□ 海南省儋州市第五中學(xué) 雷榮強(qiáng)
初中數(shù)學(xué)解題存在很強(qiáng)的靈活性。有的數(shù)學(xué)題不只一種解法而有多種解法,有的數(shù)學(xué)題用常規(guī)方法解決不了,或者運(yùn)用起來(lái)運(yùn)算量大,耗時(shí)多,要用特殊方法。因此,運(yùn)用特殊值法解題在升學(xué)考試中至關(guān)重要,是“小題小做”的重要策略,不能忽視。本文就特殊值法在解決初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,現(xiàn)從以下幾個(gè)方面做些探討。
在初中階段部分?jǐn)?shù)學(xué)法則可以采用特殊值法進(jìn)行推導(dǎo),例如有理數(shù)的運(yùn)算法則、整式的運(yùn)算法則的推導(dǎo),在教學(xué)過(guò)程中,教師可以先不給出運(yùn)算法則,而是先給一些與法則相關(guān)的數(shù)值的運(yùn)算,然后由學(xué)生自己探究、歸納出運(yùn)算法則。在探究新知的過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般,從具體到抽象的認(rèn)識(shí)過(guò)程,讓學(xué)生在自主實(shí)踐中獲得運(yùn)算法則,從而構(gòu)建新的知識(shí)體系,便于公式的理解與記憶,現(xiàn)舉例說(shuō)明。
例1同底數(shù)冪的乘法法則的推導(dǎo)過(guò)程:
根據(jù)冪的意義填空:
觀察一下上面各題有什么共同特點(diǎn)?等式左右兩邊的底數(shù)、指數(shù)有什么關(guān)系?
引導(dǎo):如果把a(bǔ)3·a4中的指數(shù)3和4分別換成字母m和n(m,n為正整數(shù)),你能寫(xiě)出am·an的結(jié)果嗎?
歸納:同底數(shù)冪的乘法法則:am·an=a(m+n)(m,n 為正整數(shù))。就是說(shuō),同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加。
小結(jié):以上就是同底數(shù)冪的乘法法則的推導(dǎo)過(guò)程,在推導(dǎo)過(guò)程中,教師運(yùn)用特殊值法,取一些特殊數(shù)值的運(yùn)算,讓學(xué)生自己根據(jù)已學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算,引導(dǎo)學(xué)生探究、歸納出同底數(shù)冪的運(yùn)算法則。
在數(shù)軸中經(jīng)常碰到這樣的問(wèn)題,在一個(gè)數(shù)軸上給出大概位置的幾個(gè)點(diǎn),即不能讀出準(zhǔn)確數(shù)字,如何比較這些點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系呢?對(duì)于此類(lèi)數(shù)軸上的問(wèn)題,可以采用特殊值法,對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行賦值運(yùn)算,比較他們之間的數(shù)量關(guān)系,現(xiàn)舉例說(shuō)明。
例2(2009年江蘇省中考題)如下圖1所示,數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)a,b,則下列結(jié)論正確的是( )A、a+b>0 B、ab>0 C、a-b>0 D、|a|-|b|>0
解:由圖 1 知,0<a<1,b<-1,不妨令 a=0.5,b=-1.5,則 a+b=-1<0,ab=-0.75<0,a-b=2>0,|a|-|b|=1<0,綜合各個(gè)選項(xiàng),只有C項(xiàng)正確,故選C
小結(jié):對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題,特殊值法是最有效的武器。其求解關(guān)鍵在依據(jù)題意,選準(zhǔn)特殊值驗(yàn)證。賦予我們常見(jiàn)的特殊值去求解,從而使得解題過(guò)程既簡(jiǎn)便又快捷。
在不等式中經(jīng)常會(huì)碰見(jiàn)這樣的題型,給出一些未知量的范圍,然后讓你比較與這些未知量有關(guān)的代數(shù)式的大小。在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程發(fā)現(xiàn),學(xué)生遇到這類(lèi)客觀題時(shí)感覺(jué)很難,無(wú)從下手似的,而特殊值法在解決這類(lèi)題型時(shí)有它的獨(dú)特優(yōu)勢(shì),請(qǐng)看下面例題。
例3(2006年天津市中考題)若0<x<1,則x,x2,x3的大小關(guān)系是( )
解析:常規(guī)法:Q0<x<1,兩邊同時(shí)乘以x得0<x2<x,
兩邊同時(shí)乘以 x 得 0<x3<x2,∴x3<x2<x,故選 C特殊值法 Θ0<x<1而有 x3<x2<x ,故選 C。
小結(jié):兩種方法一比較發(fā)現(xiàn)特殊值法更直觀,更容易讓學(xué)生理解;通過(guò)對(duì)比,我們發(fā)現(xiàn)在考試中運(yùn)用特殊值法更能提高解題效率。
變式題:如果a<0,a+b>0,把a(bǔ),--a,b,--b用“>”連結(jié)應(yīng)是( )
(A) a>-a>b>-b (B)b>-b>-a>a
(C) b>-a>a>-b (D)-a>a>b>-b
A、x≤1 B、x≥1 C、x>1 D、x<1
解析:這是一道客觀題,觀察四個(gè)選項(xiàng),不難發(fā)現(xiàn),通過(guò)運(yùn)用特殊值法對(duì)自變量x取三種值:大于1,等于1或小于1,就可以做出選擇了,下面分情況取值:(1)當(dāng) x>1 時(shí),即令x=2,則,自變量x無(wú)意義,故x<1不可以,得出選項(xiàng)是答案B。
A、x≤1 B、x≥1 C、x>1 D、x<1
小結(jié):在平時(shí)的測(cè)試與練習(xí)中,發(fā)現(xiàn)有學(xué)生經(jīng)常把例4答案選C,變式題答案選B,造成出錯(cuò)的原因是x是否等于1的問(wèn)題,如果能采用特殊值法賦值x=1,代入計(jì)算,就能很好的解決這個(gè)問(wèn)題了。
一般地,用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母,按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果,叫做代數(shù)式的值。若已知條件不知字母所取的數(shù)值,而是給出一些含有字母的方程,同時(shí)求解字母的值比較困難時(shí),這種求代數(shù)式的值比較復(fù)雜,我們一般采用整體代入法進(jìn)行求代數(shù)式的值,但有時(shí)運(yùn)用特殊值法更簡(jiǎn)便,請(qǐng)看下面例題。
例 5、已知 a+b=3,ab=2 則 a2+b2=__________。
解析:本題就是上面所談到的一種比較復(fù)雜情況下的求代數(shù)式的值,接下來(lái)分別采用上面提到的兩種方法解答:
(1)整體代入法:a2+b2=a2+2ab+b2-2ab(a+b)2-2ab,將 a+b=3,a+b=2 代入,得;a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×2=5
(2)特殊值法:觀察已知條件,令,,則
小結(jié):上面例題運(yùn)用了兩種解題方法,不難發(fā)現(xiàn),在能運(yùn)用特殊值法的情況下,運(yùn)用特殊值法能更快速,更簡(jiǎn)單的求出代數(shù)式的值,這也說(shuō)明了特殊值法是求代數(shù)式值中的一種簡(jiǎn)便方法。
在一些看似復(fù)雜的幾何問(wèn)題中,常??梢赃\(yùn)用特殊值法來(lái)進(jìn)行求解,請(qǐng)看下面例題。
解析:此題若不用特殊值法需要去尋找兩者的數(shù)量關(guān)系,而這些關(guān)系還要靠字母體現(xiàn)出來(lái)。操作起來(lái)比較復(fù)雜,若用特殊值法,數(shù)量關(guān)系明了,能輕松順利地解答。請(qǐng)看下面的特殊值法:設(shè)原來(lái)圓柱半徑為1,高為4,則后來(lái)圓柱半徑為4,高為1。
則原來(lái)圓柱體積為4л,后來(lái)圓柱體積為16л。
因此后來(lái)圓柱體積是原來(lái)圓柱體積的4倍,故選答案D。
在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中,我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)的學(xué)習(xí)對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)是一大難點(diǎn),很多學(xué)生抱怨函數(shù)比較抽象,難理解,比較難學(xué),如果在一些函數(shù)的題型中適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用特殊值法,將抽象的問(wèn)題直觀化,對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)就容易理解了,現(xiàn)舉例說(shuō)明特殊值法在函數(shù)中的一些應(yīng)用。
例7、已知一次函數(shù)y=-3x+1上兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,x1),B(x2,x2),當(dāng) x1<x2時(shí),試比較 y1__________y2
解析:常規(guī)法:比較一次函數(shù)上兩點(diǎn)坐標(biāo)A、B函數(shù)值y1,y2的大小,因?yàn)檫@里的K=-3<0,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)值y隨x的增大而減小,所以當(dāng)x1<x2時(shí),反而 y1>y2,
特殊值法:令x1=0,則y1=3×0+1=1,令x2=1,則y2=3×1+1=-2,很顯然 y1>y2。
小結(jié):兩種方法一比較,發(fā)現(xiàn)運(yùn)用特殊值法,將一個(gè)抽象的問(wèn)題具體化,更直觀,有利于學(xué)生的理解。
命題是可以判斷真假的,要判斷一個(gè)命題是真命題,可以用演繹推理加以論證;而要判斷一個(gè)命題是假命題,只要舉出一個(gè)反例子,說(shuō)明該命題不成立即可,而何為舉反例呢?即舉出一個(gè)符合該命題條件而不符合該命題結(jié)論的例子,運(yùn)用特殊值法來(lái)舉反例,能讓我們迅速判斷一個(gè)命題為假命題,現(xiàn)舉例說(shuō)明。
例8、判斷下列命題是真命題還是假命題,若是假命題,舉出一個(gè)反例加以說(shuō)明:
兩個(gè)銳角的和等于直角;
若|a|=|b|,則 a=b;
解析:(1)假命題,反例:運(yùn)用特殊值法將兩個(gè)銳角可以分別取 30°,45°,而 30°+45°=75°,不等于直角,從而判斷是個(gè)假命題;
(2)假命題,反例:將a,b兩個(gè)字母取特殊值,例如a=1,b=-1,|a|=|b|,但是 a≠b,從而判斷是個(gè)假命題。
上述的實(shí)例說(shuō)明,特殊值法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要方法,往往能起到事半功倍的效果。數(shù)學(xué)家希爾伯特曾講過(guò):“在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),我相信特殊化比一般化起更為重要的作用”,因此在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中,不僅要學(xué)生學(xué)會(huì)一些常規(guī)解題方法,而且要學(xué)會(huì)運(yùn)用特殊值法,這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生一題多解,一題巧解的能力。