四川

譚 莉

(作者單位：四川省成都市新都一中)

高中數(shù)學(xué)中拋物線的考點(diǎn)和題型總結(jié)

四川

譚 莉

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，高中數(shù)學(xué)選擇、填空和解答題都比較偏好考查拋物線的相關(guān)性質(zhì)，而且常常作為試卷的較難題甚至壓軸題出現(xiàn)，學(xué)生拿到這種題，經(jīng)常算錯(cuò)，或是無(wú)從下手，慢慢的，對(duì)這種題產(chǎn)生了畏懼心理，因此，對(duì)高中數(shù)學(xué)拋物線的常見(jiàn)考點(diǎn)做一個(gè)總結(jié)是非常有必要的，如果學(xué)生了解了出題人大概會(huì)從哪些方面去考查拋物線的性質(zhì)，就能在平時(shí)有意識(shí)地加強(qiáng)這些性質(zhì)的練習(xí)，以便熟練掌握和應(yīng)用，再看到這類題，就不會(huì)擔(dān)心沒(méi)有思路，也不會(huì)擔(dān)心算不出來(lái)了.對(duì)于中等生和待優(yōu)生而言，學(xué)生事先知道拋物線考查的方向，打有準(zhǔn)備之仗，非常必要.

一、與拋物線相關(guān)的常見(jiàn)結(jié)論及證明

已知拋物線y2=2px(p>0)，過(guò)焦點(diǎn)F作一條直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，直線l為拋物線的準(zhǔn)線，交x軸于E點(diǎn).P，Q分別為AF，BF的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作AA′⊥l于點(diǎn)A′，過(guò)點(diǎn)B作BB′⊥l于點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)M作MM′⊥l于點(diǎn)M′.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則有以下結(jié)論：

【結(jié)論四】以焦半徑|AF|或|BF|為直徑的圓與y軸相切.

【結(jié)論五】以焦點(diǎn)弦|AB|為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

二、拋物線在選填題中的?？碱}型

題型一：軌跡方程

【例1】動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)(2,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大2，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_______.

綜上，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y2=8x(x≥0)或y=0(x<0).

【例2】動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)(2,0)的距離比到直線x=-1的距離大1，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_______.

∵y2≥0，∴y2=4(x-1)舍去；

綜上，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y2=8x(x≥0).

以上兩個(gè)問(wèn)題考查的是軌跡方程，兩個(gè)題說(shuō)法非常相似，僅僅在數(shù)據(jù)上有所不同，導(dǎo)致結(jié)果大相徑庭，例1答案由拋物線和射線兩部分組成，例2答案只有拋物線這一部分，而學(xué)生們經(jīng)?？吹竭@個(gè)題后，會(huì)想到拋物線的定義，所以直接找到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，算出參數(shù)，得到拋物線的方程.這樣的做法，會(huì)使得例1這種題出現(xiàn)錯(cuò)誤，學(xué)生得不到分?jǐn)?shù)，所以筆者認(rèn)為，這兩個(gè)題應(yīng)該對(duì)比出現(xiàn)，讓學(xué)生們明白，有時(shí)候數(shù)據(jù)的一點(diǎn)點(diǎn)不同，會(huì)造成結(jié)果上很大的差異，所以做題的時(shí)候，一定要嚴(yán)謹(jǐn)，考慮周全，不能憑感覺(jué)解題.

題型二：拋物線的定義

(一)拋物線定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【例3】如圖，設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A,B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是

( )

解析：分別過(guò)A,B作y軸的垂線，垂足為A1,B1，

(二)利用拋物線定義求最值的問(wèn)題

【例4】已知定點(diǎn)Q(2,-1)，F(xiàn)為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，當(dāng)|PQ|+|PF|取最小值時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______.

解析：過(guò)點(diǎn)P，Q分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為P′,Q′，由定義可知，|PF|=|PP′|，

∴|PQ|+|PF|=|PQ|+|PP′|≥|QQ′|,

【例5】已知拋物線x2=4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB,則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為_(kāi)_______.

以上三個(gè)題，都直接考查了拋物線的定義，在高中階段，拋物線的定義非常重要，是高考的重中之重，一定要讓學(xué)生高度重視，例3直接考查拋物線的定義，例4和例5考查的是利用拋物線的定義解決最值問(wèn)題，比例3的難度大一些，但是仔細(xì)歸納一下，也能發(fā)現(xiàn)解題的規(guī)律，基本上考查的都是兩點(diǎn)間直線段最短，或者點(diǎn)到直線的距離最短，所以可以多從這些方面去想，便能找到解決方法.

題型三：以拋物線的焦半徑為直徑的圓與y軸一定相切

【例6】設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，則拋物線C:y2=2px(p>0)的方程為_(kāi)_______.

本題考查了以焦半徑為直徑的圓與y軸的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)，兩者是相切的關(guān)系，如果這個(gè)題，事先不知道這個(gè)性質(zhì)，學(xué)生采用硬算的方式，那么計(jì)算量非常大，當(dāng)然也能得到正確答案，但是在考試的時(shí)候，不是每個(gè)學(xué)生都有時(shí)間和能力把這道題硬算出來(lái)，如果事先學(xué)生知道這個(gè)性質(zhì)的話，哪怕是有一點(diǎn)印象，就會(huì)朝著這個(gè)方面去論證，然后解決這個(gè)題就非常方便了.所以，筆者認(rèn)為，非常有必要把拋物線的常用性質(zhì)歸納給學(xué)生，讓學(xué)生們事先有心理預(yù)期，這樣在考場(chǎng)上才能自信而高效地去攻克這些題.

題型四：拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值，縱坐標(biāo)之積為定值

【例8】斜率為k(k>0)的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(1,0)交拋物線y2=4x于A，B兩點(diǎn)，若△AOF的面積是△BOF面積的2倍，k的值為_(kāi)_______.

【例9】如圖，拋物線y2=4x的一條弦AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，取線段OB的中點(diǎn)D，延長(zhǎng)OA至點(diǎn)C，使得|OA|=|AC|，過(guò)點(diǎn)D,C作y軸的垂線，垂足分別為E，G，則|EG|的最小值為_(kāi)_______.

解析：設(shè)A(xA,yA)，B(xB,yB)，

由于A，B是焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)，∴yAyB=-p2=-4，

題型五：拋物線的焦點(diǎn)弦被分成的兩條焦半徑的倒數(shù)和為

【例10】斜率為k(k>0)的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(1,0)交拋物線y2=4x于A，B兩點(diǎn)，若△AOF的面積是△BOF面積的2倍，則k的值為_(kāi)_______.

解析：∵AM，BN都是焦點(diǎn)弦，

∴|AF|+|BF|=20，

由韋達(dá)定理得y1+y2=4n，

以上兩個(gè)題，都可以應(yīng)用同一條焦點(diǎn)弦的兩個(gè)焦半徑的倒數(shù)和為定值來(lái)解決，例10屬于簡(jiǎn)單題，它和例8是同一個(gè)題，有多種解題方法，但是例11屬于難題，這個(gè)題如果不應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)，硬算是算不出結(jié)果的，學(xué)生容易選擇放棄，但是如果學(xué)生知道拋物線的這個(gè)性質(zhì)，并且通過(guò)題目，發(fā)現(xiàn)此題應(yīng)該是和焦半徑的倒數(shù)相關(guān)的題，由此對(duì)題目中的等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得到|AF|+|BF|=20，再應(yīng)用焦半徑的公式，可得|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=n(y1+y2)，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，即可得到答案.

題型六：與拋物線的切線有關(guān)的問(wèn)題

由圖可知，當(dāng)AP與拋物線相切時(shí)，∠APB最大，cos∠APB最小.

此題也是一個(gè)?？碱}，求m的最值，轉(zhuǎn)化成了求角的三角函數(shù)的最值，對(duì)應(yīng)的剛好是直線和拋物線相切的時(shí)候，聯(lián)立方程組，令Δ=0即可，知道這個(gè)思路之后，其實(shí)做起來(lái)很順利，但是如果不知道思路，這道題往往在選擇題8題以后出現(xiàn)，學(xué)生在心理上就認(rèn)為這道題比較難.但是如果已經(jīng)對(duì)這種類型的題的考點(diǎn)有預(yù)期的話，其實(shí)學(xué)生們就只需要靜下心來(lái)，把一個(gè)個(gè)環(huán)節(jié)操作出來(lái)即可，所以筆者認(rèn)為提前給學(xué)生們歸納一下考題類型，其實(shí)是為了穩(wěn)定學(xué)生心理，讓學(xué)生們心中有數(shù)，心態(tài)穩(wěn)定.

題型七：拋物線的焦半徑

【例13】已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4)是拋物線C:y2=8x上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|=20，則x1+x2+x3+x4=________.

解析：由題意，拋物線C的準(zhǔn)線為x=-2，由拋物線定義知|P1F|=x1-(-2)=x1+2，

|P2F|=x2+2，|P3F|=x3+2，|P4F|=x4+2.

∵|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|=20，

∴x1+2+x2+2+x3+2+x4+2=20，

∴x1+x2+x3+x4=12.

此題是一道容易題，考的是焦半徑公式，直接用定義把焦半徑換成坐標(biāo)，即可得到答案，但是如果不從這個(gè)方向想，而采用硬算的方式，計(jì)算量就會(huì)非常大，還不容易求解出來(lái)，所以學(xué)生們快速篩選出正確簡(jiǎn)潔的方法至關(guān)重要.

題型八：拋物線的參數(shù)方程

【例14】過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)，作兩個(gè)相互垂直的弦OA，OB，弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_______.

∵A，B不是原點(diǎn)，∴t1≠0,t2≠0，

∵OA⊥OB，∴kOA·kOB=-1,

∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，

∴M的軌跡方程為y2=px-2p2.

此題如果采用常規(guī)方法來(lái)求解的話，會(huì)比較復(fù)雜，但是如果采用拋物線的參數(shù)方程把點(diǎn)設(shè)出來(lái)，把求解的目標(biāo)表示出來(lái)，再采用消參的方式就能順利求解.而拋物線的參數(shù)方程，本質(zhì)就是引入一個(gè)參數(shù)t，一個(gè)坐標(biāo)表示成t的一次方，另一個(gè)坐標(biāo)表示成t的二次方，再用點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，或者表示求解目標(biāo)，最后算出參數(shù)的值或者消掉參數(shù)，題目不好求解的時(shí)候，拋物線的參數(shù)方程往往是一種很好的選擇.

題型九：聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理來(lái)解決問(wèn)題

得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0，

∴直線MN與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0).

此題是圓錐曲線部分的典型題型，就是直線和圓錐曲線相交于兩點(diǎn)，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理是解決問(wèn)題的基本方法，直接進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算即可，學(xué)生對(duì)此進(jìn)行過(guò)很多訓(xùn)練，所以不再贅述這種方法.

三、歸納和總結(jié)

(作者單位：四川省成都市新都一中)