安徽 蔣秀梅

波利亞說：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是加強(qiáng)解題的訓(xùn)練”.數(shù)學(xué)解題教學(xué)是高三復(fù)習(xí)課的重點(diǎn)和核心目標(biāo)，眾所周知，高考命題的依據(jù)是教材，因此教材是高三復(fù)習(xí)選題的根本，二輪復(fù)習(xí)還要重視梳理知識(shí)點(diǎn),這時(shí)尤其要注意緊密聯(lián)系課本，不能脫離課本，不但要善于從課本中總結(jié)顯性的知識(shí)，還要善于挖掘課本題目的隱含知識(shí)、延伸知識(shí).

在平面向量這一章的復(fù)習(xí)過程中，由于向量來源于物理，向量的本質(zhì)是既有大小又有方向的量，這揭示了向量兼具“數(shù)”與“形”的特點(diǎn)，所以復(fù)習(xí)過程中抓住“數(shù)”和“形”這兩條線，明確向量是溝通數(shù)與形的橋梁.在平面向量基本定理的基礎(chǔ)上，給出了平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示，坐標(biāo)表示使平面中的向量與它的坐標(biāo)建立起了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，由此將平面向量代數(shù)化,同時(shí)向量也是解決幾何問題的有力工具.平面向量的數(shù)量積是每年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，常常與三角函數(shù)、數(shù)列、解三角形、解析幾何等交匯命題，解答此類問題往往利用向量的雙重身份:轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，或者利用向量的幾何意義.通過對(duì)課本知識(shí)的梳理，我們可以發(fā)現(xiàn)課本上在“明”的方面提到了平面向量的數(shù)量積的三種計(jì)算方法：①定義法：a·b=|a||b|cosθ,θ=〈a,b〉；②坐標(biāo)法：a·b=x1x2+y1y2，其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)；③投影法(幾何意義).此外在“暗”的方面我們還可以挖掘出平面向量的數(shù)量積的兩種計(jì)算方法；④基底法；⑤極化恒等式.

下面通過解讀教材、領(lǐng)會(huì)教材、總結(jié)感悟三個(gè)環(huán)節(jié)談?wù)勂矫嫦蛄繑?shù)量積二輪復(fù)習(xí)的思考與實(shí)踐.

領(lǐng)會(huì)教材:本題可以幫助學(xué)生加深理解數(shù)量積概念的本質(zhì).

代數(shù)特征：a·b=|a||b|cosθ,其中θ=〈a,b〉，數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù).

幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積.

【解析】取BC中點(diǎn)D，過G作GN⊥AH于N,

可得AH⊥BC.

故GN∥BC,

總結(jié)感悟：當(dāng)數(shù)量積中有一個(gè)向量的長(zhǎng)度為定值或投影與另一向量的長(zhǎng)度關(guān)系確定時(shí)可以用平面向量的數(shù)量積的投影法解決問題,此法可將兩不共線的向量問題轉(zhuǎn)化為共線向量去解決，從而有效避免了cos〈a,b〉的計(jì)算.

教學(xué)片斷2解讀教材：教材第105頁(yè)例3.已知|a|=6,|b|=4，a與b的夾角為60°，求(a+2b)·(a-3b).

如果我們換一種問法：已知|a|=6,|b|=4，a與b的夾角為60°，c=a+2b，d=a-3b，求c·d.就可以看成是以已知向量a,b為基底表示c,d進(jìn)而求出c·d.

領(lǐng)會(huì)教材:本題的設(shè)置雖然并沒有直指基底法，但是稍作改動(dòng)就可以結(jié)合之前學(xué)習(xí)的平面向量基本定理視為用已知兩個(gè)不共線的向量表示所求向量,再求數(shù)量積.

【變式訓(xùn)練2】設(shè)平面向量α,β滿足|α+2β|=3,|2α+3β|=4,則α·β的最小值為________.

=-170，

總結(jié)感悟：題設(shè)條件中若給出了兩個(gè)不共線的向量的模長(zhǎng)和夾角，往往考慮選擇其作為基底，將其他向量用這兩個(gè)向量線性表示，問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于已知向量的計(jì)算.

領(lǐng)會(huì)教材:這一題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想比較多，首先，由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算計(jì)算出來，特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量的夾角，因此可以用向量方法解決平面幾何中的一些問題；其次，在向量的線性運(yùn)算中，兩向量的加、減結(jié)果仍是一個(gè)向量，也可以認(rèn)為是將多個(gè)向量的計(jì)算轉(zhuǎn)化為單個(gè)向量，可以視為化簡(jiǎn)；最后，此題在運(yùn)算過程中為了得到向量的長(zhǎng)度關(guān)系將(1)+(2)消去了a·b，如果將(1)-(2)就轉(zhuǎn)化為a·b的計(jì)算問題，啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)換看問題的角度，多角度思考問題，也能收到“他山之石可以攻玉”的效果.

( )

【解析】如圖所示，取BC中點(diǎn)D,

故選B.

( )

A.0 B.2

C.3 D.6

點(diǎn)A,B分別在直線x=1,x=3上,

解法二(坐標(biāo)法) 點(diǎn)A,B分別在直線x=1,x=3上，

設(shè)點(diǎn)A(1,y1),B(3,y2)，

所以(y1-y2)2=12 ①，

則當(dāng)且僅當(dāng)(y1+y2)2=0 ②，

由②-①得y1y2=-3，

總結(jié)感悟：當(dāng)遇到共起點(diǎn)的兩不共線向量數(shù)量積問題時(shí)可以考慮轉(zhuǎn)化為兩向量的中線向量，也就是化多個(gè)向量為單個(gè)向量問題，進(jìn)而運(yùn)用極化恒等式處理相關(guān)問題.此外問題中如果含有矩形(正方形)，等腰(等邊)三角形，菱形以及其他具有垂直關(guān)系的圖形，或者是考查函數(shù)圖象上的點(diǎn)，以及解析幾何相關(guān)問題都可以考慮采用坐標(biāo)法，建立合適的坐標(biāo)系利用坐標(biāo)運(yùn)算將有利于我們解決向量及幾何問題.

教學(xué)片斷4第108頁(yè)A組第4題.求證：(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).

此題說明向量數(shù)量積具有數(shù)乘結(jié)合律，因λ數(shù)值不確定，證明過程應(yīng)分三類討論，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)在這三種運(yùn)算順序下結(jié)果是相同的，那么在有些問題中就可以將利用這個(gè)結(jié)論求出參數(shù)λ的值.

【解析】解法一 設(shè)∠AOC=α,則0°≤α≤120°,

故x+y的最大值為2.

即x2+y2-xy=1.

又x>0,y>0,解得x+y≤2.

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取“=”.故x+y的最大值為2.

解法三 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，與OB垂直的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則

二輪復(fù)習(xí)重在提高學(xué)生的解題能力，但不能只顧埋頭做題，更要重視考查知識(shí)的來龍去脈，通過對(duì)教材知識(shí)的梳理、總結(jié)、提煉讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到教材是一切題源的根本，是一筆寶貴的財(cái)富，在題海中沉浮不如回眸教材會(huì)有一種“山窮水盡疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的驚喜感，學(xué)會(huì)挖掘課本中更多的財(cái)富，從而實(shí)現(xiàn)整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，鍛煉思維，提高解題能力的目標(biāo).