葛研軍　袁　直　趙　鵬　周凱凱　方　飛

大連交通大學(xué)機械工程學(xué)院，大連，116028

0　引言

永磁齒輪具有非接觸、無摩擦、低噪聲、低振動及高可靠性等特點，是目前國內(nèi)外研究的熱點。同心式永磁齒輪（concentric permanent magnetic gear，CPMG）是一種新型高效的永磁齒輪［1］，永磁體利用率高、轉(zhuǎn)矩密度大，被廣泛應(yīng)用于特種車輛、艦船推進器、航空發(fā)動機、風(fēng)能和潮汐能發(fā)電機等［2］。

CPMG主要由外磁圈、內(nèi)磁圈及調(diào)磁環(huán)組成。其中，磁極數(shù)較少的為高速永磁圈，磁極數(shù)較多的為低速永磁圈；調(diào)磁環(huán)由導(dǎo)磁和非導(dǎo)磁性材料交替組成。調(diào)磁環(huán)的引入使內(nèi)外磁圈形成了兩層氣隙，并可將內(nèi)外磁圈永磁體產(chǎn)生的磁場諧波調(diào)配一致，實現(xiàn)從動轉(zhuǎn)子按一定傳動比進行動力傳遞。

CPMG運動時，由于氣隙磁場模型是在時間維度上進行的三維非線性數(shù)理模型求解，因此理論分析較為困難。文獻［3-4］采用分離變量法和麥克斯韋應(yīng)力張量法對CPMG的靜態(tài)磁場及轉(zhuǎn)矩進行了理論分析。文獻［5-7］采用有限元方法研究了CPMG結(jié)構(gòu)參數(shù)對氣隙磁場及轉(zhuǎn)矩特性的影響。文獻［8-9］根據(jù)電機齒槽轉(zhuǎn)矩原理分析了CPMG的轉(zhuǎn)矩特性。

上述文獻均僅對CPMG的最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩及靜態(tài)磁場特性進行了研究，而忽略了CPMG實際運行尤其是啟動時的工作特性。

本文基于轉(zhuǎn)子動力學(xué)原理及動量矩定理，對CPMG的啟動過程進行數(shù)理建模，研究了主動轉(zhuǎn)子經(jīng)調(diào)制后產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場與從動轉(zhuǎn)子同步轉(zhuǎn)速的運行機理，分析了CPMG傳動比、啟動角以及從動轉(zhuǎn)子輸出轉(zhuǎn)速對其啟動特性的影響，并通過電磁仿真軟件對上述特性進行了逐一分析驗證。

1　 CPMG啟動特性

CPMG的機械結(jié)構(gòu)見圖1，其中，ni為低速轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，Ii為其轉(zhuǎn)動慣量，no為高速轉(zhuǎn)子瞬時轉(zhuǎn)速，Io為其轉(zhuǎn)動慣量。CPMG的外磁圈、內(nèi)磁圈及調(diào)磁環(huán)均可作為轉(zhuǎn)子或定子使用。當調(diào)磁環(huán)固定時，CPMG將形成內(nèi)外轉(zhuǎn)子反向旋轉(zhuǎn)的負號機構(gòu)；當外轉(zhuǎn)子固定時，則形成調(diào)磁環(huán)與內(nèi)轉(zhuǎn)子同向旋轉(zhuǎn)的正號機構(gòu)。

圖1　 CPMG機械結(jié)構(gòu)Fig.1　CPMG mechanical structure

本文主要分析CPMG負號機構(gòu)的動態(tài)性能，即將圖1中的低速永磁圈設(shè)為主動轉(zhuǎn)子（與原動機相連），高速永磁圈設(shè)為從動轉(zhuǎn)子（與工作機相連），調(diào)磁環(huán)則為定子。正號機構(gòu)及減速時的分析方法與此相同。

1.1　從動轉(zhuǎn)子啟動點特性分析

CPMG旋轉(zhuǎn)時轉(zhuǎn)子間通過氣隙產(chǎn)生磁轉(zhuǎn)矩。由文獻［10］的數(shù)理計算及文獻［11］的測試結(jié)果可知：從動轉(zhuǎn)子瞬時輸出轉(zhuǎn)矩To與其偏離平衡位置（即主動轉(zhuǎn)子與從動轉(zhuǎn)子間磁力矩為零時的位置）的角度差α滿足如下關(guān)系：

式中，No為從動轉(zhuǎn)子磁極對數(shù)；Tm為峰值轉(zhuǎn)矩。

To與α的關(guān)系曲線見圖2。圖2中，T1為負載轉(zhuǎn)矩，點B、點E、點H表示此時機構(gòu)輸出轉(zhuǎn)矩等于負載轉(zhuǎn)矩，所對應(yīng)的角度差α分別為αB、αE、αH；T2為同步轉(zhuǎn)矩，在一個周期曲線內(nèi)所對應(yīng)的點為D與K，其角度差為αD與αK，Tm對應(yīng)的角度差為αC。由于點C、D、K均在圖2所示的BE區(qū)間內(nèi)，因此點D、K也可與點C重合。

圖2　To與α關(guān)系曲線Fig.2　Toandαrelation curve

由圖2可知：

（1）當主動轉(zhuǎn)子自點A開始順時針旋轉(zhuǎn)時，從動轉(zhuǎn)子在[0,αB)內(nèi)所輸出轉(zhuǎn)矩為正，但始終小于負載轉(zhuǎn)矩T1，因此從動轉(zhuǎn)子將會反轉(zhuǎn)；當α增大到[αB,αE]時，To≥ T1，此時從動轉(zhuǎn)子的反轉(zhuǎn)速度開始遞減，并向正轉(zhuǎn)速方向過渡直至恢復(fù)穩(wěn)定運行狀態(tài)。

（2）當主動轉(zhuǎn)子自點B開始順時針旋轉(zhuǎn)時，輸出轉(zhuǎn)矩始終大于負載轉(zhuǎn)矩，即To≥T1，從動轉(zhuǎn)子直接正轉(zhuǎn)加速直至同步轉(zhuǎn)速，此區(qū)間可正常運行至穩(wěn)定狀態(tài)。

（3）當主動轉(zhuǎn)子自點E開始順時針旋轉(zhuǎn)時，To≤T1，因此也將產(chǎn)生反轉(zhuǎn)現(xiàn)象，且隨α增大反轉(zhuǎn)速度加快；只有當主動轉(zhuǎn)子相對于調(diào)制磁場再轉(zhuǎn)過一個磁極弧度到達點H后，此時To≥T1，反轉(zhuǎn)速度逐漸降低，并開始向正轉(zhuǎn)方向過渡。

綜上，從動轉(zhuǎn)子啟動點的選取對CPMG能否正常啟動至關(guān)重要。由上述分析可以看出：在從動轉(zhuǎn)子所受轉(zhuǎn)矩與負載轉(zhuǎn)矩相等且啟動轉(zhuǎn)矩持續(xù)增大的位置（圖2中的點B）處開始啟動最為理想。

1.2　從動轉(zhuǎn)子啟動特性曲線

圖1中CPMG正常啟動時的有限元仿真曲線見圖3，與圖2中α在區(qū)間[0,αB)內(nèi)且可加速至同步磁場轉(zhuǎn)速的啟動過程曲線相對應(yīng)。

圖3所標識的各點分別與圖2中一個周期內(nèi)的各點相對應(yīng)，即圖3中的A、A1、…、An與圖2中的A點相對應(yīng)，B、C與A類同。

設(shè)CPMG逆時針方向為正，順時針方向為負；主動轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速為ni，轉(zhuǎn)動慣量為Ii，轉(zhuǎn)矩為Ti，磁極對數(shù)為Ni；從動轉(zhuǎn)子瞬時轉(zhuǎn)速為no，轉(zhuǎn)動慣量為Io，磁極對數(shù)為No；傳動比為G，且 G=-Ni/No；從動轉(zhuǎn)子輸出轉(zhuǎn)速的最終收斂值（即穩(wěn)定后的轉(zhuǎn)速）為nT，且nT=Gni。

由圖3可看出，To及no的周期被不斷拉長直至穩(wěn)定在T1及nT附近上下波動。當從動轉(zhuǎn)子在圖2所示的AB區(qū)間段運行時，由動量矩定理知，此時no加速反轉(zhuǎn)，且反轉(zhuǎn)速度在圖2中的αB處達到最大值。

圖3　CPMG從動轉(zhuǎn)子啟動轉(zhuǎn)矩及轉(zhuǎn)速輸出曲線Fig.3　Starting torque and speed output curve of CPMG slave rotor

圖3中的B至B1段是向平穩(wěn)運行方向的加速階段，對應(yīng)圖2中的BE段，此時α逐漸加大，To也逐漸加大，且在圖2點C處達到最大轉(zhuǎn)矩Tm；此時從動轉(zhuǎn)子繼續(xù)加速至同步轉(zhuǎn)速點D；此后雖然從動轉(zhuǎn)子繼續(xù)加速，但To開始逐步減小至點E，此時no達到最大值（圖3中的點B1所對應(yīng)的轉(zhuǎn)速曲線值）。

由圖3還可看出：隨α增大，To＜T1，此時no開始減??；當從動轉(zhuǎn)子到達圖3所示的A1點時，no=nT，由于此時仍為To＜T1，因此no將繼續(xù)減小，而α則開始進入下一個周期（B2點所對應(yīng)的αB）循環(huán)，此時To=T1，從動轉(zhuǎn)子也開始重復(fù)上述加速過程，直至To及no在T1與nT附近小范圍內(nèi)波動并達到平衡狀態(tài)。

1.3　動態(tài)數(shù)理建模

當從動轉(zhuǎn)子還未啟動即no=0時，主動轉(zhuǎn)子所產(chǎn)生的磁場每旋轉(zhuǎn)一周，作用在從動轉(zhuǎn)子上的磁轉(zhuǎn)矩便交變No次，而從動轉(zhuǎn)子一對磁極所對應(yīng)的物理角度為2π/No。

設(shè)主動轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)磁場相對于從動轉(zhuǎn)子磁場的轉(zhuǎn)速為n′i，作用在從動轉(zhuǎn)子上轉(zhuǎn)矩的交變周期為tp，則

由式（2）可得圖4所示的tp變化曲線。由式（2）及圖4可知，當no由0逐漸增大時，tp也將逐漸增大，分別形成圖4中的曲線1到曲線n，此時作用在從動轉(zhuǎn)子的正轉(zhuǎn)矩時間也不斷延長，因此從動轉(zhuǎn)子易于啟動。

圖4　CPMG啟動時從動轉(zhuǎn)子輸出轉(zhuǎn)矩曲線Fig.4　The output torque curve of the driven rotor at the start of CPMG

圖4中，設(shè)從動轉(zhuǎn)子在t1時刻所受的負載轉(zhuǎn)矩恒定，則：當t＜t1時，To＜T1，此時從動轉(zhuǎn)子朝反方向加速旋轉(zhuǎn)；當t=t1時，To=T1，此時系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，從動轉(zhuǎn)子的加速度為0；當t1＜t＜-t1時，To＞ T1，此時從動轉(zhuǎn)子將受到逐漸增大的沖量作用而開始向正方向加速運動；當nT較大時，tp取值也較大，CPMG較易啟動，反之，則較難啟動；當no→nT時，tp→∞，此時從動轉(zhuǎn)子完成啟動。

1.4　啟動及過載保護特性

由于從動轉(zhuǎn)子與耦合磁場存在相對轉(zhuǎn)速差且在啟動過程中不斷變化，而采用有限元方法的模型求解過程中均忽略了這一因素，因此所得仿真結(jié)果僅反映CPMG啟動過程中某時刻的運行狀態(tài)。為能準確反映整個啟動過程，可通過Simulink加入圖5所示的反饋機制。

圖5 CPMG動態(tài)仿真框圖Fig.5　CPMG dynamic simulation block diagram

圖5中，設(shè)ni=200 r/min，采樣時間為600 ms，則由圖5可得系統(tǒng)啟動時的從動轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速特性曲線，見圖6。由圖6可知：當0＜t＜50 ms時，主從動轉(zhuǎn)子之間的相對轉(zhuǎn)速差較大，從動轉(zhuǎn)子所受的磁力矩變化較快，導(dǎo)致其轉(zhuǎn)速波動較大；隨著從動轉(zhuǎn)子不斷加速運行，最終將逐漸與主動轉(zhuǎn)子調(diào)制后的旋轉(zhuǎn)磁場同步運行，此時主從動轉(zhuǎn)子間的相對轉(zhuǎn)速差逐漸減小，并在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量和阻尼的作用下，波動逐漸變緩并于150 ms至200 ms時趨于穩(wěn)定；當200 ms＜t＜350 ms時，從動轉(zhuǎn)子所帶負載轉(zhuǎn)矩超過CPMG的最大輸出轉(zhuǎn)矩，從動轉(zhuǎn)子開始“丟轉(zhuǎn)”，而主動轉(zhuǎn)子仍以原速度旋轉(zhuǎn)，此為CPMG的過載保護特性。該特性將保護傳動系統(tǒng)中的動力源機負載系統(tǒng)，且當負載轉(zhuǎn)矩減小至CPMG的最大輸出轉(zhuǎn)矩時，從動轉(zhuǎn)子將重新啟動，即圖6所示350 ms＜t＜600 ms間的曲線。

圖6　CPMG從動轉(zhuǎn)子啟動轉(zhuǎn)速特性曲線Fig.6　Starting speed characteristic curve of CPMG driven rotor

2　 CPMG動態(tài)特性有限元分析

根據(jù)文獻［12］中的CPMG結(jié)構(gòu)參數(shù)（最大承載功率為5 kW），設(shè)計了3種傳動比的CPMG，其結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。設(shè)定ni=200 r/min；永磁體均為平行充磁，材料為NdFeB35，相對磁導(dǎo)率為1.099 7；調(diào)磁環(huán)所用材料為D23_50；3個模型中除永磁體數(shù)目不同外，其他幾何尺寸及模型參數(shù)完全相同。

表1　 CPMG的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1　CPMG’s structural parameters

2.1　不同傳動比對啟動轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)矩的影響

根據(jù)表1參數(shù)，基于ANSYS分別建立上述3種傳動比的CPMG有限元模型，并分別對其進行電磁仿真，得到從動轉(zhuǎn)子由圖4所示的t1時刻開始啟動時的轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速曲線，見圖7及圖8。

圖7　 CPMG轉(zhuǎn)矩曲線Fig.7　CPMG torque curve

由圖7及圖8可知，對于不同傳動比的CPMG，其轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速曲線波動幅值明顯不同。當傳動比為整數(shù)（G=6）時，轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速的波動幅值較大，最大與最小輸出轉(zhuǎn)速約為1 850 r/min、500 r/min，兩者相差1 350 r/min，約為理論輸出轉(zhuǎn)速1 200 r/min的112.5%；同理，當傳動比為小數(shù)（G=5.5）時，其轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩波動將大為減小，最大與最小輸出轉(zhuǎn)速約為1 200 r/min、800 r/min，兩者相差400 r/min，約為理論輸出轉(zhuǎn)速1 200 r/min的33.3%；當傳動比所含的小數(shù)位增多（G=5.75）時，其轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩波動將更小，約為輸出轉(zhuǎn)矩峰值的10%～20%。

2.2　從動轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速對轉(zhuǎn)矩周期的影響

將no分別取值為0、300 r/min及600 r/min，并將其分別代入式（2）中，可得tp的取值結(jié)果分別為13.652 ms、19.287 ms及28.545 ms。

圖8　 CPMG轉(zhuǎn)速曲線Fig.8　CPMG speed curve

圖9　轉(zhuǎn)矩輸出曲線Fig.9　Torque output curve

根據(jù)上述對傳動比的分析結(jié)果，取表1中的傳動比5.75，建立其CPMG有限元模型，并對從動轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩進行有限元仿真。從動轉(zhuǎn)子不同轉(zhuǎn)速下的轉(zhuǎn)矩輸出曲線見圖9。由圖9可知，隨著no的不斷增大，tp也在不斷增長，并形成圖4所示的周期變化規(guī)律，有限元仿真所得的轉(zhuǎn)矩周期與式（2）計算結(jié)果基本相同，分別為圖9a所示的tp=13 ms、圖9b所示的tp=19 ms及圖9c所示的tp=30 ms。

2.3　不同啟動角對啟動性能的影響

由圖2的理論分析可知，CPMG在點A及點E處均不能正常啟動，而點B為其啟動的最佳位置。為驗證上述分析的正確性，可建立G=5.75、負載恒定（Tl=50 N·m）的CPMG有限元模型，上述三點的啟動特性曲線見圖10。

由圖10可知：CPMG在點A處無法正常啟動，其原因是點A的輸出轉(zhuǎn)矩小于負載轉(zhuǎn)矩，從動轉(zhuǎn)子不能獲得足夠的轉(zhuǎn)矩沖量，而出現(xiàn)反轉(zhuǎn)現(xiàn)象，且隨α增大，輸出轉(zhuǎn)矩始終小于負載轉(zhuǎn)矩，從動轉(zhuǎn)子不僅無法實現(xiàn)向正轉(zhuǎn)過渡，反而進入負轉(zhuǎn)速方向的加速階段，如此循環(huán)便出現(xiàn)了圖10a所示的反方向轉(zhuǎn)速曲線的發(fā)散現(xiàn)象。由于從動轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速發(fā)散，而主動轉(zhuǎn)子的輸入轉(zhuǎn)速ni為定值，故從動轉(zhuǎn)子與同步磁場的轉(zhuǎn)速差值||n′i將不斷增大，由式（2）知其轉(zhuǎn)矩周期tp將不斷縮短，形成圖10b所示的轉(zhuǎn)矩時間曲線。

圖10c及圖10d為點B處啟動時轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)矩的特性曲線。此時輸出轉(zhuǎn)矩等于負載轉(zhuǎn)矩，啟動開始時從動轉(zhuǎn)子就進行正方向的加速運動，消除了前期反轉(zhuǎn)現(xiàn)象，且輸出轉(zhuǎn)矩不斷增大，加速正轉(zhuǎn)直至與旋轉(zhuǎn)磁場同步運行。由式（2）可知：此時從動轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增大將導(dǎo)致轉(zhuǎn)矩周期的拉長進而有利于啟動。

圖10e及圖10f為點E啟動時的轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)矩特性曲線。此時輸出轉(zhuǎn)矩等于負載轉(zhuǎn)矩，但隨α的增大，輸出轉(zhuǎn)矩不斷減小，進入負轉(zhuǎn)矩周期，從動轉(zhuǎn)子受負載及負輸出轉(zhuǎn)矩的雙重作用，開始向負方向加速旋轉(zhuǎn)，出現(xiàn)圖10e所示的反轉(zhuǎn)現(xiàn)象；待進入下一個正轉(zhuǎn)矩周期，從動轉(zhuǎn)子不僅要克服負載轉(zhuǎn)矩的影響，還要克服上個周期帶來的負轉(zhuǎn)矩沖量，因此點E啟動有可能導(dǎo)致CPMG始終無法進入正常啟動狀態(tài)。

圖10　A點、B點及E點處的啟動特性曲線Fig.10　Starting characteristic curves at A point，B point and E point

3　結(jié)論

（1）通過對CPMG的啟動進行數(shù)理理論分析，得到從動轉(zhuǎn)子輸出轉(zhuǎn)矩與角度差之間的關(guān)系，進而得到tp與nT之間的關(guān)系。當nT較大時，tp也較大，CPMG較易啟動。

（2）含有小數(shù)的傳動比能有效減小轉(zhuǎn)矩及轉(zhuǎn)速波動幅值；當傳動比中含有0.75時，波動幅值達到最小。

（3）圖2所示點A的輸出轉(zhuǎn)矩隨α增大而增大，但在區(qū)間[0,αB)內(nèi)卻始終小于負載轉(zhuǎn)矩，只有運行至點B時，其輸出轉(zhuǎn)矩才大于負載轉(zhuǎn)矩，因此需經(jīng)過由反轉(zhuǎn)向正轉(zhuǎn)的過渡過程，有時甚至無法啟動。

（4）圖2所示點B處可提供的輸出轉(zhuǎn)矩始終大于負載轉(zhuǎn)矩，為最佳啟動位置；而在點E啟動時，其輸出轉(zhuǎn)矩將逐漸減小，進入負轉(zhuǎn)矩周期后將導(dǎo)致其始終無法啟動，為啟動位置的最不利點。