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        第34屆全國中學生物理競賽預賽中的數(shù)學技巧

        2018-07-18 02:54:46林慶新李志雄
        物理教師 2018年6期
        關(guān)鍵詞:滑竿金屬板細線

        林慶新 李志雄

        (1. 莆田市教師進修學院,福建 莆田 351100; 2. 莆田第十中學,福建 莆田 351146)

        第34屆全國中學生物理競賽預賽命題的突出特點是注重數(shù)理結(jié)合,對數(shù)學應用能力要求高,下面將揭示試題多次涉及的數(shù)列和遞推等高中數(shù)學的方法和技巧.

        例1.(第34屆預賽第8題)某一導體通過反復接觸某塊金屬板來充電.該金屬板初始電荷量為6 μC,每次金屬板與導體脫離接觸后,金屬板又被充滿6 μC.已知導體第一次與金屬板接觸后,導體上帶的電荷量為2 μC;經(jīng)過無窮次接觸,導體上所帶的電荷量最終為________.

        將兩式相減得

        利用上式,令n從1開始遞增至n,將得到的遞推關(guān)系式分行展開(并注意題給條件).

        q1=2,

        ……

        將以上各式等號左邊各項累加(將逐項相消至剩一項),等號右邊各項累加,得到

        利用等比數(shù)列求和公式得

        或且注意到經(jīng)過無窮次接觸后,導體上所帶電荷量不再變化,即當n→∞時,有

        解得qn=3 μC.

        例2.(第34屆預賽第15題),如圖1,某根水平固定的長滑竿上有n(n≥3)個質(zhì)量相同的滑扣(即可以滑動的圓環(huán)),每相鄰的兩個滑扣(極薄)之間有不可伸長的柔軟輕質(zhì)細線相連,細線長度均為L,滑扣在滑竿上滑行的阻力大小恒為滑扣對滑竿正壓力大小的μ倍.開始時所有滑扣可近似地看成挨在一起(但未相互擠壓),今給第1個滑扣一個初速度使其在滑竿上開始向左滑行(平動),在滑扣滑行的過程中,前、后滑扣之間的細線拉緊后都以共同的速度向前滑行,但最后一個(即第n個)滑扣固定在滑竿邊緣.已知從第1個滑扣開始的(n-1)個滑扣相互之間都依次拉緊,繼續(xù)滑行距離l(0

        (1) 滑扣1的初速度的大小;

        (2) 整個過程中克服摩擦力所做的功;

        (3) 整個過程中僅僅由于細線拉緊引起的總動能損失.

        圖1

        解析: 此題是計算題,下面的解答將給出比參考解答更嚴謹和清晰的分析.

        (1) 先探討一個運動物體和一個靜止物體碰撞后,發(fā)生完全非彈性碰撞前后的能量變化.設(shè)兩個物體質(zhì)量分別為m1和m2,初速度分別為v1和0,發(fā)生完全非彈性碰撞后共同速度為v,則碰前的動能為

        (1)

        由于細繩拉緊前后時間間隔極短,可以忽略摩擦阻力,故前后動量守恒,有

        m1v1=(m1+m2)v.

        (2)

        碰后的動能之和(即系統(tǒng)剩余動能)為

        (3)

        由(1)~(3)式得

        (4)

        設(shè)第一個滑扣以速度v10開始運動,其動能為

        (5)

        在第1個滑扣滑動距離L、第1與第2個滑扣之間的細繩剛拉緊前的瞬間,系統(tǒng)剩余動能為

        E1f=E10-μmgL.

        (6)

        此后第1個滑扣與第2個滑扣拉緊(發(fā)生完全非彈性碰撞),2個滑扣共同滑行距離L后與第3個滑扣拉緊,3個滑扣共同滑行距離L后又與第4個滑扣拉緊……

        設(shè)第k-1個滑扣與第k個滑扣拉緊后的動能為Ek0(即k個滑扣開始滑行的動能),共同滑行距離L后的動能為Ekf,則有

        Ek0-kμmgL=Ekf.

        (7)

        第k個滑扣與第k+1個滑扣拉緊后的動能為E(k+1)0,則由(4)式結(jié)論有

        (8)

        由(7)、(8)式可得

        (k+1)E(k+1)0-kEk0=-k2μmgL.

        (9)

        令k從1開始遞增至k-1依次代入(9)式,將得到的遞推式分行排列如下.

        2E20-E10=-12μmgL,

        3E20-2E10=-22μmgL,

        4E20-3E10=-32μmgL,

        ……

        kEk0-(k-1)E(k-1)0=-(k-1)2μmgL.

        將以上各式等號左邊各項累加(注意相消),等號右邊各項累加,可得到

        kEk0-E10=

        -[12+22+32+…+(k-1)2]μmgL.

        (10)

        (11)

        利用上式結(jié)論,從第1個滑扣開始的(n-1)個滑扣相互之間依次拉緊后的動能為

        (12)

        依題意,這(n-1)個滑扣共同滑行l(wèi)(0

        E(n-1)0=(n-1)μmgl.

        (13)

        由(5)、(12)、(13)式得

        (14)

        (2)整個過程中克服摩擦力所做的功為

        W=μmgL[1+2+3+…+(n-2)]+μ(n-1)mgl.

        利用等差數(shù)列公式得

        (15)

        (3)整個過程中僅僅由于細線拉緊引起的總動能損失為

        ΔE=E10-W.

        (16)

        由(5)、(14)~(16)式得

        23-13=3·12+3·1+1,

        33-23=3·22+3·2+1,

        ……

        (n+1)3-n3=3n2+3n+1.

        將以上各式等號左邊各項累加,等號右邊各項累加,可得到

        整理得

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