知識之間的聯(lián)系真是奇妙??！

教學(xué)感悟

(作者單位：安徽省宣城市寧國市寧國中學(xué))