福建 鄭行軍

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)分析不僅涉及到洛倫茲力作用下的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，而且往往與運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何關(guān)系相聯(lián)系，成為考查學(xué)生綜合分析問(wèn)題、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的難度較大的考題。解決此類(lèi)問(wèn)題的核心要素在于找圓心、畫(huà)軌跡、定半徑，其中關(guān)鍵是確定圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，只有找到圓心的位置，才能正確運(yùn)用物理規(guī)律和數(shù)學(xué)知識(shí)解題。本文就軌跡問(wèn)題中可能的命題方向進(jìn)行整理歸類(lèi)，并提供相應(yīng)的解題策略，供大家參考。

【命題設(shè)計(jì)1】已知帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的三個(gè)位置

條件：已知帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡上的三個(gè)位置分別為A、B、C三點(diǎn)。

軌跡確定策略：連接AB作弦AB的中垂線(xiàn)，同理作弦AC的中垂線(xiàn)(也可作弦BC的中垂線(xiàn))，兩中垂線(xiàn)交點(diǎn)即為圓周運(yùn)動(dòng)軌跡圓心O，OA(或OB、OC)為軌跡半徑，畫(huà)出軌跡如圖1所示。

【命題設(shè)計(jì)2】已知帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的兩個(gè)位置及其中一個(gè)位置的速度方向

條件：帶電粒子運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)A、B兩位置且已知A位置的速度方向

軌跡確定策略：連接AB作弦AB的中垂線(xiàn)，過(guò)位置A作速度方向的垂線(xiàn)，兩垂線(xiàn)的交點(diǎn)即為圓周運(yùn)動(dòng)圓心O，OA為軌跡半徑，畫(huà)出軌跡如圖2所示。

【命題設(shè)計(jì)3】已知帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的一個(gè)位置及兩個(gè)速度方向

條件：已知帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)位置A和過(guò)A點(diǎn)的速度方向v1，且已知過(guò)另一位置(位置未知)的速度方向v2(速度大小v2=v1)。

軌跡確定策略：延長(zhǎng)兩速度方向的作用線(xiàn)交于點(diǎn)O1，作出角O1的角平分線(xiàn)，過(guò)A點(diǎn)作速度v1方向的垂線(xiàn)，兩線(xiàn)交于一點(diǎn)為圓周運(yùn)動(dòng)圓心O，OA為軌跡半徑，畫(huà)出軌跡如圖3所示。

【命題設(shè)計(jì)4】已知帶電粒子運(yùn)動(dòng)的三個(gè)速度方向

條件：已知帶電粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程的三個(gè)速度方向分別為v1、v2、v3(速度大小v1=v2=v3)，但未知帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的位置。

軌跡確定策略：延長(zhǎng)兩速度v1、v2方向的所在直線(xiàn)交于點(diǎn)O1，作出角O1的角平分線(xiàn)，同理延長(zhǎng)兩速度v1、v3方向的所在直線(xiàn)交于點(diǎn)O2，作出角O2的角平分線(xiàn)(也可作v2、v3方向所在直線(xiàn)的交點(diǎn)的角平分線(xiàn))，兩角平分線(xiàn)的交點(diǎn)為圓周運(yùn)動(dòng)圓心O，O點(diǎn)與速度方向所在直線(xiàn)的距離為軌跡半徑，畫(huà)出軌跡如圖4所示。

【命題設(shè)計(jì)5】已知帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的一個(gè)位置及速度方向、半徑

條件：已知帶電粒子過(guò)位置A、速度方向?yàn)関，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，且電性已知(假設(shè)粒子帶負(fù)電荷，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里)

軌跡確定策略：根據(jù)左手定則確定帶電粒子所受的洛倫茲力的方向，根據(jù)合力方向始終指向曲線(xiàn)軌跡凹側(cè)的特點(diǎn)，找出軌跡圓心所在的區(qū)域，過(guò)A點(diǎn)沿圓心所在區(qū)域作速度方向的垂線(xiàn)，由半徑R確定圓周運(yùn)動(dòng)圓心，進(jìn)而畫(huà)出軌跡如圖5所示。

【命題設(shè)計(jì)6】已知帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的兩個(gè)位置及半徑

條件：已知帶電粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程經(jīng)過(guò)A、B兩個(gè)位置且軌跡半徑為R

軌跡確定策略：連接AB作弦AB的中垂線(xiàn)，在中垂線(xiàn)上取點(diǎn)O1使O1A=R，由左手定則確定粒子在A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向(假設(shè)粒子帶正電，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里)，畫(huà)出軌跡①；同理在中垂線(xiàn)上取點(diǎn)O2使O2A=R，由左手定則確定粒子在A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，畫(huà)出軌跡②，如圖6所示，本命題在求解時(shí)要注意粒子運(yùn)動(dòng)軌跡可能有兩種情況。

【命題設(shè)計(jì)7】已知帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的一個(gè)位置、其他位置的速度方向和半徑

條件：已知帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為R，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)位置A，且在另一位置(位置未知)的速度方向?yàn)関。

軌跡確定策略：以A點(diǎn)為圓心，R為半徑畫(huà)出一段圓弧(圖中虛線(xiàn)所示)，在圓弧中取點(diǎn)使該點(diǎn)與速度方向的垂直距離為R，則該點(diǎn)即為圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，由數(shù)學(xué)關(guān)系可知位置可能有兩種情況(圖中O1和O2)，由左手定則確定帶電粒子在A點(diǎn)的速度方向，畫(huà)出軌跡如圖中①②所示。

【例1】在直角坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電粒子從y軸正半軸上的A點(diǎn)以與y軸正方向夾角為α=45°的速度垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，如圖8 所示，已知OA=a，不計(jì)粒子的重力，則下列說(shuō)法正確的 ( )

B．改變粒子的初速度大小，可以使得粒子剛好從坐標(biāo)系的原點(diǎn)O離開(kāi)磁場(chǎng)

D．從x軸射出磁場(chǎng)的粒子中，粒子的速度越大，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間就越短

【解析】粒子垂直于x軸離開(kāi)磁場(chǎng)，命題條件為已知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的一個(gè)位置及兩個(gè)速度方向，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖9所示：

【例2】如圖11所示，一粒子源S可向外發(fā)射質(zhì)量為m，電荷量為q帶正電的粒子，不計(jì)粒子重力，空間充滿(mǎn)一水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向如圖所示，S與M在同一水平線(xiàn)上，某時(shí)刻，從粒子源發(fā)射一束粒子，速度大小為v，方向與水平方向夾角為θ，SM與v方向在同一豎直平面內(nèi)，經(jīng)時(shí)間t，粒子達(dá)到N處，已知N與S、M在同一水平面上，且SM長(zhǎng)度為L(zhǎng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可能是 ( )

(2)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t。

【解析】本題命題條件為已知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的一個(gè)位置及兩個(gè)速度方向，由于題設(shè)條件未知帶電粒子的電性，故分帶正電和帶負(fù)電兩種情況討論。

1.若粒子帶正電，軌跡如圖13所示，由幾何關(guān)系得：

粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其軌道半徑為r，

2.若粒子帶負(fù)電，軌跡如圖14所示，

粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其軌道半徑為r，