賀紅林　夏自強(qiáng)　袁維東

南昌航空大學(xué)航空制造工程學(xué)院，南昌，330063

0　引言

現(xiàn)代機(jī)械正朝著高速化、柔性化、輕量化方向發(fā)展，伴隨而來(lái)的是其振動(dòng)問(wèn)題日趨嚴(yán)重，由于振動(dòng)而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)疲勞破壞，輕者會(huì)影響機(jī)械性能和壽命，重者會(huì)造成重大的安全危害[1]。為此，有效地控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)，對(duì)航空航天、軍事國(guó)防、機(jī)械工程、裝備制造以及人們的日常生活，具有十分重要的意義。高阻尼特性的黏彈性材料，可以在較大的頻帶范圍內(nèi)，很好地降低結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與噪聲，故而常被用于對(duì)質(zhì)量有嚴(yán)格限制且常發(fā)生振動(dòng)的結(jié)構(gòu)充作減振材料[2]。在結(jié)構(gòu)表面全域性敷設(shè)黏彈性阻尼材料雖能達(dá)到減振效果，卻也會(huì)增加結(jié)構(gòu)質(zhì)量，從而有悖于結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)理念，且實(shí)踐證明并非敷設(shè)阻尼材料越多減振效果就越佳；因此，如何在保證減振效果的同時(shí)，提高阻尼材料的利用率成為當(dāng)前研究重點(diǎn)[3]。在結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化發(fā)展中，優(yōu)化準(zhǔn)則法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中[4-7]。郭中澤等[8]以結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子為目標(biāo)函數(shù)，研究了給定阻尼材料體積下的最優(yōu)化布局；張志飛等[9]基于優(yōu)化準(zhǔn)則法對(duì)自由阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行材料布局優(yōu)化，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了其有效性；王明旭等[10]利用單元拓?fù)渥兞恳越Y(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比為目標(biāo)函數(shù)，得出變密度法能更好地處理約束阻尼結(jié)構(gòu)構(gòu)型的結(jié)論；楊德慶等[11]提出的阻尼拓?fù)涿舳群妥枘岚麊卧梢院芎玫貙?duì)阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行材料優(yōu)化分配；賀紅林等[12]基于雙向漸進(jìn)法對(duì)阻尼材料進(jìn)行優(yōu)化配置，在有效提高減振效果的同時(shí)改善了結(jié)構(gòu)棋盤(pán)格現(xiàn)象；李攀等[13]基于SIMP（solid isotropic material with penalization）法插值，研究了約束阻尼結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化，并獲得了良好的減振效果；基于模態(tài)應(yīng)變能法，JOHNSON等[14]提出了將阻尼結(jié)構(gòu)復(fù)特征解簡(jiǎn)化為實(shí)特征解損耗因子的計(jì)算方法；鄭玲等[15]將靈敏度項(xiàng)均采用大于零的數(shù)，用于約束阻尼結(jié)構(gòu)，取得了很好的減振效果。

優(yōu)化準(zhǔn)則法用于結(jié)構(gòu)靜力學(xué)時(shí)總能確保設(shè)計(jì)變量恒為正數(shù)，因此在靜力學(xué)優(yōu)化中得到了廣泛應(yīng)用[16-17]，但當(dāng)把它用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化時(shí)，若目標(biāo)函數(shù)呈現(xiàn)非凸性，則優(yōu)化過(guò)程會(huì)產(chǎn)生拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量為負(fù)值的不合理情況。目前，在拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化中為保證迭代格更新時(shí)的設(shè)計(jì)變量恒為正值，較多的處理方式是提取目標(biāo)函數(shù)負(fù)的靈敏度值并將靈敏度正值變?yōu)榱?，這種只選取其中部分變量參與優(yōu)化迭代的方式將導(dǎo)致拓?fù)渥兞恐堤S和不連續(xù)，最終的迭代結(jié)果將不收斂或局部收斂[18]。為避免此情況發(fā)生，本文基于泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的思想對(duì)優(yōu)化準(zhǔn)則法進(jìn)行改進(jìn)，以確保目標(biāo)函數(shù)具有嚴(yán)格凸性，并提出了范數(shù)靈敏度概念。

1　模態(tài)應(yīng)變能法求解

拓?fù)鋬?yōu)化迭代過(guò)程中涉及很多復(fù)雜動(dòng)力學(xué)計(jì)算，十分耗時(shí)。考慮到基于模態(tài)應(yīng)變能的損耗因子計(jì)算法，虛部的影響相對(duì)于實(shí)部的影響可忽略不計(jì)，并且在計(jì)算時(shí)可以避免復(fù)特征值的影響；因此，基于模態(tài)應(yīng)變能法求解結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子[19]可以有效提高結(jié)構(gòu)優(yōu)化效率。鑒于黏彈性阻尼板主要以彈性為主，因此可忽略其振動(dòng)時(shí)的能量損失。根據(jù)Hamilton原理，建立自由阻尼振動(dòng)特征方程如下：

式中，K為剛度矩陣；M為質(zhì)量矩陣；ω為固有頻率；φ為振型。

通過(guò)式（1）可求得其模態(tài)頻率ωr及振型φ（rr為模態(tài)的階數(shù)）。

自由阻尼板的基層與阻尼層模態(tài)應(yīng)變能可寫(xiě)成

式中，φr為結(jié)構(gòu)第r階模態(tài)向量；v、b分別為阻尼層、基層的標(biāo)識(shí)符；Kv、Kb分別為阻尼層和基層的剛度矩陣。

在自由阻尼減振結(jié)構(gòu)中，基層一般采用金屬材料制作，該層的材料損耗因子比黏彈阻尼層的損耗因子要低一、二個(gè)數(shù)量級(jí)，故可忽略。根據(jù)模態(tài)應(yīng)變能法，自由阻尼結(jié)構(gòu)第r階模態(tài)損耗因子的計(jì)算式為

式中，ηv為阻尼層材料損耗因子；K為整個(gè)結(jié)構(gòu)層的總剛度矩陣；(Eb)r、(Ev)r分別為基層、阻尼層的第r階模態(tài)應(yīng)變能。

2　模型構(gòu)建及靈敏度計(jì)算

22..11　動(dòng)力學(xué)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析時(shí)，把復(fù)雜的物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型可以更好地進(jìn)行處理，同時(shí)，為使優(yōu)化結(jié)果合理、高效，阻尼結(jié)構(gòu)減振優(yōu)化也需明確的優(yōu)化目標(biāo)指明迭代方向。自由阻尼結(jié)構(gòu)主要通過(guò)阻尼層的拉伸、壓縮變形來(lái)消耗結(jié)構(gòu)能量，以實(shí)現(xiàn)減振的目的。為盡量高效地減少結(jié)構(gòu)振動(dòng)，既可選取結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)幅值作為優(yōu)化目標(biāo)，也可選取模態(tài)損耗因子、結(jié)構(gòu)動(dòng)撓度等作為衡量結(jié)構(gòu)性能的參數(shù)。由于模態(tài)損耗因子可以表征一定情況下的材料總體耗能效果，其值越大，阻尼結(jié)構(gòu)耗能越多，故可以以模態(tài)損耗因子為優(yōu)化目標(biāo)，并通過(guò)優(yōu)化黏彈性材料的形貌布局來(lái)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)特定階次模態(tài)的損耗因子最大化。優(yōu)化準(zhǔn)則法多以目標(biāo)函數(shù)最小化作為優(yōu)化目標(biāo)，為便于實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量迭代更新，本文以模態(tài)損耗因子倒數(shù)值作為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)。在自由阻尼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，通常在結(jié)構(gòu)全域都敷設(shè)阻尼材料，然而過(guò)多地增大結(jié)構(gòu)質(zhì)量不符合輕量化原則，因此，在考慮減振效果的同時(shí)，要嚴(yán)格控制材料用量。同時(shí)，為保證結(jié)構(gòu)預(yù)期功能，還要求在敷設(shè)阻尼層后，不能造成結(jié)構(gòu)的頻率、模態(tài)、振型等動(dòng)態(tài)特性參數(shù)發(fā)生太大改變。綜上因素，建立自由阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型如下：

式中，xi為相對(duì)密度值；n為阻尼結(jié)構(gòu)單元數(shù)；ξ為優(yōu)化目標(biāo)；δr為加權(quán)系數(shù)，δr＞0；m為所需優(yōu)化的減振模態(tài)數(shù)；vi為黏彈阻尼層第i個(gè)單元的體積；V0、V分別為阻尼層優(yōu)化前后的體積；λ為體積比；、ωr分別為結(jié)構(gòu)優(yōu)化迭代前后的第r階模態(tài)頻率；w為歸一化頻率的上下限；ωˉr為第r階歸一化頻率；xmax為最大密度，取值為1，為防止優(yōu)化迭代中產(chǎn)生奇異剛度陣，xmin取0.001。

在實(shí)際工作中，結(jié)構(gòu)的工作頻段通常包括前幾階頻率，而各階頻率對(duì)結(jié)構(gòu)破壞的影響程度不一樣，通常將對(duì)振動(dòng)位移響應(yīng)最大的模態(tài)稱(chēng)為主模態(tài)。拓?fù)鋬?yōu)化減振的主要目的就是降低主模態(tài)的響應(yīng)，控制次要模態(tài)的影響，因此，在考慮多模態(tài)復(fù)合優(yōu)化的同時(shí)，通過(guò)不同的加權(quán)系數(shù)δr來(lái)控制各階模態(tài)的減振效果，系數(shù)δr的取值主要根據(jù)各階模態(tài)在響應(yīng)中占有的權(quán)重來(lái)分配。

22..22　靈敏度計(jì)算

在結(jié)構(gòu)拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化過(guò)程中，目標(biāo)函數(shù)關(guān)于拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的靈敏度成為優(yōu)化迭代的主要依據(jù)。而靈敏度通常定義為目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的數(shù)學(xué)梯度。通過(guò)靈敏度計(jì)算，可知悉結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能對(duì)于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)的敏感程度，使目標(biāo)函數(shù)向最優(yōu)方向迭代。目標(biāo)函數(shù)對(duì)于拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的靈敏度為

可見(jiàn)，要求解靈敏度，須先求取?μr/?xi的值，再對(duì)其進(jìn)行加權(quán)求和即可。

將式（2）的兩邊分別對(duì)拓?fù)渥兞縳i求導(dǎo)，有

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元理論，可知自由阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)滿(mǎn)足如下關(guān)系：

將式（7）等式的兩邊同時(shí)對(duì)xi求導(dǎo)，并經(jīng)整理可得

將式（3）、式（6）和式（8）進(jìn)行聯(lián)立求解，可得

利用優(yōu)化準(zhǔn)則法求取阻尼層最佳形貌時(shí)，須先設(shè)定黏彈阻尼層單元物理參數(shù)與設(shè)計(jì)變量之間存在映射關(guān)系。由于阻尼結(jié)構(gòu)減振時(shí)基層材料不改變，因此視基層單元特性恒定，而阻尼層采用SIMP插值模型，即令

式中，E0、ρ0分別為黏彈阻尼材料初始彈性模量和初始密度；p、q為相應(yīng)懲罰因子；Ei、ρi分別為插值后對(duì)應(yīng)單元i的彈性模量和密度。

將式（10）依次代入阻尼層相應(yīng)單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，并分別令其對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行求導(dǎo)，整理可得

式中，Sir、Kir分別為第r階模態(tài)下阻尼層結(jié)構(gòu)單元i的模態(tài)應(yīng)變能和模態(tài)動(dòng)能。

3　改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法求解算法

當(dāng)解決靜力學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用優(yōu)化準(zhǔn)則法能確保拓?fù)鋬?yōu)化解的全局最優(yōu)性，但將該方法直接應(yīng)用于動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，若目標(biāo)函數(shù)不具備嚴(yán)格凸性，則迭代過(guò)程中求解的目標(biāo)函數(shù)靈敏度不一定全部為正值，而是會(huì)出現(xiàn)正負(fù)靈敏度值共存的情況；若直接套用常規(guī)優(yōu)化準(zhǔn)則法來(lái)進(jìn)行拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化，則優(yōu)化過(guò)程會(huì)產(chǎn)生負(fù)的設(shè)計(jì)變量，將導(dǎo)致迭代過(guò)程無(wú)法進(jìn)行。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中，常規(guī)優(yōu)化準(zhǔn)則法通過(guò)將正的靈敏度對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)變量置零，保留負(fù)的靈敏度值，而這種操作將導(dǎo)致部分單元無(wú)法參與優(yōu)化，從而導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果可能是局部最優(yōu)。因此，本文針對(duì)自由阻尼結(jié)構(gòu)的常規(guī)優(yōu)化準(zhǔn)則法進(jìn)行改進(jìn)。

3.1　基于數(shù)學(xué)規(guī)劃函數(shù)的改進(jìn)

在求解目標(biāo)函數(shù)時(shí)，確保其嚴(yán)格凸性是優(yōu)化目標(biāo)有最優(yōu)解的先決條件。對(duì)于數(shù)學(xué)規(guī)劃函數(shù)中的序列凸規(guī)劃，可通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行泰勒展開(kāi)式的改進(jìn)處理，以賦予非凸目標(biāo)函數(shù)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)凸性。根據(jù)式（4）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)如下：

式中，Λ、βi、γi均為拉格朗日乘子。

當(dāng)xi取極值時(shí)，必滿(mǎn)足K-T條件，即有

構(gòu)造相似性函數(shù)，引入?yún)?shù)c，令ξ=ξ?+cV，Λ=Λ?-c（ξ?、Λ?為ξ、Λ的相似函數(shù)），并將它們代入式（13），得

令yi=(1/xi)ε，ε為相應(yīng)影響參數(shù)。根據(jù)泰勒展開(kāi)思想構(gòu)造函數(shù)，并使自變量yi逼近ξ?，可令

式中，ξ0為一常數(shù)。

式（15）兩端對(duì)yi求導(dǎo)，有

顯然，當(dāng)αi≥0時(shí)，近似函數(shù)ξ?具有嚴(yán)格凸性。將式（15）對(duì)xi求導(dǎo)，可得

將式（17）化簡(jiǎn)并整理后，有

式（18）滿(mǎn)足函數(shù)嚴(yán)格凸性的條件為

3.2　改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法設(shè)計(jì)變量更新

令zi= ?V ?xi，并將其代入式（12），這樣便將拉格朗日優(yōu)化函數(shù)改寫(xiě)成：

式中，Ω、-Ω、+Ω分別為設(shè)計(jì)變量的中間值、最小值及最大值集合。

式（19）的解可基于式（13）、式（14）并通過(guò)下式所示數(shù)學(xué)問(wèn)題求得：

式中，k為迭代次數(shù)。

式中，t為設(shè)計(jì)變量移動(dòng)極限值，0＜t＜1。

實(shí)現(xiàn)自由阻尼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化，實(shí)質(zhì)上是在給定的約束范圍內(nèi)，通過(guò)持續(xù)的迭代過(guò)程尋求最佳的黏彈阻尼材料布局。若在迭代過(guò)程中設(shè)計(jì)變量改變值過(guò)大，將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)固有振型大范圍改變。引入振動(dòng)控制因子，可避免阻尼結(jié)構(gòu)模型發(fā)生振型躍階，即要求

式中，MAC（·）為模態(tài)置信函數(shù)；γ為系數(shù)，取0.9。

迭代實(shí)施過(guò)程中，優(yōu)化程序?qū)AC（模態(tài)置信度）值動(dòng)態(tài)跟蹤，當(dāng)振型發(fā)生較大跳躍時(shí)，對(duì)迭代方向適當(dāng)調(diào)整，使MAC值接近1，保證優(yōu)化中振型的穩(wěn)定。

3.3　改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法實(shí)現(xiàn)流程

運(yùn)用ANSYS及APDL編程語(yǔ)言，編制自由阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化程序，實(shí)現(xiàn)式（23）的改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法拓?fù)鋬?yōu)化。圖1所示為該程序的優(yōu)化流程。

4　算例分析

4.1　有限元模型求解精度驗(yàn)證

自由阻尼結(jié)構(gòu)中影響其減振性能優(yōu)劣的兩個(gè)主要因素為：①所建立阻尼結(jié)構(gòu)有限元模型精度和求解精度；②拓?fù)鋬?yōu)化算法性能的優(yōu)劣。顯然，若有限元模型精度不高，則基于該模型的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化不可能獲取理想的優(yōu)化結(jié)果。因此，在檢驗(yàn)優(yōu)化算法性能之前，應(yīng)先確保阻尼結(jié)構(gòu)有限元模型的可靠性。本文引入兩個(gè)算例對(duì)所建立有限元模型進(jìn)行驗(yàn)證：①將阻尼結(jié)構(gòu)求解模型的有限元數(shù)值解和解析解進(jìn)行比較；②將阻尼結(jié)構(gòu)求解模型的有限元數(shù)值解和實(shí)驗(yàn)解進(jìn)行比較。

算例一某矩形阻尼板尺寸為348 mm×304.8 mm，阻尼層材料剪切模量為2.670 08 MPa，密度為999 kg/m3，泊松比為0.49，材料損耗因子為0.5，厚度為0.254 mm?；鶎雍图s束層為同一種材料，物理參數(shù)分別為：彈性模量68.9 GPa，密度2 737 kg/m3，泊松比0.3，厚度均為0.762 mm。阻尼板約束條件為四邊簡(jiǎn)支固定。運(yùn)用ANSYS對(duì)該阻尼板進(jìn)行分析，提取固有頻率及模態(tài)損耗因子等動(dòng)力學(xué)參數(shù)。表1所示為阻尼板有限元模型求解結(jié)果與解析解的對(duì)比，可以看出，固有頻率相比文獻(xiàn)[14,20]解整體偏大，最大誤差為6.3%，模態(tài)損耗因子的最大誤差為第一階模態(tài)的誤差，誤差值為14.7%，二者結(jié)果較接近。

圖1　改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法實(shí)現(xiàn)流程圖Fig.1　The implementation process of improving optimization criterion

表1　文獻(xiàn)解析解與有限元仿真結(jié)果對(duì)比Tab.1　The contrast of analytical solution and finite element solution

算例二某矩形阻尼板的尺寸為800 mm×600 mm，阻尼層材料彈性模量為4.77 MPa，密度為1 100 kg/m3，泊松比為0.49，材料損耗因子為0.5，厚度為4.25 mm。基層和約束層為同一材料，其彈性模量為68.5 GPa，密度為2 737 kg/m3，泊松比為0.34，厚度均為3.14 mm。阻尼板有限元網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)為24×24，基層采用四邊簡(jiǎn)支約束。表2所示為阻尼板有限元模型求解結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比。相比實(shí)驗(yàn)值，通過(guò)有限元求解的固有頻率最大誤差為10%，模態(tài)損耗因子最大誤差為4.6%，兩者計(jì)算結(jié)果較吻合。以上兩個(gè)算例驗(yàn)證了本文有限元?jiǎng)恿W(xué)建模及其求解方法的有效性。

表2　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與有限元仿真結(jié)果對(duì)比Tab.2　Comparisons between experiment and finite element solution

4.2　改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法性能分析

選定矩形自由阻尼板為改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法優(yōu)化對(duì)象，該板長(zhǎng)700 mm，寬400 mm，基層厚1.5 mm，阻尼層厚1 mm?；鶎佑脷卧猻hell 181劃分網(wǎng)格，其彈性模量為43.2 GPa，泊松比為0.33，密度為1 810kg/m3；阻尼層選用八節(jié)點(diǎn)六面體單元soild185網(wǎng)格化，材料彈性模量為3.05 GPa，密度為1 550 kg/m3，泊松比為0.495，材料損耗因子為0.75。圖2給出了該板的有限元模型及其前三階模態(tài)應(yīng)變場(chǎng)。該板的左端基層處定義固支約束，頻率約束歸一化條件上下值分別為ωˉlowr=0.9，ωˉupperr=1,體積約束條件λ為60%。

圖3～圖5分別給出了采用改進(jìn)準(zhǔn)則法針對(duì)單一模態(tài)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化的結(jié)果。在圖3的1階模態(tài)優(yōu)化過(guò)程中，隨著拓?fù)錁?gòu)型的迭代，相對(duì)密度取中間值的阻尼單元數(shù)逐漸減少，在5次迭代之后，相對(duì)密度為中間值的阻尼單元數(shù)幾乎為零。從圖3中還可以看出，隨著迭代的進(jìn)行，阻尼板左側(cè)的相對(duì)密度為1的單元數(shù)量及處于阻尼板右側(cè)的相對(duì)密度近乎為0的單元數(shù)量均不斷增多，并最終趨于穩(wěn)定。圖4所示為2階模態(tài)優(yōu)化過(guò)程，從圖4中可見(jiàn)，在第3次迭代時(shí)，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)迭代出一個(gè)較大峰值，這主要是由于阻尼板左側(cè)中部位置未貼阻尼材料的區(qū)域過(guò)大，致使二階扭振的減振效果變?nèi)?。但隨著迭代的進(jìn)行，阻尼板左邊中部密度為1的單元數(shù)逐漸增加，當(dāng)?shù)降?步時(shí)，目標(biāo)函數(shù)逐漸趨于穩(wěn)定。在最終迭代收斂時(shí)，相對(duì)密度為中間值的單元基本不存在。圖5是針對(duì)3階模態(tài)優(yōu)化的迭代過(guò)程，通過(guò)改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法消除了中間密度值的存在，使得應(yīng)變趨于最小或最大，阻尼材料敷設(shè)于應(yīng)變最大位置，利用率較低的區(qū)域則不做處理。可見(jiàn)，在前幾步優(yōu)化迭代中，目標(biāo)函數(shù)明顯跌宕，從拓?fù)錁?gòu)型圖中易知，這是因在3階模態(tài)較大應(yīng)變處挖去阻尼材料所致。但隨著迭代的推進(jìn)，當(dāng)進(jìn)入第10步之后，目標(biāo)函數(shù)值開(kāi)始趨于穩(wěn)定。

改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法帶來(lái)的優(yōu)勢(shì)在于大大提高了單元密度的聚集度，使單元密度趨于0/1，抑制了中間密度的產(chǎn)生，減少了中間相對(duì)密度值單元數(shù)量?？梢?jiàn)，改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法可解決單元中大量中間密度值問(wèn)題，有效避免優(yōu)化結(jié)果的二義性，體現(xiàn)出拓?fù)鋬?yōu)化中對(duì)阻尼材料進(jìn)行合理挖空和敷設(shè)的算法優(yōu)勢(shì)。此外，改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法經(jīng)較少的迭代即可尋得阻尼板最優(yōu)構(gòu)型，求解效率更高。

圖2　自由阻尼板單元模型和前3階模態(tài)應(yīng)變能Fig.2　Element model and the first three order modal strain energy of free damping plate

圖3　1階目標(biāo)函數(shù)和拓?fù)錁?gòu)型迭代過(guò)程Fig.3　Iterative of first-order objective function and topology shape

圖4　2階目標(biāo)函數(shù)和拓?fù)錁?gòu)型迭代過(guò)程Fig.4　Iterative of quadratic objective function and topology shape

圖5　3階目標(biāo)函數(shù)和拓?fù)錁?gòu)型迭代過(guò)程Fig.5　Iterative of third-order objective function and topology shape

從前3階模態(tài)優(yōu)化迭代圖中還可看出，阻尼材料相對(duì)密度較大的單元，主要分布在阻尼板上對(duì)應(yīng)模態(tài)應(yīng)變能大的區(qū)域，相反，相對(duì)密度小的阻尼單元?jiǎng)t分布在對(duì)應(yīng)模態(tài)應(yīng)變能較小區(qū)域。呈現(xiàn)這種結(jié)構(gòu)布局，主要是阻尼板中相對(duì)模態(tài)應(yīng)變能小的位置，阻尼材料單元變形較小，能量消耗較弱。這意味著，在控制材料用量的前提下，若要提高阻尼材料減振效果，應(yīng)優(yōu)先敷設(shè)阻尼材料對(duì)應(yīng)應(yīng)變能較大位置，刪除較小應(yīng)變單元?？梢?jiàn)，改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法的材料敷設(shè)位置與圖2做定性分析時(shí)一致。

圖6給出了針對(duì)前3階模態(tài)分別進(jìn)行單一模態(tài)優(yōu)化時(shí)，相應(yīng)優(yōu)化模態(tài)的固有頻率隨迭代變化曲線(xiàn)。各階模態(tài)的固有頻率經(jīng)過(guò)少數(shù)幾步跌宕后，均逐漸趨于穩(wěn)定，且頻率值均有一定增大，只是增大幅度較小，不超過(guò)2 Hz，滿(mǎn)足頻率約束條件。圖7給出了前3階模態(tài)做單一模態(tài)優(yōu)化時(shí)，所優(yōu)化模態(tài)的模態(tài)損耗因子變化情況。由圖7可知，隨著迭代次數(shù)增加，結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子呈現(xiàn)了先降后增并最終趨于收斂的變化趨勢(shì)。

圖6　單階模態(tài)固有頻率迭代過(guò)程Fig.6　Iterative of the single order modal natural frequency

圖7　單階模態(tài)損耗因子的迭代過(guò)程Fig.7　Iterative of single order modal loss factor

一般認(rèn)為，對(duì)于自由阻尼結(jié)構(gòu)，更多地鋪設(shè)阻尼材料會(huì)更有效地減振，但在對(duì)質(zhì)量有嚴(yán)格限制的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，如何在使用盡可能少的減振材料的前提下，使結(jié)構(gòu)達(dá)到同等減振效果同樣也非常重要。由表3所列結(jié)果可以看出，當(dāng)針對(duì)1階模態(tài)優(yōu)化時(shí)，結(jié)構(gòu)的阻尼材料體積減少到原阻尼材料用量的60%時(shí)，各階模態(tài)損耗因子的變化幅度相對(duì)材料的減少均呈增長(zhǎng)趨勢(shì)。其中，優(yōu)化后1階模態(tài)損耗因子下減小比例僅為6.07%，這對(duì)阻尼減振而言意義鮮明，由于機(jī)械在運(yùn)行過(guò)程中須先通過(guò)1階頻率，進(jìn)而對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生激勵(lì)作用，因此1階模態(tài)的振動(dòng)響應(yīng)比重最大，所以有效地抑制1階振動(dòng)可最大程度地提高阻尼材料減振效果。

表3　優(yōu)化前后模態(tài)損耗因子對(duì)比Tab.3　Modal loss factor comparison before and after optimization

圖8為1階模態(tài)優(yōu)化前后諧響應(yīng)特性曲線(xiàn)。采用改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法針對(duì)第1階模態(tài)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，其1階模態(tài)諧響應(yīng)幅值基本不變，但阻尼材料用量減少為原阻尼材料用量的60%。圖8還顯示，基于改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法優(yōu)化前后1階頻率變化較小，同時(shí)也不會(huì)發(fā)生峰值振蕩?？梢?jiàn)，改進(jìn)算法在保證黏彈性材料用量較少的情況下，可以維持結(jié)構(gòu)整體模態(tài)頻率、損耗因子基本不變，使結(jié)構(gòu)獲得較好的綜合減振效果。

圖8　1階模態(tài)優(yōu)化后諧響應(yīng)特性Fig.8　Harmonic response of the first order modal optimization

圖9　多階目標(biāo)函數(shù)和拓?fù)錁?gòu)型迭代過(guò)程Fig.9　Iterative of order objective function and topology shape

圖10　多模態(tài)固有頻率迭代過(guò)程Fig.10　Iterative process of the multi-modes natural frequency

圖9～圖11分別為前3階多模態(tài)復(fù)合優(yōu)化減振時(shí)目標(biāo)函數(shù)、固有頻率和模態(tài)損耗因子隨迭代次數(shù)變化曲線(xiàn)。主要考慮前3階模態(tài)損耗因子的加權(quán)作用，以求模態(tài)損耗因子最大值的優(yōu)化目標(biāo)，因此δ1=δ2=δ3=1/3。與單一模態(tài)優(yōu)化相比，多模態(tài)復(fù)合優(yōu)化時(shí)，各階模態(tài)參數(shù)變化均較緩慢，當(dāng)?shù)螖?shù)為15時(shí)，各參數(shù)值逐漸趨于穩(wěn)定，固有頻率整體上升幅度減小，各階模態(tài)損耗因子依然減小，但減小程度均有所減緩。即多模態(tài)復(fù)合優(yōu)化在不改變結(jié)構(gòu)固有特性前提下，更好地對(duì)各階模態(tài)進(jìn)行優(yōu)化減振處理，對(duì)減振設(shè)計(jì)更具指導(dǎo)意義。

圖11　多模態(tài)損耗因子迭代過(guò)程Fig.11　Iterative process of multi-modal loss factor

5　結(jié)論

（1）基于泰勒級(jí)數(shù)對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化準(zhǔn)則法做了改進(jìn)，從理論上進(jìn)行了數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，提出了∞范數(shù)靈敏度的概念，改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法解決了設(shè)計(jì)變量出現(xiàn)非正及迭代發(fā)散等問(wèn)題，保證了優(yōu)化結(jié)果的全局最優(yōu)性。

（2）基于改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法對(duì)自由阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化，在阻尼材料體積為優(yōu)化前結(jié)構(gòu)材料體積60%的情況下得到了合理拓?fù)錁?gòu)型，并使自由阻尼結(jié)構(gòu)獲得了有效的減振效果。

（3）改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法中間區(qū)域密度值相對(duì)越少，單元收斂度越高，迭代穩(wěn)定性越好，優(yōu)化結(jié)果具有全局最優(yōu)性，優(yōu)化效率高。