盧特 吳興元

【教學(xué)內(nèi)容】人教版教材五年級(jí)上冊(cè)第91～92頁(yè)“三角形的面積”。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，會(huì)正確計(jì)算三角形的面積。

2.通過(guò)猜測(cè)、操作、觀察、比較等數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)一步理解轉(zhuǎn)化思想方法在探索三角形面積計(jì)算中的作用，培養(yǎng)空間想象能力。

3.借助教學(xué)材料和生成資源，初步培養(yǎng)主動(dòng)質(zhì)疑和提出問(wèn)題的能力。

【教學(xué)過(guò)程】

一、喚醒經(jīng)驗(yàn)，提出問(wèn)題

1.回憶舊知（略）。

2.提出問(wèn)題。

教師板書：三角形的面積。

師：今天我們要研究三角形的面積，你想到了什么問(wèn)題？

生1：三角形是不是也可以像平行四邊形一樣，用轉(zhuǎn)化的方法來(lái)找到面積計(jì)算公式？

師：提出了一個(gè)好問(wèn)題。你們覺(jué)得能轉(zhuǎn)化嗎？

大部分學(xué)生認(rèn)為能轉(zhuǎn)化。

師：還有什么問(wèn)題嗎？

生2：三角形可以轉(zhuǎn)化成什么圖形呢？

生3：會(huì)不會(huì)也像平行四邊形那樣用割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化呢？還有別的轉(zhuǎn)化方法嗎？

生4：轉(zhuǎn)化后三角形的面積怎么求呢？

教師結(jié)合學(xué)生回答，提煉并板書了兩個(gè)問(wèn)題：轉(zhuǎn)化成什么圖形？面積怎么計(jì)算？

師：同學(xué)們提出的問(wèn)題都很有價(jià)值，值得研究。

【評(píng)析】在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，盧老師讓學(xué)生回顧平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，喚醒學(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。一方面教學(xué)銜接非常流暢，另一方面也促使學(xué)生自然而然地思考：探索三角形的面積計(jì)算公式，是否能像平行四邊形那樣進(jìn)行轉(zhuǎn)化研究呢？從已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，為學(xué)生提供有聯(lián)系的材料，有利于學(xué)生提出問(wèn)題，并且提出指向于本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)的問(wèn)題。

二、對(duì)比材料，探索發(fā)現(xiàn)

1.自主探索。

師：方格紙上有一個(gè)三角形，請(qǐng)你完成學(xué)習(xí)紙上的問(wèn)題。

A.畫一畫：可以把三角形轉(zhuǎn)化成什么圖形？

B.算一算：這個(gè)三角形的面積是多少？

學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視。

2.質(zhì)疑交流。

（1）呈現(xiàn)學(xué)生A作品和方法一：

算式：6×4÷2=12平方厘米

師：請(qǐng)大家仔細(xì)看看這個(gè)同學(xué)的作品和算式，有問(wèn)題要問(wèn)他嗎？

生1：算式中為什么要除以2？

生A：6×4算出平行四邊形的面積，因?yàn)檫@個(gè)平行四邊形里有兩個(gè)完全相同的三角形，所以還要除以2。

生2：這兩個(gè)三角形為什么是相同的？

生A：這兩個(gè)三角形的高都一樣，實(shí)際上就是同樣的一個(gè)三角形轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)就可以拼成平行四邊形了。

師生合作，在黑板上用卡片再現(xiàn)了方法一的過(guò)程。

小結(jié)：我們把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，平行四邊形面積=底×高，那么這個(gè)三角形的面積就是一半，要除以2。這個(gè)同學(xué)的轉(zhuǎn)化方法很特別，掌聲送給他。

（2）呈現(xiàn)學(xué)生B作品和方法二：

算式：6×4÷2=12平方厘米

師：看了這個(gè)同學(xué)的方法，你們有什么問(wèn)題要問(wèn)他嗎？

生1：為什么這種方法和第一種方法轉(zhuǎn)化成的圖形不一樣，但算式是一樣的？

生B：雖然拼法不一樣，但是拼成的長(zhǎng)方形面積也是原來(lái)三角形面積的2倍，所以也是6×4算出長(zhǎng)方形的面積，再除以2算出三角形的面積。

生2：你怎么證明長(zhǎng)方形的面積是原三角形面積的2倍？

生B：因?yàn)檠a(bǔ)上去的兩個(gè)小三角形可以拼成一個(gè)大三角形，這個(gè)拼成的三角形和原來(lái)的三角形完全相同，所以長(zhǎng)方形的面積是原三角形面積的2倍。

師生合作，在黑板上用卡片再現(xiàn)方法二的過(guò)程。

（3）一起呈現(xiàn)學(xué)生C作品方法三和方法四：

算式：6×2=12平方厘米 算式：4×3=12平方厘米

師：對(duì)于這兩種方法，你們有什么問(wèn)題要問(wèn)這兩個(gè)同學(xué)嗎？

生1：前面兩種方法的算式里都有除以2，為什么你們的算式里沒(méi)有除以2呢？

生C：我把上面的小三角形剪下來(lái)補(bǔ)到下面，轉(zhuǎn)化成了一個(gè)長(zhǎng)方形 ，長(zhǎng)6厘米，寬2厘米，面積就是6×2=12平方厘米，轉(zhuǎn)化前后面積不變，所以不用除以2。

生C：我是把下面的小三角形剪下來(lái)補(bǔ)到上面，轉(zhuǎn)化成一個(gè)豎著的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的面積4×3=12平方厘米，轉(zhuǎn)化前后面積不變，所以也不用除以2。

師：對(duì)于這兩個(gè)同學(xué)的回答，你們明白了嗎？

學(xué)生表示理解，對(duì)兩個(gè)同學(xué)的解釋表示滿意。

生2：在第三種方法中，兩個(gè)小三角形的面積是一樣的嗎？

生C：我是沿著三角形邊的中點(diǎn)分割的，所以面積是一樣的。右邊分割的時(shí)候是同樣的道理，所以就把三角形轉(zhuǎn)化成了面積相等的長(zhǎng)方形。

生3：算式“6×2”的2哪里來(lái)的？

生C：是4的一半得來(lái)的，本來(lái)三角形的高是4，因?yàn)榉指钕聛?lái)后只有一半了，就是4÷2得到的。

師：聽了你的解釋，我們知道了，如果寫完整這個(gè)算式的話，就是6×（4÷2）。大家明白了嗎？

學(xué)生點(diǎn)頭表示明白。同樣道理，方法四其實(shí)就是6÷2×4。師生合作把方法三和方法四用卡片展示在黑板上。

3.梳理歸納。

師：看了黑板上的這四種方法，你有什么想說(shuō)的？

生：三角形是可以轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的圖形的，而且既可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形，也可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。

生：前面兩種轉(zhuǎn)化的方法，都是轉(zhuǎn)化成平行四邊形，是拼起來(lái)的，面積是原來(lái)三角形的2倍。后面兩種轉(zhuǎn)化的方法不一樣，是在一個(gè)三角形里割補(bǔ)的，面積不變。

師：兩個(gè)同學(xué)說(shuō)得真好！我們發(fā)現(xiàn)，研究三角形的面積，可以有不同的轉(zhuǎn)化，但都能得到我們要的結(jié)果。（板書：拼組法、割補(bǔ)法）你們還有新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：不管是拼組轉(zhuǎn)化，還是割補(bǔ)轉(zhuǎn)化，在計(jì)算三角形面積時(shí)都用到了6×4÷2=12平方厘米，所以三角形的面積可以用底×高÷2計(jì)算。

師生共同歸納，板書得到：三角形的面積=底×高÷2，S=ah÷2

【評(píng)析】在這個(gè)環(huán)節(jié)，盧老師選擇了一種創(chuàng)新的學(xué)習(xí)材料——一個(gè)有方格背景的三角形，數(shù)據(jù)也是經(jīng)過(guò)精心選擇的。這種有結(jié)構(gòu)的材料非常符合學(xué)生的探究水平。一方面學(xué)生可以借助方格圖聯(lián)想到如何轉(zhuǎn)化，讓自主探究有支架可撐。另一方面又有利于學(xué)生形成不同的轉(zhuǎn)化方法：拼組（用兩個(gè)相同的三角形拼成平行四邊形），割補(bǔ)（把未知的三角形轉(zhuǎn)化成等積的長(zhǎng)方形），而且這兩種方法又有不同的具體形式。教學(xué)中，學(xué)生出現(xiàn)了4種不一樣的畫圖轉(zhuǎn)化形式，給課堂提供了豐富的生成資源。第三方面也是最重要的是，借助學(xué)生的自主探索作品，盧老師有順序地、有側(cè)重地把這些結(jié)構(gòu)性資源反饋給學(xué)生，加強(qiáng)學(xué)生互相質(zhì)疑提問(wèn)能力的培養(yǎng)。學(xué)生之間的問(wèn)答，盧老師適當(dāng)穿插組織，及時(shí)有效指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生持續(xù)深入思考，達(dá)到了以問(wèn)促思和突破教學(xué)難點(diǎn)的目的。

三、練習(xí)鞏固，應(yīng)用提升

1.基本練習(xí)。

計(jì)算下面三角形的面積。

（1）請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立觀察，計(jì)算。

（2）交流。

生1：第一個(gè)三角形的面積是9×6÷2=27平方厘米。我把它轉(zhuǎn)化成底是9厘米，高是6厘米的平行四邊形來(lái)想的，三角形面積是它的一半。

生2：第二個(gè)三角形的面積是24平方厘米。我把這個(gè)三角形看作一個(gè)長(zhǎng)方形。8×6÷2的結(jié)果就是一個(gè)三角形的面積。

師：給兩個(gè)同學(xué)點(diǎn)贊，看到三角形，能想到我們剛才的轉(zhuǎn)化過(guò)程，想象能力不錯(cuò)。

2.變式練習(xí)。

在方格紙中畫一個(gè)面積是6平方厘米的三角形。

（1）學(xué)生獨(dú)立畫。

（2）交流。

師：請(qǐng)想一想，大家畫出來(lái)的三角形，形狀一樣嗎？

生：可能不一樣。因?yàn)橹灰娣e是6平方厘米就行，底和高不一定相同。

呈現(xiàn)部分學(xué)生作品，驗(yàn)證果然如此。只要底和高的乘積一樣，三角形的面積就一樣。

師：你們還有什么新的想法？

生：我想，就算是底和高一樣，也能畫出不一樣的三角形。

呈現(xiàn)部分學(xué)生作品，果然如此。等底等高的三角形，面積一定相等。

生：我發(fā)現(xiàn)，面積是6平方厘米的三角形，可以畫出無(wú)數(shù)個(gè)。

（3）教師結(jié)合學(xué)生發(fā)言，用幾何畫板表示上述兩種變化。

【評(píng)析】在這個(gè)環(huán)節(jié)，盧老師的練習(xí)設(shè)計(jì)分為兩個(gè)層次。第一層次是基本練習(xí)，鞏固三角形面積計(jì)算公式，同時(shí)也讓學(xué)生回顧對(duì)公式的理解，搭建空間想象的機(jī)會(huì)。第二層是變式練習(xí)，略有提升，只知道三角形的面積，來(lái)畫三角形，思考三角形的形狀。這道練習(xí)題又有兩層用意。一是通過(guò)畫圖和交流，使學(xué)生知道面積一樣的三角形，形狀可以不同；二是借助學(xué)生的新問(wèn)題，通過(guò)正反兩方面的辨析，使學(xué)生明白等底等高的三角形，面積一定相等，但形狀也可以不同。這種有結(jié)構(gòu)、有層次，能啟發(fā)學(xué)生深度思考，培養(yǎng)空間觀念的練習(xí)材料，效果很好。

四、課堂總結(jié)，引發(fā)新問(wèn)題

1.回顧總結(jié)（略）。

2.提出新問(wèn)題。

師：三角形面積計(jì)算公式我們已經(jīng)掌握，你又想到什么新的問(wèn)題嗎？

生1：梯形的面積怎么計(jì)算？是不是也可以把梯形轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的圖形？

生2：圓的面積怎么計(jì)算？圓的能轉(zhuǎn)化成方的嗎？

生3：一些不規(guī)則圖形的面積怎么計(jì)算？

生4：像樹葉、手掌這些生活中的物品面積怎么計(jì)算呢？

師：同學(xué)們很厲害，聯(lián)想到很多新問(wèn)題，好問(wèn)題。我們會(huì)在后面的學(xué)習(xí)中來(lái)解決這些問(wèn)題，當(dāng)然如果你等不及的話，可以先去研究研究。

【評(píng)析】在這個(gè)環(huán)節(jié)，盧老師首先和學(xué)生一起回顧三角形面積的學(xué)習(xí)過(guò)程，除了知識(shí)和技能的總結(jié)，重要的是再提解決新問(wèn)題的方法——將未知轉(zhuǎn)化為已知。同時(shí)也緊扣培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的目標(biāo)，啟發(fā)學(xué)生提出新的問(wèn)題，讓問(wèn)題延續(xù)至課后。既為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到鋪墊的作用，又培養(yǎng)了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，增強(qiáng)了學(xué)生提出問(wèn)題的能力。

【總評(píng)】

落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力，不能“空穴來(lái)風(fēng)”，即沒(méi)有好的材料學(xué)生提不出問(wèn)題，也不能“守株待兔”，即教師要為學(xué)生創(chuàng)造合適的提問(wèn)機(jī)會(huì)和條件，同時(shí)教師要有所作為——在關(guān)鍵處進(jìn)行組織和引導(dǎo)。以盧老師執(zhí)教的“三角形的面積”為例，如果我們按部就班地進(jìn)行教學(xué)，也能夠落實(shí)知識(shí)技能目標(biāo)，滲透轉(zhuǎn)化思想方法，但在培養(yǎng)學(xué)生提問(wèn)能力上就會(huì)毫無(wú)作為。我們認(rèn)為：在這節(jié)課上，教師有四個(gè)點(diǎn)可以做文章，運(yùn)用結(jié)構(gòu)性材料，助推學(xué)生提出問(wèn)題。

（一）借助學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，自然提出問(wèn)題

盧老師很自然地和學(xué)生聊起最近的學(xué)習(xí)，聊起平行四邊形的面積計(jì)算公式以及公式的來(lái)歷，借助課件學(xué)生也很自然地想到三角形面積計(jì)算是否也是這樣。學(xué)生提出的四個(gè)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)交流后歸納為兩個(gè)主要問(wèn)題：轉(zhuǎn)化成什么圖形？面積怎么計(jì)算？

（二）運(yùn)用學(xué)生生成資源，互相質(zhì)疑問(wèn)答

盧老師設(shè)計(jì)的核心問(wèn)題探究，有意識(shí)地用方格圖作背景，這是有所為的——學(xué)生比較容易想到兩種不同思路的轉(zhuǎn)化方法：拼組和割補(bǔ)。學(xué)生作品又呈現(xiàn)出豐富的四種具體形式，這為互相提出問(wèn)題、互相質(zhì)疑問(wèn)題創(chuàng)造了條件。盧老師在組織反饋中也是有所為的，他首先反饋方法一，學(xué)生提出“為什么要除以2？”再反饋方法二，學(xué)生提出“為什么算式一樣，轉(zhuǎn)化的圖形不一樣？”然后一起反饋方法三和方法四，學(xué)生提出“為什么這兩個(gè)算式?jīng)]有除以2？”……這里的每一個(gè)問(wèn)題都是學(xué)生的真實(shí)思維暴露，都是好問(wèn)題。這些好問(wèn)題都來(lái)自這種有結(jié)構(gòu)的材料，來(lái)自學(xué)生的生成資源。這是本課教學(xué)的一大亮點(diǎn)。

（三）設(shè)計(jì)有層次的練習(xí)，合理提出問(wèn)題

本課的練習(xí)設(shè)計(jì)層次清楚，特別是練習(xí)2的設(shè)計(jì)，獨(dú)具匠心。引發(fā)了學(xué)生一系列的新思考：面積一樣的三角形，形狀會(huì)一樣嗎？為什么不一樣呢？底和高一樣長(zhǎng)，畫出的三角形形狀一樣嗎？這樣的三角形可以畫多少個(gè)呢？教學(xué)中，盧老師主要抓住了兩個(gè)核心問(wèn)題，有順序地組織交流和反饋。如果教師更大膽一些，讓學(xué)生自己來(lái)逐一交流，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果會(huì)更好。

（四）回顧有結(jié)構(gòu)的板書，順勢(shì)產(chǎn)生新問(wèn)題

課的最后，盧老師很有經(jīng)驗(yàn)地讓學(xué)生整體觀察板書，一方面回顧總結(jié)今天的學(xué)習(xí)收獲：有指向于知識(shí)技能的，也有指向于學(xué)習(xí)過(guò)程和方法的。更重要的是，教師借助有結(jié)構(gòu)的板書，又為學(xué)生搭建了一次提出問(wèn)題的機(jī)會(huì)：學(xué)習(xí)了三角形面積計(jì)算之后，你又想到了什么新的問(wèn)題？順勢(shì)而為，學(xué)生想到了其他圖形，比如梯形、圓形，在探索它們的面積計(jì)算公式時(shí)，會(huì)不會(huì)也要用到轉(zhuǎn)化方法呢？學(xué)生想到了遇到不規(guī)則的圖形，計(jì)算面積時(shí)是否可以轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的基本圖形呢？這也都是好問(wèn)題。

總的來(lái)說(shuō)，這節(jié)課較好地借助了一些有結(jié)構(gòu)性的材料，把握住了給予學(xué)生提出問(wèn)題的時(shí)機(jī)，組織學(xué)生提出問(wèn)題和交流反饋也很到位，彰顯了教師關(guān)于培養(yǎng)學(xué)生四能特別是提出問(wèn)題能力的理念和思考。

（浙江省海寧市實(shí)驗(yàn)小學(xué) 314400 浙江省海寧市教師進(jìn)修學(xué)校 314400）