梁哲銘

微分議程在許多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用，文章以導(dǎo)彈追擊動(dòng)態(tài)目標(biāo)為例，從最簡單的二維導(dǎo)彈追擊問題建立了常微分方程，可以得到導(dǎo)彈的軌跡方程，根據(jù)微分方程在Matlab中模擬可以得到導(dǎo)彈追擊圖，進(jìn)而求得導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的。

當(dāng)今社會(huì)，許多實(shí)際問題的處理，或者決策的產(chǎn)生，都越來越離不開高等數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用。微分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，微分方程建立的模型在許多領(lǐng)域中占有著十分重要的地位。現(xiàn)代各學(xué)科各領(lǐng)域都與微分方程建模有著密切聯(lián)系，例如軍事、經(jīng)濟(jì)金融、預(yù)測等方面。微分方程在軍事領(lǐng)域中可用于追蹤和檢測問題，把這些問題進(jìn)行定量分析。

某軍一導(dǎo)彈基地發(fā)現(xiàn)正東方向1海里處海面上有一艘敵艦以速度向正北方向行駛。該基地立即發(fā)射導(dǎo)彈追擊敵艦，導(dǎo)彈速度是5，自動(dòng)導(dǎo)航系統(tǒng)使導(dǎo)彈在任一時(shí)刻都能對準(zhǔn)敵艦，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程，敵艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)彈將其擊中？

1模型建立

假設(shè)導(dǎo)彈基地在坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖1所示，敵艦在x軸上的A處。假設(shè)導(dǎo)彈在t時(shí)刻的位置是M（x，y），敵艦的位置是N，如圖1所示。

導(dǎo)彈的軌跡曲線為OP，因?yàn)閷?dǎo)彈始終對準(zhǔn)敵艦，直線MN是M點(diǎn)處的切線，即伺

2模型求解

假設(shè)t時(shí)刻敵艦和導(dǎo)彈的坐標(biāo)是一樣為（x（t），Y（t））

（1）假設(shè)導(dǎo)彈的速度為w=5v，可得方程

（2）因?yàn)樽詣?dòng)導(dǎo)航系統(tǒng)使導(dǎo)彈在任一時(shí)刻都能對準(zhǔn)敵艦，所以導(dǎo)彈的速度平行于敵艦與導(dǎo)彈頭位置的差向量，可得導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為：

根據(jù)公式（7）進(jìn)行編程，在Matlab中運(yùn)行所得圖1，

從圖2中可以看出導(dǎo)彈大概是在（1，0.21）坐標(biāo)處擊中敵艦，結(jié)果與上一節(jié)中結(jié)果一致。

3模型評價(jià)與不足

模型利用了均勻物體的質(zhì)心就為該物體的形心這一的原理來建立模型并轉(zhuǎn)化為二維平面問題，使問題簡單明了，利用幾何中，曲線的相切性質(zhì)列出常微分方程，再求解方程。但是在實(shí)際的軍事中，問題要復(fù)雜很多，并且是動(dòng)態(tài)變化的，敵機(jī)不可能和地面一直保持相同的距離，敵機(jī)和導(dǎo)彈的長度的忽略會(huì)影響會(huì)使計(jì)算結(jié)果有偏差，并且需要考慮風(fēng)力、重力等影響因素，敵機(jī)在發(fā)現(xiàn)被跟蹤時(shí)肯定會(huì)加速，所以它的速度不可能是恒定不變的，這些問題在后期的研究中都是需要考慮的因素。