湖北 聶文喜

在近年高考及全國各地模擬考試中，頻繁出現(xiàn)以共焦點的橢圓與雙曲線為背景的兩離心率之積與兩離心率倒數(shù)之和的最值與范圍問題，學(xué)生面對此類問題往往束手無策，本文介紹與此類問題有關(guān)的兩個優(yōu)美結(jié)論，通過具體例子說明結(jié)論的應(yīng)用，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時參考．

設(shè)P為橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的公共點，F(xiàn)1,F2分別為左、右焦點，

則|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|-|PF2|=2a2，

∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1-a2，

在△PF1F2中，由余弦定理得

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ，

∴4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cosθ，

在解決以共焦點的橢圓與雙曲線為背景的兩離心率之積與兩離心率倒數(shù)之和的最值與范圍問題，利用結(jié)論1與結(jié)論2可以迅速找到解題思路，優(yōu)化解題過程，起到事半功倍的效果.

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A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1

C．m1 D．m

【解】設(shè)P為橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的公共點，

F1,F2為它們的左、右公共焦點，

則|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|-|PF2|=2n，∴m>n，

方法1(利用均值不等式)

方法2(利用三角換元)

方法3(利用消元法)

f(t)在(1,2)上單調(diào)遞減，f(1)=1，f(2)=0，

【點評】如果已知b1與b2或b1與b2的倍數(shù)關(guān)系，則可由結(jié)論1得到e1與e2的等量關(guān)系式，于是問題轉(zhuǎn)化為二元條件最值或范圍問題，利用求二元條件最值的基本方法(如均值不等式、三角換元、消元法)使問題獲解.

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故選B．

【點評】一般情況下，若b1≥b2，則用例1的三種方法均可求出e1e2的取值范圍，若b1

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方法1(利用柯西不等式)由柯西不等式得

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