楊博，趙曉濤，苗峻，劉旭輝，龍軍

(1.北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100083; 2.北京控制工程研究所，北京100190)

近年來，通過多顆微小型衛(wèi)星彼此協(xié)同工作，從而實(shí)現(xiàn)單個(gè)大型復(fù)雜衛(wèi)星才能完成甚至難以完成的任務(wù)，已成為微小型衛(wèi)星最佳的空間應(yīng)用模式。其協(xié)同工作的模式可以最大限度地?cái)U(kuò)展空間系統(tǒng)功能，提高空間利用效率和系統(tǒng)可靠性，降低系統(tǒng)的研制和維護(hù)成本。

為進(jìn)一步降低編隊(duì)衛(wèi)星的運(yùn)行與管理成本，提高編隊(duì)工作的實(shí)時(shí)性和靈活性，亟待尋找一種利用在軌決策的編隊(duì)運(yùn)行與管理方法，以增強(qiáng)編隊(duì)系統(tǒng)魯棒性和可靠性，并盡可能減少編隊(duì)衛(wèi)星能量消耗，提高反應(yīng)速度。而基于微推力的衛(wèi)星編隊(duì)能完成更高精度的飛行任務(wù)，提高對(duì)地觀測(cè)的精度等，可廣泛應(yīng)用于地球重力場(chǎng)觀測(cè)、地磁觀測(cè)等需要超高精度對(duì)地觀測(cè)的科學(xué)任務(wù)中。

NASA的Deep Space 1和ESA的SMART-1都將微推力器衛(wèi)星應(yīng)用于深空探測(cè)領(lǐng)域中［1-5］;美國普蘭尼特公司擁有148顆在軌微納衛(wèi)星時(shí)刻進(jìn)行對(duì)地觀測(cè)，其中于2017年2月發(fā)射的88顆衛(wèi)星可由人單手托舉［6］。而當(dāng)前在軌微小衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)，或不進(jìn)行控制，或采用電磁推進(jìn)器作為動(dòng)力源進(jìn)行控制，但電磁推進(jìn)器復(fù)雜、成本較高，限制了微納衛(wèi)星控制系統(tǒng)的發(fā)展。中國現(xiàn)有微推力系統(tǒng)仍不能滿足微納衛(wèi)星編隊(duì)的需求，已發(fā)射的微納衛(wèi)星均無推力控制系統(tǒng)。而由北京控制工程研究所研究的MEMS微推力器陣列可以產(chǎn)生10－5～10－4N·s的脈沖推力，且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成本低廉，為中國微納衛(wèi)星在軌控制的發(fā)展提供了有力的技術(shù)支持和保證［7］。

從軟件上來說，由于采用微推力器，則表明控制系統(tǒng)不能修正過大的誤差，因此就對(duì)衛(wèi)星編隊(duì)控制系統(tǒng)的可靠性和快速性提出了要求?？焖俜€(wěn)定的信息交流是衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的重要保證，而具有高度可靠性和快速性的信息拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)則是信息交流的前提。由于承載衛(wèi)星編隊(duì)成員信息交流任務(wù)的拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)有著重要的影響，從信息拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的角度對(duì)衛(wèi)星編隊(duì)控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析，并據(jù)此設(shè)計(jì)出有效的編隊(duì)構(gòu)型、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和控制策略就成了一個(gè)很有意義的研究方向。

本文以光學(xué)干涉成像衛(wèi)星為背景，設(shè)計(jì)了一個(gè)低軌衛(wèi)星編隊(duì)控制系統(tǒng)，包括編隊(duì)構(gòu)型、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及控制系統(tǒng)，可以完成地形三維測(cè)繪和地面目標(biāo)的跟蹤定位，具有極高的科學(xué)意義和軍事價(jià)值。由于衛(wèi)星對(duì)地成像系統(tǒng)的測(cè)量要求編隊(duì)衛(wèi)星之間必須保證嚴(yán)格的相對(duì)位置關(guān)系，因此必須使用高精度的導(dǎo)航系統(tǒng)和控制系統(tǒng)。

1 Cartwheel構(gòu)型編隊(duì)飛行動(dòng)力學(xué)

Cartwheel構(gòu)型［8］是法國空間中心(CNES)提出的概念，其編隊(duì)由處于同一軌道平面、相對(duì)運(yùn)動(dòng)相位角差為120°的3顆繞飛小衛(wèi)星和1顆中心主星構(gòu)成。Cartwheel構(gòu)型小衛(wèi)星編隊(duì)利用編隊(duì)間的穩(wěn)定幾何關(guān)系，通過彼此通信協(xié)作，可以實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星編隊(duì)測(cè)高、對(duì)地觀測(cè)等多項(xiàng)功能。研究發(fā)現(xiàn)，Cartwheel構(gòu)型所形成的編隊(duì)，垂直基線穩(wěn)定，在各個(gè)軌道周期中變化極小，所以對(duì)其編隊(duì)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化問題十分有意義。本節(jié)以Cartwheel編隊(duì)構(gòu)型為基礎(chǔ)，建立衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型。

如圖1所示，相對(duì)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系采用主星T的軌道坐標(biāo)系，y軸垂直于軌道平面，z軸指向地心，x軸指向衛(wèi)星T的運(yùn)動(dòng)方向。經(jīng)過分析推導(dǎo)可以得到描述從星F的C-W方程如下:

圖1 主從星間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)Fig.1 Relative motion of target and follower

式中:ωT為主星的軌道角速度;fx、fy、fz為所受攝動(dòng)力或控制力。

式(1)是本文的研究基礎(chǔ)。衛(wèi)星構(gòu)型的攝動(dòng)分析、導(dǎo)航算法以及軌道保持控制均基于此方程。解此方程就可以得到衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。設(shè)定合理的初值，就可以得到衛(wèi)星編隊(duì)的構(gòu)型。

取狀態(tài)變量X=［xyz x y z］T，分別代表從星在主星軌道坐標(biāo)系中的3軸坐標(biāo)和3個(gè)方向的速度，C-W方程可寫為

式中:

求解可知，當(dāng)6ωTz0－3=0時(shí)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型穩(wěn)定，其軌道為一閉曲線。解為

此時(shí)，Cartwheel編隊(duì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為2種運(yùn)動(dòng)的疊加，即為在主星T軌道平面內(nèi)的橢圓繞飛軌道(長短軸為2∶1)和沿主星T法線方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，可以嚴(yán)格證明二者的疊加運(yùn)動(dòng)為與主星軌道平面 xo-yo夾角為30°或150°的圓軌道平面xc-yc，如圖 2 所示［9］。

2 衛(wèi)星編隊(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與分析

衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的關(guān)鍵在于編隊(duì)衛(wèi)星之間信息的交互，而其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)就是信息交互的渠道。在微推力器作用下的衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)中，由于衛(wèi)星編隊(duì)的高精度要求和微推力器作用效果不足之間的矛盾，又對(duì)衛(wèi)星節(jié)點(diǎn)間信息傳遞的快速性提出了要求。研究與分析衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，可以有效提高衛(wèi)星編隊(duì)的快速性和穩(wěn)定性。本節(jié)將對(duì)基于Cartwheel構(gòu)型的衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)的信息拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行分析和比較，并據(jù)此選擇4節(jié)點(diǎn)衛(wèi)星最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

圖2 Cartwheel構(gòu)型空間示意圖Fig.2 Space schematic diagram of Cartwheel configuration

2.1 適用于微推力衛(wèi)星編隊(duì)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是實(shí)現(xiàn)信息交換和共享的基礎(chǔ)。而衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)長時(shí)間在太空中進(jìn)行高精度編隊(duì)保持，系統(tǒng)要實(shí)時(shí)對(duì)各衛(wèi)星進(jìn)行軌道控制，以保證編隊(duì)構(gòu)型［10］。

第1節(jié)中已確定采用主星沿太陽同步軌道，從星對(duì)主星進(jìn)行圓軌道繞飛的Cartwheel編隊(duì)構(gòu)型。下面對(duì)針對(duì)此編隊(duì)構(gòu)型的幾種常用信息拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。

網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)指網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)相互連接的方式，在衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用中，主要的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)包括星形拓?fù)?、環(huán)形拓?fù)浜途W(wǎng)形拓?fù)洹?/p>

研究網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)性能的最常見手段是通過圖論知識(shí)研究拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的特征參數(shù)，分析信息網(wǎng)絡(luò)的性能，其中平均最短路徑(Average Shortest Path，ASP)和拓?fù)淇煽啃钥捎糜趯?duì)衛(wèi)星編隊(duì)飛行系統(tǒng)進(jìn)行快速性和可靠性分析。

1)平均最短路徑

平均最短路徑表示網(wǎng)絡(luò)中2個(gè)信息節(jié)點(diǎn)的信息交互需要經(jīng)過的最短中介路程，可以表示為

式中:N為節(jié)點(diǎn)的集合;n為集合中節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù);d(i，j)為節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間的最短路徑。

平均最短路徑越大，網(wǎng)絡(luò)中信息傳遞的路程越長，信息傳輸時(shí)間就越久，因此平均最短路徑越小越好。

2)拓?fù)淇煽啃?/p>

拓?fù)淇煽啃灾饕治鲂畔⒕W(wǎng)絡(luò)中有節(jié)點(diǎn)或信息鏈路被破壞或暫時(shí)故障時(shí)，信息網(wǎng)絡(luò)是否仍能正常運(yùn)作，或者因之產(chǎn)生如時(shí)滯、丟包、噪聲等因素對(duì)系統(tǒng)帶來的影響等。通常，對(duì)拓?fù)銰(N，E)的可靠性RG可定義為

式中:rij為節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j之間的可靠性。

現(xiàn)綜合兩方面分析本節(jié)中確定的編隊(duì)構(gòu)型在不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的快速性和可靠性。分析由4個(gè)節(jié)點(diǎn)，即1顆中心主星和3顆環(huán)繞星做成的衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)構(gòu)成的星形、環(huán)形、網(wǎng)形(全連通)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)參數(shù)，如圖3所示。設(shè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)和鏈路的可靠性k都為0.8。

根據(jù)表1中計(jì)算結(jié)果分析可知，在Cartwheel構(gòu)型衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)中，節(jié)點(diǎn)數(shù)較少，故每種拓?fù)錁?gòu)型的平均最短路徑值都很小，信息傳遞的效率很高，時(shí)滯較小。但由于星形結(jié)構(gòu)和網(wǎng)形結(jié)構(gòu)的信息傳遞過程中都需要經(jīng)過中心節(jié)點(diǎn)，對(duì)中心節(jié)點(diǎn)處衛(wèi)星的通信系統(tǒng)要求提出了更大的要求。且星形結(jié)構(gòu)中一旦中心節(jié)點(diǎn)發(fā)生通信故障，則系統(tǒng)通信無法繼續(xù)進(jìn)行。而網(wǎng)形結(jié)構(gòu)存在過多的冗余通信鏈路，雖然為通信網(wǎng)絡(luò)提供了更高的可靠性和容錯(cuò)性，但同時(shí)也提高了網(wǎng)絡(luò)搭建成本和對(duì)通信設(shè)備的要求。環(huán)形結(jié)構(gòu)與星形結(jié)構(gòu)相比可靠性略勝一籌，當(dāng)某一鏈路或節(jié)點(diǎn)損壞時(shí)，經(jīng)由之傳遞的信息可從另一方向的節(jié)點(diǎn)和鏈路傳遞，只是有可能使信息傳遞路徑變長，增加信息傳遞的時(shí)滯;而與網(wǎng)形結(jié)構(gòu)相比，組網(wǎng)成本和難度大大降低。

圖3 4節(jié)點(diǎn)衛(wèi)星編隊(duì)常用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.3 Common topological structure of satellite formation with four nodes

表1 Cartwheel構(gòu)型編隊(duì)4節(jié)點(diǎn)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)性能比較Table 1 Topological structure performance comparison of Cartwheel configuration formation with four nodes

針對(duì)本文微推力衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)快速性和可靠性的需求，既要求衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)中信息的快速有效傳遞，又要求衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)有發(fā)生局部通信故障時(shí)持續(xù)工作的能力。綜合幾種適用于衛(wèi)星編隊(duì)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點(diǎn)，環(huán)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有較高的快速性和可靠性;同時(shí)，相比于網(wǎng)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，又具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、減輕對(duì)星載通信系統(tǒng)的要求。

2.2 基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)編隊(duì)構(gòu)型修正

當(dāng)伴飛軌道與主軌道相差很小且為近圓軌道時(shí)，通過對(duì)其動(dòng)力學(xué)模型線性化，得到C-W方程，當(dāng)初始條件滿足一定關(guān)系時(shí)，其運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。但C-W方程的穩(wěn)定解是必須嚴(yán)格滿足初始條件并對(duì)環(huán)境理想化，且衛(wèi)星間相對(duì)距離比較小的情況下才能得到，與實(shí)際情況略有差別。

衛(wèi)星間通過信息拓?fù)湎到y(tǒng)可以進(jìn)行信息交互，互換彼此的狀態(tài)信息。拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的相鄰星可以利用彼此的相對(duì)狀態(tài)信息(相對(duì)距離、方位角)對(duì)編隊(duì)構(gòu)型進(jìn)行修正。

根據(jù)自然編隊(duì)構(gòu)型以及環(huán)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如圖4所示，根據(jù)其相對(duì)幾何關(guān)系，每顆衛(wèi)星可根據(jù)其相鄰2顆衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)推算出本星的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

以衛(wèi)星j1、j2推導(dǎo)衛(wèi)星i的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為例。

由1.2節(jié)可知，自然編隊(duì)空間圓軌道平面與編隊(duì)整體繞地球軌道平面夾角為30°，在編隊(duì)軌道坐標(biāo)系中，由衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)可實(shí)時(shí)獲得衛(wèi)星的位置和速度信息Rs和V，以及環(huán)繞星在編隊(duì)軌道坐標(biāo)系中的角速度ω。

在編隊(duì)軌道坐標(biāo)系中，由衛(wèi)星j1、j2將自身狀態(tài)信息傳遞給衛(wèi)星i，衛(wèi)星i進(jìn)行實(shí)時(shí)結(jié)算，可得出衛(wèi)星i相對(duì)于衛(wèi)星j1、j2的目標(biāo)位置矢量Rj1i、

圖4 擬采用的環(huán)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.4 Annular topologital structure to be used

Rj2i，如圖5所示。

圖5 衛(wèi)星j1、j2推導(dǎo)衛(wèi)星i的相對(duì)幾何關(guān)系圖Fig.5 Relative geometric diagram for satellite i deduced by satellite j1and j2

式中:x、y為編隊(duì)軌道坐標(biāo)系x、y方向單位向量;r為自然編隊(duì)圓半徑。

將衛(wèi)星i在編隊(duì)軌道坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)角速度ωi叉乘 Rj1i、Rj2i，即可得到衛(wèi)星 i相對(duì)于衛(wèi)星 j1、j2的目標(biāo)速度矢量 Vj1i、Vj2i。

綜合考慮2顆目標(biāo)星j1、j2在衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)中的重要性及其各自的實(shí)際可靠性后，選取合適的權(quán)值kj1、kj2，加權(quán)到式(9)求得的相對(duì)位置速度矢量中，即可求得本星的目標(biāo)狀態(tài)矢量。

將其轉(zhuǎn)換到編隊(duì)整體繞地球飛行的軌道坐標(biāo)系中，如下:

式中:CM為編隊(duì)軌道坐標(biāo)系到編隊(duì)整體繞地球的軌道坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，即

當(dāng)考慮到信息傳遞以及處理的時(shí)滯影響，假設(shè)時(shí)滯δt已知，則時(shí)滯后的位置矢量可結(jié)算得出Rdt=R0+δt·V0，在短時(shí)滯內(nèi)速度變化量可忽略不計(jì)。

表2為加入1s時(shí)滯，隨機(jī)導(dǎo)航誤差(0.03mm)，經(jīng)過式(7)～式(11)結(jié)算后得到的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與事先設(shè)計(jì)好的理想自然編隊(duì)軌道比較。

綜合比較各種影響因素，模型的計(jì)算誤差主要來源于隨機(jī)導(dǎo)航誤差，但仍能經(jīng)過結(jié)算后將導(dǎo)航誤差對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響減小一個(gè)量級(jí)。時(shí)間延遲對(duì)計(jì)算精度有一定影響，但影響不大。

表2 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)編隊(duì)構(gòu)型的修正效果Table 2 Effect of topological structure on formation configuration modification

3 衛(wèi)星編隊(duì)協(xié)同控制

衛(wèi)星編隊(duì)飛行系統(tǒng)的編隊(duì)構(gòu)型和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)分析，以及相應(yīng)的編隊(duì)構(gòu)型和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的選取只能為其提供一個(gè)好的初始及期望狀態(tài)，而衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)能長期穩(wěn)定運(yùn)行并完成空間任務(wù)，則必須對(duì)衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行有效控制。對(duì)于衛(wèi)星編隊(duì)飛行系統(tǒng)的保持控制是精密控制，控制的頻度較高，所以必須進(jìn)行實(shí)時(shí)的閉環(huán)控制，因此需采用自主軌道保持的控制方式。另外，由于系統(tǒng)的控制精度要求，需要使用精細(xì)的微推力器，不能提供大推力用于修正較大的軌道誤差，因此對(duì)系統(tǒng)的快速性需求大大提高［11-13］。

3.1 基于LQR的衛(wèi)星編隊(duì)保持協(xié)同控制策略

衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)的協(xié)同控制主要分為控制編隊(duì)整體相對(duì)于預(yù)期軌道的保持，以及衛(wèi)星編隊(duì)中各子星的構(gòu)型保持。衛(wèi)星編隊(duì)協(xié)同控制的工作主要如下:

1)根據(jù)導(dǎo)航信息規(guī)劃編隊(duì)整體在慣性坐標(biāo)系中的位置矢量［xoiyoizoi］T。

2)根據(jù)導(dǎo)航信息為編隊(duì)衛(wèi)星規(guī)劃任務(wù)，使其滿足圍繞編隊(duì)中心的期望構(gòu)型。

2部分工作產(chǎn)生帶控制的2部分誤差，即為保證編隊(duì)整體不偏離預(yù)定軌道，編隊(duì)整體相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)軌道的誤差eformation和每顆從星為了保持編隊(duì)構(gòu)型的誤差estructure，如圖6所示。2部分誤差矢量相加即為待控量eused。

圖6 衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型協(xié)同控制任務(wù)規(guī)劃Fig.6 Satellite formation configuration collaborativecontrol mission planning

式中:Q和R分別為優(yōu)化過程中誤差和控制量的權(quán)值，它們分別決定于控制精度和燃料消耗在控制系統(tǒng)中的重要程度。對(duì)確定的Q和R，最優(yōu)控制有唯一解:

式中:P為Riccati方程的解。

本文中的編隊(duì)保持顯然是一個(gè)精度要求高的控制，因此，應(yīng)選擇較大的R。但同時(shí)也要考慮到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)和穩(wěn)定度，調(diào)整Q和R參數(shù)，在保證控制有效性的情況下盡量節(jié)省燃料。

3.2 基于粒子群優(yōu)化算法的能量優(yōu)化策略

粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization，PSO)算法也稱鳥群覓食算法［15］，是目前應(yīng)用最為廣泛的群體智能優(yōu)化算法。PSO算法是一種元啟發(fā)式算法，利用群體中的個(gè)體對(duì)信息的共享，從而使得整個(gè)群體的運(yùn)動(dòng)在問題求解空間中產(chǎn)生從無序到有序的演化過程，從隨機(jī)解出發(fā)，經(jīng)過迭代尋覓最優(yōu)解，其解的品質(zhì)由適應(yīng)度來評(píng)價(jià)。

運(yùn)用3.1節(jié)中LQR控制，只能保證單顆衛(wèi)星對(duì)修正與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的偏差，使得能量最

衛(wèi)星編隊(duì)控制方法采用線性二次最優(yōu)控制(LQR)［14］。在編隊(duì)衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)漂移的情況下，設(shè)計(jì)推進(jìn)器沖量需求，使在其作用下，把系統(tǒng)由偏離理想軌跡的狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到滿足編隊(duì)構(gòu)型的目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，同時(shí)使性能指標(biāo)J取為最小值。

將上面得到待控誤差e=eused=eformation+estructure代入誤差狀態(tài)方程:

取LQR控制的優(yōu)化指標(biāo)為優(yōu)。但在衛(wèi)星編隊(duì)飛行協(xié)同控制系統(tǒng)中，并沒有綜合考慮到整個(gè)系統(tǒng)的能量消耗。

考慮衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型保持系統(tǒng)整體的任務(wù)分配，以保證衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型為第一目標(biāo)，以減少整體能量消耗為優(yōu)化指標(biāo)。如圖7所示，若簡(jiǎn)單采用LQR控制，則為修正每顆衛(wèi)星實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的偏差?，F(xiàn)考慮合理地將修正任務(wù)重新分配給每顆衛(wèi)星，以減少能量消耗。將某顆衛(wèi)星的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)放大到誤差允許范圍內(nèi)在軌道圓上的一個(gè)弧段，為了嚴(yán)格保持編隊(duì)構(gòu)型，編隊(duì)中其他星的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)同時(shí)隨之改變。運(yùn)用PSO算法，以衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)整體能量消耗為搜索函數(shù)，尋找在誤差允許范圍內(nèi)這一弧段上的最優(yōu)點(diǎn)，即為能量最優(yōu)點(diǎn)。

圖7 基于PSO算法將控制任務(wù)重分配Fig.7 Control task redistribution based on PSO algorithm

假設(shè)繞飛衛(wèi)星位于同一相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡圓上，3顆衛(wèi)星相對(duì)均勻分布，則3顆衛(wèi)星在虛擬中心軌道坐標(biāo)系中的相位可表示為

φkd=ωTt+ ψ +2(k － 1)π/3 k=1，2，3 (15)

觀察式(15)可發(fā)現(xiàn)，只有一個(gè)參數(shù)ψ可供優(yōu)化，將ψ設(shè)為0.01°幅值的扇形空間。將優(yōu)化函數(shù) Jψ設(shè)為

運(yùn)用PSO算法，求得可使優(yōu)化函數(shù)Jψ取得最小值時(shí)的ψ。與之對(duì)應(yīng)，則可求得3顆衛(wèi)星在虛擬中心軌道坐標(biāo)系中的期望位置向量［xkdykdzkd］T，從而求得待控誤差 e，代入3.1節(jié)的控制方法中用于求解。

4 仿真校驗(yàn)

本文中仿真采用邊長為20cm、質(zhì)量為1kg的立方星，考慮大氣阻力、太陽光壓、日月引力等攝動(dòng)因素。編隊(duì)整體沿太陽同步軌道運(yùn)動(dòng)，編隊(duì)內(nèi)部3顆衛(wèi)星沿半徑為1.5 m的圓繞中心領(lǐng)航星運(yùn)動(dòng)，編隊(duì)內(nèi)部軌道面與太陽同步軌道面成30°夾角，微推力器單個(gè)比沖為10－5N·s?？刂七^程中，領(lǐng)航星不受控制，對(duì)于3顆環(huán)繞星分別運(yùn)用第2節(jié)和第3節(jié)中提到方法，使用PSO算法搜索對(duì)控制任務(wù)進(jìn)行重分配后控制進(jìn)行仿真，仿真效果如圖8和圖9所示。

3顆環(huán)繞衛(wèi)星執(zhí)行編隊(duì)建立和編隊(duì)保持的整體誤差變化如圖8和圖9所示，圖中藍(lán)、紅、橙線分別表示衛(wèi)星三軸的誤差信息。利用PSO算法對(duì)控制任務(wù)進(jìn)行重新分配，編隊(duì)能夠在約500～600 s的時(shí)間完成高精度重構(gòu);在軌道保持階段，位置誤差可保持在0.002 m(3σ)，速度誤差可保持在4×10－5m/s(3σ)以下，能夠較精確地完成控制任務(wù)。

圖9 Cartwheel構(gòu)型編隊(duì)三軸速度誤差Fig.9 Triaxial velocity error of Cartwheel Configuration formation

4.1 能量優(yōu)化仿真算例

對(duì)3顆環(huán)繞星分別進(jìn)行地面事先規(guī)劃所有目標(biāo)點(diǎn)和實(shí)時(shí)PSO搜索目標(biāo)點(diǎn)的控制策略，從能量消耗和控制精度2方面進(jìn)行對(duì)比，如表3所示。

如表3所示，應(yīng)用PSO算法可在盡量不影響控制精度的前提下，大幅度減少微推力器消耗，以提高衛(wèi)星在軌壽命。

表3 地面事先規(guī)劃所有目標(biāo)點(diǎn)和實(shí)時(shí)PSO搜索目標(biāo)點(diǎn)控制效果對(duì)比Table 3 Control effect comparison between ground planning of all targets in advance and real-time searching of targets by PSO

4.2 導(dǎo)航誤差對(duì)編隊(duì)保持系統(tǒng)影響仿真算例

當(dāng)衛(wèi)星在軌飛行時(shí)，需要通過導(dǎo)航系統(tǒng)實(shí)時(shí)獲得自身的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)信息，同時(shí)通過拓?fù)湫畔⒕W(wǎng)絡(luò)獲得網(wǎng)絡(luò)中相鄰衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)信息，高精度的導(dǎo)航信息是高精度控制的前提和保證。但是衛(wèi)星實(shí)際運(yùn)行過程中的導(dǎo)航誤差是不可避免的，2.2節(jié)中，基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)編隊(duì)構(gòu)型的修正算法已經(jīng)可以有效減小導(dǎo)航誤差的影響，然而并不能完全消除。利用基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的控制算法，并在PSO算法將控制任務(wù)重新分配后，能有效減小導(dǎo)航誤差對(duì)控制系統(tǒng)精度的影響。如在4.1節(jié)的仿真中，在每一次獲取導(dǎo)航信息時(shí)加入隨機(jī)誤差，分析導(dǎo)航誤差對(duì)編隊(duì)保持系統(tǒng)的影響。

圖10 不同導(dǎo)航誤差對(duì)控制精度的影響Fig.10 Influence of different navigation errors on control precision

圖11 不同導(dǎo)航誤差對(duì)推力器消耗的影響Fig.11 Influence of different navigation errors on thrust consumption

如圖10和圖11所示，實(shí)時(shí)在線規(guī)劃算法可有效減小導(dǎo)航信息對(duì)編隊(duì)保持的影響，能保持較高的控制精度，但當(dāng)導(dǎo)航誤差過大時(shí)，由于所使用的微推力器單個(gè)沖量太小，能量消耗過多。因此，這種應(yīng)用微推力器的衛(wèi)星編隊(duì)保持系統(tǒng)應(yīng)同時(shí)具備較高精度的導(dǎo)航系統(tǒng)。

4.3 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)容錯(cuò)仿真算例

衛(wèi)星在軌運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，難免會(huì)受到干擾，通信鏈路暫時(shí)中斷，甚至永久無法使用。若采用星形結(jié)構(gòu)，不難發(fā)現(xiàn)，發(fā)生通信鏈路損壞的衛(wèi)星將完全處于失聯(lián)狀態(tài)，從而失去控制。當(dāng)采用環(huán)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)時(shí)，當(dāng)某一條通信鏈路損壞時(shí)，原信息可經(jīng)由另一條鏈路傳遞，只是由于其信息傳遞路徑變長，會(huì)造成更長的時(shí)滯;只有當(dāng)與某一顆衛(wèi)星連接的2條通信鏈路同時(shí)損壞時(shí)，該顆衛(wèi)星才會(huì)失聯(lián)，與星形結(jié)構(gòu)相比，大大提高了系統(tǒng)的可靠性。

環(huán)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通信鏈路的損壞分為以下2種情況，即與中心領(lǐng)航星無關(guān)的鏈路損壞和與中心領(lǐng)航星有關(guān)的鏈路損壞，如圖12所示?，F(xiàn)分別對(duì)這2種情況進(jìn)行仿真，如表4所示。

由以上仿真可知，當(dāng)考慮到拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中通信鏈路的損壞時(shí)，雖然系統(tǒng)仍能較正常的運(yùn)轉(zhuǎn)，而由于時(shí)滯變長使得誤差積累以及由于信息滯后造成的計(jì)算誤差，使得整個(gè)系統(tǒng)的控制精度會(huì)有不同程度的下降，推力器消耗也會(huì)大大提高。由于中心領(lǐng)航星在系統(tǒng)中占據(jù)較重要的地位，故3.2節(jié)提到的基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的修正算法中所占用的權(quán)值也較大，所以當(dāng)與之有關(guān)的通信鏈路發(fā)生故障時(shí)，對(duì)系統(tǒng)也會(huì)產(chǎn)生更大的影響。

圖12 2種通信鏈路損壞示意圖Fig.12 Schematic diagram of two types of communication link damage

表4 在線搜索算法對(duì)于解決通信鏈路損壞問題的效果Table 4 Effect of online search algorithm on problem solution of communication link damage

5 結(jié)論

本文研究了微推力下的衛(wèi)星編隊(duì)保持問題及其應(yīng)用，并進(jìn)一步做出了一定優(yōu)化。

1)設(shè)計(jì)了適用于光學(xué)干涉測(cè)量和對(duì)地觀測(cè)的Cartwheel編隊(duì)構(gòu)型，并針對(duì)此編隊(duì)構(gòu)型分析了其各種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的特性，選取環(huán)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并設(shè)計(jì)了基于環(huán)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型的修正算法。

2)在此基礎(chǔ)上，利用LQR控制，并加入PSO算法對(duì)控制任務(wù)進(jìn)行重分配，實(shí)現(xiàn)了微推力下的高精度衛(wèi)星編隊(duì)保持任務(wù)。

仿真表明，所設(shè)計(jì)的控制器能較好地完成對(duì)預(yù)定編隊(duì)構(gòu)型的保持，保持較高的精度的同時(shí)盡可能減少能量的消耗;在加入隨機(jī)導(dǎo)航誤差或模仿通信鏈路損壞時(shí)，仍能較好地完成控制任務(wù);兼顧了快速性和可靠性。然而當(dāng)控制過程受到影響時(shí)，控制精度不可避免地會(huì)有些降低，能量消耗有所提高，如何降低這些因素對(duì)控制系統(tǒng)的影響，將是下一步的研究方向。

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