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        一種利用微積分法推廣反三角恒等式的方法

        2018-07-17 02:23:52馬志良
        關(guān)鍵詞:恒等式微積分等式

        ◎馬志良

        (蘭州資源環(huán)境職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,甘肅 蘭州 730021)

        一、反三角恒等式

        通常所說的反三角恒等式是指以下四個等式:

        arccos(cosx)=x,x∈[0,π];

        arccot(cotx)=x,x∈(0,π).

        二、反三角恒等式的推廣

        (一)arcsin(sinx)在一般區(qū)間上的恒等式

        所以[arcsin(sinx)]′=(-1)k,

        把x=kπ代入上式,可得0=(-1)kkπ+C,

        所以C=-(-1)kkπ,

        得恒等式arcsin(sinx)=(-1)k(x-kπ).

        (二)arccos(cosx)在一般區(qū)間[kπ,(k+1)π]上的恒等式

        因為x∈[kπ,(k+1)π],

        所以[arccos(cosx)]′=(-1)k,

        (三)arctan(tanx)在一般區(qū)間上的恒等式

        把x=kπ代入上式,可得0=kπ+C,所以C=-kπ,

        得恒等式arctan(tanx)=x-kπ.

        (四)arccot(cotx)在一般區(qū)間(kπ,(k+1)π)上的恒等式

        所以C=-kπ,

        得恒等式arccot(cotx)=x-kπ.

        (五)arccos(sinx)在一般區(qū)間上的恒等式

        所以[arccos(sinx)]′=(-1)k+1,

        (六)arcsin(cosx)在一般區(qū)間[kπ,(k+1)π]上的恒等式

        因為x∈[kπ,(k+1)π],

        所以[arcsin(cosx)]′=(-1)k+1,

        (七)arccot(tanx)在一般區(qū)間上的恒等式

        (八)arctan(cotx)在一般區(qū)間(kπ,(k+1)π)上的恒等式

        arcsin(sinx)=(-1)k(x-kπ).

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