陜西 蔡正文 彭 健

一、關(guān)于不等式ex≥ex的證明與應(yīng)用

【例】(山陽(yáng)中學(xué)2017屆11月月考題)已知函數(shù)f(x)=ax2-ex(x∈R)．

(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，試判斷f(x)的單調(diào)性并給予證明；

(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2(x1

(ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

解：(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x2-ex在R上單調(diào)遞減,證明如下.

因?yàn)閒′(x)=2ax-ex，當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=2x-ex，

又曲線y=ex過(guò)原點(diǎn)的切線是y=ex，

所以當(dāng)x≤0時(shí)，f′(x)=2x-ex<0，

當(dāng)x>0時(shí)，ex>2x，故f′(x)=2x-ex<0，

所以當(dāng)x∈R時(shí)，f′(x)=2x-ex<0，

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x2-ex，f(x)在R上單調(diào)遞減.

由(ⅰ)易知x1∈(0,1)，

即f(x1)在(0,1)上單調(diào)遞減，故f(1)

評(píng)注：①巧妙利用不等式ex≥ex，可回避分類(lèi)討論和二次求導(dǎo)；

②利用這種方法比其他方法更便于發(fā)現(xiàn)極值點(diǎn)x1在區(qū)間(0,1)上，有利于(ⅱ)的證明；

③對(duì)于導(dǎo)函數(shù)是f′(x)=bex-ax形式的都可以用此方法來(lái)判斷f′(x)的正負(fù)．

二、關(guān)于不等式的證明與應(yīng)用

【例】已知函數(shù)f(x)=ax2+x(1-lnx)(a∈R)．

(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)．

(ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

解：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，

(ⅱ)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，其中x1

由(ⅰ)知當(dāng)x∈(0,x1)時(shí),f′(x)>0;

當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f′(x)<0;

當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),f′(x)>0；

由(ⅰ)知x1∈(1,e)，

②利用這種方法比其他方法更便于發(fā)現(xiàn)極值點(diǎn)x1在區(qū)間(1,e)上，有利于(ⅱ)的證明；

③對(duì)于導(dǎo)函數(shù)是f′(x)=blnx-ax形式的都可以用此方法來(lái)判斷f′(x)的正負(fù)．

三、應(yīng)用舉例

這兩個(gè)不等式在解答某些高考題中也有一定的應(yīng)用，下面結(jié)合近年課標(biāo)卷高考題加以說(shuō)明，僅供參考.

【例1】(2015·全國(guó)卷Ⅰ文·21)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(Ⅰ)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

解：(Ⅰ)略.

評(píng)注：①此解法避免了出現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求的局面；

②也避免了設(shè)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)后，代入原函數(shù)的較高技巧性；

(Ⅰ)求a,b；

(Ⅱ)證明：f(x)>1．

解：(Ⅰ)略.

因?yàn)椴坏仁絜x≥ex中取“=”的條件是x=1，

評(píng)注：①通過(guò)不等式ex≥ex>0放縮得到新函數(shù)φ(x)，它的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)可求；

②從而問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證明新函數(shù)φ(x)的最小值大于零的問(wèn)題；

③這種處理方法大大降低了原題第(Ⅱ)問(wèn)的思維難度．