張麗萍 王逸卿

學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎，也是學生數(shù)學素養(yǎng)的反映。愛因斯坦曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要。”反觀我們以往的課堂，無論是教師，還是學生，幾乎都把問題解決作為學習數(shù)學的最主要目標，而對發(fā)現(xiàn)和提出問題的關注與落實則相對甚少。

筆者現(xiàn)以“數(shù)與形（例1）”為例，談談對培養(yǎng)學生“發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力”這一課標要求的落實。

一、任務驅動，在操作中提出問題

【教學片段】

師：這里有一些小正方形（出示雜亂的16個不同顏色的小正方形），你能不能重新分一分，擺一擺，讓我們更加容易地看出小正方形的總個數(shù)？

出示活動要求：

①同桌合作：分一分、擺一擺。

②想一想：根據(jù)你們的擺法可以寫出哪個算式？

（生自主探究、擺拼）

反饋：

師：看到圖1，你想到了哪個算式？你是怎么想的？

生：根據(jù)顏色的個數(shù)，想到了1+3+5+7。

師：再來看看圖2和圖3，它們有什么相同的地方？

生：都是正方形；都可以用4×4來表示！

師：同學們很會觀察，那么你們更喜歡哪一個圖形，為什么？

生：圖3，在這個圖形中既可以用4×4表示，也可以表示1+3+5+7……

師：這個邊長為4的正方形有這樣的特征，由此，你想到了什么新問題呢？

生：邊長為5的正方形也有這樣的特點嗎？

生：其他邊長的正方形里是不是也能寫出這樣的算式來？

師：請你先想一個正方形，然后在紙上寫一寫像這樣的算式。

（學生嘗試寫算式，教師逐個反饋板書，貼正方形，如圖4）

師：同學們，看著這些算式和圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？同桌交流交流。

生：我發(fā)現(xiàn)每次增加的那個奇數(shù)就是最外層“┓”的個數(shù)。

生：我發(fā)現(xiàn)連續(xù)奇數(shù)相加，有幾個加數(shù)，就是幾的平方……

師：那么，3+5+7是不是等于32呢？

生：不對，應該是從1開始，連續(xù)奇數(shù)相加，有幾個加數(shù)就等于幾的平方！

師：這些平方數(shù)也叫正方形數(shù)！

【思考】培養(yǎng)學生提出問題的能力，首先要給予學生提出問題的機會。在此環(huán)節(jié)中，學生發(fā)現(xiàn)了邊長為4的正方形可以寫成“1+3+5+7=42”這樣的算式以后，教師引導學生思考“你想到了什么新問題呢？”讓學生順著這個思路提出問題，很多學生想到了“不同邊長的正方形是否也可以寫出這樣的算式？”學生有了提問的機會，并帶著自己提出的問題進行研究并發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。從而打通了“式”“數(shù)”和“形”之間的聯(lián)系。

二、巧設習題，在困惑中提出問題

【教學片段】

師：請看大屏幕。

①1+3+5+7+9+11+13+15=（ ）2

說說你是怎么想的，你想到了怎樣的一個大正方形？

生：這里有8個連續(xù)的奇數(shù)，就是82，我想到了一個邊長是8的正方形。

師：這個問題難不倒大家，再看大屏幕。

②1+3+5+7+……+（ ）=202

師：括號里應該填多少？請你在練習紙上先做一做。

反饋：

師：你看懂他的想法了嗎？

生：他是一個一個辛苦地數(shù)出了20個數(shù)。

師：看著這個同學的作業(yè)，你又有什么問題想問的？

生：如果2002，怎么辦？

生：這樣寫太麻煩了，有沒有更好的辦法？

師：誰能來回答他們的問題？這個同學有新想法，你們看懂了嗎？

生：他是想到了圖形，20表示大正方形邊長上的小正方形的個數(shù)，最后這個奇數(shù)表示最外層拐角個數(shù)，20×2是正方形兩條邊上的個數(shù)，有一個小正方形多算了，所以要減1。（課件動態(tài)出示圖5）

師：看來借助圖形就能把道理講明白，那么大正方形最外層的“┓”個數(shù)和它的邊長有什么關系呢？

學生小結得出：最外層“┓”個數(shù)=正方形邊長×2-1

師：繼續(xù)看大屏幕，如果加到“2017”呢？

③1+3+5+7+……+2017=（ ）2

師：同學們都找到答案了嗎，誰來說一說？

生：（2017+1）÷2，我還是借助圖形，2017表示正方形最外層的拐角個數(shù)，（ ）里的平方數(shù)就是正方形邊長上小正方形的個數(shù)，2017加了1之后才是兩條完整的邊長，除以2就算出了一條邊長上小正方形的個數(shù)！

【思考】逐步提升習題的難度，設計有層次的習題。學生在挑戰(zhàn)性習題中遭遇困難，教師引導學生提出問題：“看著這位同學的作業(yè)，你又有什么問題想問的？”學生希望有更簡便的方法來解決問題，于是，借助圖形發(fā)現(xiàn)正方形中“┓”的個數(shù)與邊長的關系就變得有價值了。在這樣的學習過程中，問題的產生和解決均基于迫切的現(xiàn)實需要，學生感受到了以形助數(shù)的價值。

三、回顧“問題”，在交流中提出新的問題

【教學片段】

師：同學們，剛才我們借助圖形，研究了連續(xù)奇數(shù)相加的問題，由此，你又想到了什么新的問題呢？同桌交流交流！

生：連續(xù)偶數(shù)相加會有什么規(guī)律呢？

生：連續(xù)偶數(shù)相加會不會也是正方形數(shù)呢？

生：連續(xù)自然數(shù)相加會有什么規(guī)律呢？

生：像2、6、10、14……這樣加起來會有規(guī)律嗎？

師：同學們很會思考，提出了這些問題，剛才我們研究了連續(xù)奇數(shù)相加的問題，現(xiàn)在你最想研究哪個問題？

師：同學們希望先研究連續(xù)偶數(shù)相加的和的規(guī)律。那我們也用數(shù)形結合的方法去研究：2+4+6+8+10+……+2018=（ ）。我們也可以從簡單的開始研究。

（反饋，展示圖6）

師：這個同學的研究過程，你看明白了嗎？有什么想問的？

生：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：我發(fā)現(xiàn)從2開

始，有幾個偶數(shù)相加，長方形的寬就是幾。

生：其他同學呢？

生：我還發(fā)現(xiàn)長方形的長比寬多1。

生：我發(fā)現(xiàn)最外層的“┓”個數(shù)÷2就是長方形的寬。

師：驗證一下，都是這樣嗎？

生：是的。

師：現(xiàn)在有辦法解決“2+4+6+8+10+……+2018=（ ）”這個問題了嗎？

生5：2018÷2=1009，所以，2+4+6+8+10+……+2018=1009×1010

師：真厲害！像這樣的數(shù)我們也可以叫作——長方形數(shù)！

【思考】研究了連續(xù)奇數(shù)相加的問題，鼓勵學生通過交流、對話，在原有問題的基礎上提出一個相似的數(shù)學問題，把學習活動延伸下去。教師根據(jù)學生提出的問題，引導學生將已有的研究方法遷移過來，在生生問答之間研究了連續(xù)偶數(shù)相加的問題，深化了對數(shù)形結合思想的認識。在這個過程中，不但發(fā)展了學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，也讓學生學會了一種研究問題的方法。

四、不斷追問，在聯(lián)想中提出更多問題

【教學片段】

師：同學們，通過剛才的學習，我們研究了連續(xù)奇數(shù)相加的問題，知道了正方形數(shù)，又研究了連續(xù)偶數(shù)相加的問題，還知道了長方形數(shù)，由此，你又想到了什么新的問題？

生：既然有正方形數(shù)和長方形數(shù)，會不會有三角形數(shù)？

生：會不會有梯形數(shù)？

生：五邊形數(shù)呢？

生：我想知道這些數(shù)與形在生活中的價值是什么？

生：這些數(shù)是不是只能配一個形呢，而一個形會不會有其他的數(shù)或算式呢？

……

師：你們都很會思考，又提出了這么多新的問題，包括前面提出的“連續(xù)自然數(shù)相加會有什么規(guī)律呢？”“像2、6、10、14……這樣加起來會有規(guī)律嗎？”課后，我們也可以像課堂上這樣來研究這些問題，遇到困難的時候，還可以上百度查閱或查閱課外資料。

【思考】課堂的最后，學生深刻體會了“數(shù)形結合”數(shù)學思想方法的重要價值。教師的繼續(xù)追問，學生又產生了一個個新問題。學生提出的問題變得更有價值和挑戰(zhàn)性，既培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新思維品質，又提升了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。引導學生在學習中提出問題，也實現(xiàn)了讓學生帶著問題走進課堂，又帶著新的問題離開課堂的目標。

（浙江省平湖市鐘埭中心小學 314200 浙江省平湖市廣陳中心小學 314207）