江蘇 韓文美

簡(jiǎn)化解題過(guò)程是我們追求的目標(biāo)，由于圓錐曲線問(wèn)題運(yùn)算量大、綜合性較強(qiáng)，很多問(wèn)題可能會(huì)因?yàn)槿唛L(zhǎng)的運(yùn)算、繁瑣的推理而導(dǎo)致無(wú)法進(jìn)行到底，從而半途而廢，望題興嘆．因此，在解答圓錐曲線問(wèn)題時(shí)必須研究技巧與策略，尋求突破點(diǎn)，選用適當(dāng)方法，以求做到選擇捷徑、簡(jiǎn)化計(jì)算、避繁就簡(jiǎn)、合理解題，收到事半功倍之效．

1．回歸定義，以逸待勞

回歸定義的實(shí)質(zhì)是重新審視概念，并用相應(yīng)的概念解決問(wèn)題，是一種樸素而又重要的策略和思想方法．圓錐曲線的定義既是有關(guān)圓錐曲線問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)，又是新知識(shí)、新思維的生長(zhǎng)點(diǎn)．對(duì)于相關(guān)的圓錐曲線中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，若能根據(jù)已知條件，巧妙靈活應(yīng)用定義，往往能達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、事半功倍的效果．

【典例1】(2016·全國(guó)卷Ⅰ理·20(Ⅰ))設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E．證明|EA|+|EB|為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程．

【分析】通過(guò)平行線的性質(zhì)，結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì)，通過(guò)三角形中等角對(duì)等邊的轉(zhuǎn)化確定定值問(wèn)題，并利用橢圓的定義來(lái)求解相應(yīng)的軌跡方程．

【解析】如圖，因?yàn)閨AD|=|AC|，EB∥AC，

故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，

故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，

又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16，

從而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4，

由題設(shè)得A(-1，0)，B(1，0)，|AB|=2，

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，圓的相關(guān)性質(zhì)與三角形的性質(zhì)，橢圓的定義與軌跡方程的求解．圓錐曲線的定義揭示的是事物的本質(zhì)屬性，對(duì)于相關(guān)的圓錐曲線中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，若能巧妙靈活應(yīng)用定義，往往能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、事半功倍的效果．

【變式1】(2015·浙江卷理·5)如圖，設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是

( )

2．巧設(shè)參數(shù)，變換主元

巧設(shè)參數(shù)的實(shí)質(zhì)是通過(guò)引入?yún)⒆兞考右蕴鎿Q，使得圓錐曲線中相關(guān)或不相關(guān)的量統(tǒng)一在參變量下，減少未知量的個(gè)數(shù)，這樣解決問(wèn)題更方便，同時(shí)可以進(jìn)一步體會(huì)解決問(wèn)題中數(shù)學(xué)方法的靈活多變．

【典例2】(2015·四川卷文、理·10)設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓C：(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點(diǎn)M，且M為線段AB中點(diǎn)，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是

( )

A．(1，3) B．(1，4)

C．(2，3) D．(2，4)

【分析】先設(shè)出直線l的方程x=ty+m(這樣可以避免討論直線的斜率是否存在問(wèn)題)，根據(jù)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)得到Δ=16t2+16m>0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系與中點(diǎn)坐標(biāo)公式確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用直線l與圓相切，分別得到兩直線垂直以及半徑的關(guān)系式，進(jìn)而得以判斷r的取值范圍．

【解析】不妨設(shè)直線l的方程為x=ty+m，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，

代入拋物線y2=4x并整理得y2-4ty-4m=0，

則有Δ=16t2+16m>0，y1+y2=4t，y1y2=-4m，

那么x1+x2=(ty1+m)+(ty2+m)=4t2+2m，

可得線段AB的中點(diǎn)M(2t2+m，2t)，

而由題可得直線AB與直線MC垂直，

即kMC·kAB=-1，

整理得m=3-2t2(當(dāng)t≠0時(shí))，

把m=3-2t2代入Δ=16t2+16m>0，

可得3-t2>0，即0

又由于圓心到直線的距離等于半徑，

而由0

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的方程與應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算求解能力、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等．巧妙通過(guò)直線方程的設(shè)置，引入?yún)?shù)，利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系加以轉(zhuǎn)化，結(jié)合題目條件通過(guò)分析參數(shù)的取值范圍達(dá)到解決問(wèn)題的目的．

【解析】設(shè)P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，則x02+4y02=4，

又A(2，0)，B(0，1)，

所以四邊形ABNM的面積

=2，

從而四邊形ABNM的面積為定值．

3．設(shè)而不求，金蟬脫殼

設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法，其實(shí)質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用．設(shè)而不求的靈魂是通過(guò)科學(xué)的手段使運(yùn)算量最大限度地減少，通過(guò)設(shè)出相應(yīng)的參數(shù)，利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化，以參數(shù)為過(guò)渡，設(shè)而不求．

( )

【分析】設(shè)出相應(yīng)的直線l的方程，結(jié)合題目條件確定 |FM| 與|OE|的長(zhǎng)度，利用△OBG∽△FBM的性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而利用橢圓的離心率公式加以分析，采用“設(shè)而不求”思想．

【解析】設(shè)OE的中點(diǎn)為G，由題意設(shè)直線l的方程為

y=k(x+a)，

分別令x=-c與x=0得|FM|=k(a-c)，|OE|=ka，

故選擇答案：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形相似的性質(zhì)與應(yīng)用，橢圓的幾何性質(zhì)等．在運(yùn)用圓錐曲線問(wèn)題中的設(shè)而不求方法技巧時(shí)，需要做到：(1)凡是不必直接計(jì)算就能更簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題的，都盡可能實(shí)施“設(shè)而不求”；(2)“設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消參，而設(shè)參的原則是宜少不宜多．

【解析】設(shè)直線l：y=kx+b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，

(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0，

所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．

4．?dāng)?shù)形結(jié)合，偷梁換柱

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)與形本是兩相倚，焉能分作兩邊飛．?dāng)?shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．”在圓錐曲線的一些問(wèn)題中，許多對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度、數(shù)式等都具有一定的幾何意義，挖掘題目中隱含的幾何意義，采用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可解決一些相應(yīng)問(wèn)題．

【分析】要求△APF的周長(zhǎng)的最小值，其實(shí)就是轉(zhuǎn)化為求解三角形三邊長(zhǎng)之和，根據(jù)已知條件與雙曲線定義加以轉(zhuǎn)化為已知邊的長(zhǎng)度問(wèn)題與已知量的等價(jià)條件來(lái)分析，根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合確定點(diǎn)P的位置，通過(guò)求解點(diǎn)P的坐標(biāo)進(jìn)而利用三角形的面積公式來(lái)處理．

【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，根據(jù)雙曲線的定義可知|PF|=2a+|PF1|，

則△APF的周長(zhǎng)為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2a+|PF1|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2a，

由于|AF|+2a是定值，要使△APF的周長(zhǎng)最小，

則|PA|+|PF1|最小，即P，A，F(xiàn)1共線，

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，直線方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系等．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，其具有直觀性、靈活性、深刻性，并有跨越各知識(shí)點(diǎn)的界線，有較強(qiáng)的綜合性．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想的實(shí)質(zhì)就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，把抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái)．利用數(shù)形結(jié)合來(lái)求解參數(shù)問(wèn)題，解答更形象、直觀，一目了然．

【變式4】已知拋物線C：y2=8x，點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓D：x2+y2-4x+3=0作切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PADB的面積的最小值為

( )

【解析】如圖所示，圓D：(x-2)2+y2=1，該圓的圓心與拋物線焦點(diǎn)重合，半徑為1，

則S四邊形PADB=2SRt△PAD=|PA|，

當(dāng)四邊形PADB的面積最小時(shí)，|PD|最小，

過(guò)點(diǎn)P向拋物線的準(zhǔn)線x=-2作垂線，垂足為E，

則|PD|=|PE|，當(dāng)點(diǎn)P與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，

|PE|最小，此時(shí)|PD|=|PE|=2，

故選擇答案：A．

5．極端策略，圍魏救趙

極端策略是一種重要的數(shù)學(xué)思想，靈活地借助極限思想，從有限到無(wú)限，從近似到精確，從量變到質(zhì)變．通過(guò)圓錐曲線問(wèn)題的極端元素，靈活借助極端策略解題，可以避開(kāi)抽象及復(fù)雜運(yùn)算，優(yōu)化解題過(guò)程，降低難度，是簡(jiǎn)化圓錐曲線運(yùn)算的一條有效且重要途徑．

【分析】根據(jù)雙曲線的定義得到關(guān)系式|PF1|=|PF2|+2，通過(guò)分類討論，結(jié)合極限思想確定當(dāng)∠F1PF2=90°時(shí)與當(dāng)∠F1F2P=90°時(shí)關(guān)系式的最值，數(shù)形結(jié)合即可得△F1PF2為銳角三角形時(shí)關(guān)系式的取值范圍．

假定P是雙曲線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，

由雙曲線的定義知|PF1|―|PF2|=2a=2，

則有|PF1|=|PF2|+2，

當(dāng)∠F1PF2=90°時(shí)，

有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，

可得|PF2|2+2|PF2|―6=0，

當(dāng)∠F1F2P=90°時(shí)，有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，

可得|PF2|=3，此時(shí)|PF1|+|PF2|=8；

而△F1PF2為銳角三角形，

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，焦點(diǎn)三角形問(wèn)題．應(yīng)用極端策略來(lái)解決一些問(wèn)題時(shí)，可以避開(kāi)抽象、復(fù)雜的運(yùn)算，獨(dú)辟蹊徑，降低解題難度，優(yōu)化解題過(guò)程，起到事半功倍的效果．

【解析】由已知可求得P(2，3)，Q(2，-3)，故|PQ|=6，

消去y并整理可得x2+tx+t2-12=0，

故x1+x2=-t，x1x2=t2-12，

且Δ=t2-4(t2-12)>0，解得-4

所以四邊形APBQ的面積

從對(duì)稱性角度不難猜測(cè)，

當(dāng)t=0時(shí)，四邊形APBQ的面積最大，

6．妙借向量，無(wú)中生有

平面向量是銜接代數(shù)與幾何的紐帶，溝通“數(shù)”與“形”，融數(shù)、形于一體，是數(shù)形結(jié)合的典范，具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，是數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)和聯(lián)系多項(xiàng)知識(shí)的媒介．妙借向量，可以有效提升圓錐曲線的解題方向與運(yùn)算效率，達(dá)到良好效果．

【分析】根據(jù)題目條件確定B，C的坐標(biāo)，通過(guò)相關(guān)向量的坐標(biāo)的確定，結(jié)合∠BFC=90°，利用相應(yīng)的向量的數(shù)量積來(lái)轉(zhuǎn)化，進(jìn)而結(jié)合橢圓的離心率公式達(dá)到求解的目的．

而F(c，0)，

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積等．巧妙借助平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)轉(zhuǎn)化圓錐曲線中的相關(guān)問(wèn)題，從形入手轉(zhuǎn)化為相應(yīng)數(shù)的形式，簡(jiǎn)化運(yùn)算，進(jìn)而達(dá)到解決圓錐曲線的幾何性質(zhì)的目的．

【解析】∠MQN是定值90°，證明如下：

設(shè)P(x0，y0)，直線AP：y=k(x+2)(k≠0)，

令x=0可得M(0，2k)，

整理可得(2k2+1)x2+8k2x+8k2―4=0，

所以QM⊥QN，故∠MQN是定值90°．

我們可以從靈活運(yùn)用圓錐曲線定義、性質(zhì)的角度出發(fā)，利用相應(yīng)的媒介，選擇恰當(dāng)?shù)乃季S策略，以求簡(jiǎn)潔明快地解決對(duì)應(yīng)的圓錐曲線問(wèn)題．這樣，對(duì)于圓錐曲線問(wèn)題中的簡(jiǎn)化運(yùn)算，培養(yǎng)處理圓錐曲線問(wèn)題科學(xué)的思維方式，提升解題能力等具有重要作用．