張勁松

(人民教育出版社中學數(shù)學室　100081)

解析幾何既是近現(xiàn)代數(shù)學的重要內容，又是高中數(shù)學課程的主干內容，歷來占有重要地位.從數(shù)學分支上來說，解析幾何屬于幾何學.幾何學是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關系的一門數(shù)學學科，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何圖形的數(shù)學分支科學，研究方法是通過建立幾何圖形的代數(shù)方程(或不等式)，運用代數(shù)運算，由代數(shù)運算的結果得到幾何圖形的性質.

解析幾何分為平面解析幾何和空間解析幾何.平面解析幾何主要研究直線、二次曲線以及三次以上的高次曲線，目前高中數(shù)學課程主要研究直線、圓、圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線).空間解析幾何以空間向量及其運算(線性運算、數(shù)量積、向量積)為工具，研究平面、直線、曲線、曲面(主要是二次曲面)，建立它們的方程，用方程研究它們的性質.目前高中數(shù)學課程中不研究空間解析幾何的內容.

與函數(shù)、概率、統(tǒng)計等數(shù)學分支相比，解析幾何沒有嚴格確定的內容，對它來說，決定性的因素不是研究對象，而是方法.解析幾何的產(chǎn)生是科學的需要，更是方法的興趣.開普勒發(fā)現(xiàn)行星沿橢圓軌道運行，物體的運動軌跡是拋物線等等，這是科學的需要.坐標系的引入，使常量數(shù)學進入變量數(shù)學時代，而變量進入數(shù)學是近代數(shù)學的重要標志.由于變量進入了數(shù)學，我們可以研究運動與變化，研究物體運動的軌跡.

對數(shù)的引入、解析幾何的發(fā)明、微積分的創(chuàng)立被譽為17世紀自然科學的三大發(fā)現(xiàn).解析幾何最重要的是作為工具出現(xiàn)研究微積分，把圖形(曲線、曲面)量化，運用微分、積分工具去研究函數(shù)的性質，因為函數(shù)用解析式(曲線)表示.作為微積分的基礎，先建立函數(shù)的解析式(代數(shù)表達).運動物體的路徑都是曲線，而物體本身則是由曲面界住的三維體，我們需要運用代數(shù)工具描述曲線、曲面以及三維物體.在18世紀廣泛探討二維解析幾何，以及二次曲面：球面、柱面、拋物面、雙葉雙曲面和橢球面等.

本文首先以傳統(tǒng)解析幾何中橢圓的呈現(xiàn)方式為引子，通過光線照球的投影這個具體實例，闡釋解析幾何發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的舉措，強調解析幾何回歸“幾何性”的重要性，以及解析幾何“解析性”與“幾何性”并重的教育價值，最后對于解析幾何在當前課改中面臨的“最少”與“最多”的關系闡述了自己的觀點.

1　傳統(tǒng)解析幾何中橢圓的呈現(xiàn)方式

我們以橢圓為例，看一下傳統(tǒng)解析幾何如何呈現(xiàn)這部分內容：

平面截圓錐，當平面與圓錐母線的角度不同時，我們可以得到橢圓、雙曲線、拋物線等不同的曲線，這些曲線我們統(tǒng)稱為圓錐曲線.

橢圓在生活中隨處可見，如汽車油灌橫截面的輪廓，圓柱形水杯傾斜時水面的形狀，一些天體和衛(wèi)星的運行軌道，都給我們以橢圓的形象.那么，橢圓具有什么幾何特征呢？

如圖1，取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖(動點) 畫出的軌跡是一個圓．如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，筆尖滿足的幾何條件是什么？畫出曲線的形狀是什么？不斷地改變兩定點間的距離，感受畫出的曲線的形狀.

圖1

通過上面具體畫圖的過程，我們得到，平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡，這個軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.

這是我們非常經(jīng)典的呈現(xiàn)方式.先從平面截圓錐說起，列舉生活中有大量橢圓形的物體及軌跡實例，通過橢圓畫板畫出橢圓，給出橢圓的定義；然后根據(jù)其對稱性，建立坐標系，獲得關于橢圓幾何特征的代數(shù)表達式，通過數(shù)學運算，得出其標準方程，最后用其標準方程研究其范圍、對稱性、離心率等簡單的幾何性質.總之，橢圓這部分結構體系完備、內容經(jīng)典條理.但是仔細閱讀，我們也不難發(fā)現(xiàn)存在一些問題：比較集中的是幾何味道明顯不足，而解析味道極其濃烈，這種狀況在教學中尤甚.我們需要通過呈現(xiàn)方式的變化做些改進.為什么這么講，這涉及解析幾何在發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)方面的教育價值，簡言之，即解析幾何的“幾何性”與“解析性”應并重.只有這樣，解析幾何的教育價值才能完全彰顯.

下面，我們以光線照球的投影為例，說明解析幾何回歸“幾何性”的重要性，以及解析幾何“幾何性”與“解析性”并重的教育價值.

2　光線照球的投影的本質：圓的斜投影是橢圓

光線照球的投影與旦德林雙球模型是歐氏幾何中非常經(jīng)典的具體實例和數(shù)學模型.光線照球的投影既是探究、發(fā)現(xiàn)橢圓幾何特征的具體實例；又是驗證、加深橢圓幾何特征的重要素材.橢圓是圓錐曲線的一種，而圓錐曲線是與圓錐有緊密聯(lián)系的一類曲線.光線照球的投影可以看作旦德林雙球模型的原型，旦德林雙球模型是光線照球投影的數(shù)學模型，是對光線照球投影的數(shù)學抽象.

投影分為平行投影和中心投影，太陽光線可以看作平行投影，點光源發(fā)出的光線可以看作中心投影.如圖2 是平行投影，圖3是中心投影.當光線垂直于投影面照射球時，無論是平行投影還是中心投影，其投影都是圓(平行投影時投影圓的半徑與球的半徑相等，中心投影時投影圓的半徑大于球的半徑)，而且球與投影圓的切點是圓的圓心.當光線不垂直于投影面照射球時，無論是平行投影還是中心投影，此時在投影面上的投影不是圓，但是與圓有天然的、緊密的聯(lián)系，此時的投影是橢圓.把光線抽象為圓柱(圓錐)的母線，我們可以得到圓柱(圓錐)及其與圓柱(圓錐)側面和投影面分別相切的球，這就是對光線照球的投影的數(shù)學抽象，即數(shù)學模型.這個數(shù)學模型的本質是：垂直于圓柱(圓錐)對稱軸的截面的斜投影是橢圓.簡言之，圓的斜投影是橢圓.

圖2

圖3

圖4

現(xiàn)實生活中這樣的具體實例或原型還有很多，如一個圓柱形水杯里的水，傾斜水杯時，原來水平的圓面變?yōu)樗降臋E圓(圖4).這些實例本質上是一致的，即圓的斜投影是橢圓.之所以沒有直接提出“圓的斜投影是橢圓”這個命題，是因為直接證明這個命題比較困難.有了球后，不僅容易得到橢圓的焦點，而且為證明投影面是橢圓提供了證明思路.這個球在證明中起了“腳手架”的作用(后面我們會給出詳細證明).

從數(shù)學的角度看，當用一個平面按上圖所示的方式截圓柱(圓錐)時，所得的截面與圓柱(圓錐)側面的交線是橢圓.這也是橢圓是圓錐曲線的由來.

圓的正投影是圓很容易證明.圓的斜投影為什么是橢圓？這是一個既現(xiàn)實又非常有趣的問題，會激發(fā)學生學習的興趣和探究欲望，對于探究、發(fā)現(xiàn)、驗證橢圓的幾何特征具有積極的意義.

3　解析幾何發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的舉措：以橢圓幾何特征的探究及驗證為例

橢圓，顧名思義，是扁平的圓.這是形象、直觀、定性地描述橢圓與圓的關系，但不是數(shù)學意義上的橢圓.

人類認識橢圓的歷史非常悠久.古希臘人先是從圓柱或圓錐的截口上發(fā)現(xiàn)橢圓，但對橢圓幾何特征的認識，經(jīng)歷了漫長的過程.公元3世紀，阿波羅尼斯在《圓錐曲線》中采用了截線的定義，并在多達七個命題的基礎上，導出了橢圓的焦半徑之和等于常數(shù)這一性質.17世紀，荷蘭數(shù)學家舒騰(F. van Schooten，1615～1660)給出了橢圓的三種作圖工具，其中一種利用了焦半徑之和為常數(shù)的性質.法國數(shù)學家洛必達(M. de L’Hospital，1661～1704)在《圓錐曲線分析》中沒有采用阿波羅尼斯的截線定義，他將橢圓定義為平面上到兩定點距離之和等于常數(shù)的動點軌跡.直到1822年，比利時數(shù)學家旦德林(G. P. Dandelin，1794～1847)在一篇論文中才利用圓錐的兩個內切球，直接在圓錐上導出橢圓的焦半徑性質，從而證明了截面定義與軌跡定義的統(tǒng)一性.

歷史的材料無疑是豐富的，但是追尋歷史的足跡，通過展示橢圓的產(chǎn)生、發(fā)生和發(fā)展過程，得到目前橢圓的定義對學生來說，對教材處理來說，有很大的難度，而且對于很多教師來說，可能無法駕馭.我們想有沒有一種自然的、易于接受的方式，通過探究、發(fā)現(xiàn)的方式認識它.不妨我們看下面的處理方式.

由于橢圓和圓分別是圓斜投影和正投影時得到的圖形，我們猜想橢圓與圓肯定有天然的、緊密的聯(lián)系.這個聯(lián)系到底是什么？我們從圓的幾何特征出發(fā)進行探究.圓的幾何特征是到定點的距離等于定長的點的軌跡，圓心和半徑是確定圓的幾何要素，圓心(定點)確定位置，半徑(定長)決定大小.由于正投影時，切點是球的投影——圓的圓心.當斜投影時球體與投影面的切點肯定也是投影圖形(橢圓)的一個非常重要的點，我們猜想，這個點的地位類似圓的圓心.又由于直觀發(fā)現(xiàn)投影圖形(橢圓)的軸對稱性(圖5)，我們猜想還有一個與其對稱的點.我們設想把圓柱的側面延長，在投影面的下方還有一個球，這個球與圓柱的側面以及投影面都相切，顯然存在另一個切點.這兩個切點是非常特殊的點，投影圖形與圓柱側面的交線(橢圓)上的點與這兩個切點有什么關系呢？由于圓是到定點的距離等于定長的點的軌跡，我們猜想交線上的點到兩切點的距離之和為定長.這個猜想是否正確呢？通過截面以及圓的切線的性質可以證明.如圖6，由圓的切線的性質知，PE=PR，PF=PQ，有PE+PF=PR+PQ=RQ，由此找到橢圓的“定長”.(圓錐情況的探索、發(fā)現(xiàn)及證明的思路和過程與圓柱的情況完全一致，如圖7).這個交線上的點到兩個切點的距離和等于定值，而這恰恰是橢圓的軌跡定義，因此這個投影是橢圓.

圖5

圖6

圖7

這樣的具體實例無疑思維容量大，探索價值強.對于當前倡導的數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理及數(shù)學建模等數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展具有積極的意義.我個人認為，在當前解析幾何教材編寫中，這樣有價值的具體實例并不多.雖然有難度，教學時間會拉長，但從長遠角度講，對于發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)值得一試.

4　解析幾何的教育價值：“幾何性”與“解析性”并重

上述光線照球的投影的具體實例是加強橢圓內容“幾何性”的一個舉措，希望能在教學中進行嘗試.“幾何性”是指圖形及圖形間的關系，把握圖形的形狀、大小和位置關系.強調“幾何性”并不排斥“解析性”，“解析性”是指建立圖形的代數(shù)表達式，通過代數(shù)表達式，進行代數(shù)運算，最后把代數(shù)運算的結果“翻譯”為幾何結論.解析有其自身的優(yōu)勢，比如，要說明橢圓是扁平的圓，如何“壓扁”的，解析法比綜合法有優(yōu)勢.為此，我們完整地展現(xiàn)這個過程，這樣對解析幾何“解析性”的認識會更加深刻.

圖8

問題如圖8，在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是橢圓.

證明點P在圓x2+y2=4上運動，點P的運動引起點M運動.設點M的坐標為(x，y)，點P的坐標為(x0，y0).由于M是線段PD的中點，所以

因為點P(x0，y0)在圓x2+y2=4上，所以

x2+4y2=4，

即

這給出如何“壓扁”圓的定量描述，即把圓上任意一點的橫坐標保持不變，縱坐標壓縮為原來的一半，這時得到的圖形是橢圓(實際上，壓縮為任意比值得到的圖形都是橢圓).而這用綜合法證明是有難度的.

為了加強解析幾何的“幾何性”，除了引入圓錐曲線時，對橢圓、雙曲線和拋物線的具體實例進行抽象概括外，還需挖掘一些素材，如上面提到的“光線照球的投影”；再有就是對現(xiàn)有的內容，如“圓錐曲線的光學性質”在教學中給予足夠的重視，對性質用初等數(shù)學的方法進行說明或證明；以后有了導數(shù)的工具后，在“導數(shù)及其應用”的內容中，我們再利用切線給出嚴格的證明.把“解析性”運算的威力與“幾何性”圖形的魅力有機地結合起來.

總之，如果把解析幾何看作一枚硬幣，那么“幾何性”與“解析性”的關系就是這枚硬幣的兩面，是一個整體，兩者都不能偏頗.

5　如何看待“最少”與“最多”的關系

當前，我們面臨的一個事實是：縱向與歷史其他時期對比，當前解析幾何的內容是最少的；橫向與其他國家對比，我國解析幾何的內容又是最多的.這個“最少”與“最多”的關系，對于我們來說，有點尷尬.但這個客觀事實，需要我們重新審視解析幾何的地位、作用及內容.

從平面解析幾何的產(chǎn)生、發(fā)生和發(fā)展來看，解析幾何的歷史無疑是輝煌的，但是現(xiàn)在已經(jīng)“沒落”了，其內容已經(jīng)進入函數(shù)、微積分、代數(shù)幾何等現(xiàn)代數(shù)學各分支中.

平面解析幾何是從初等數(shù)學過渡到高等數(shù)學的橋梁.它是用代數(shù)方法研究空間形式.它和代數(shù)中的函數(shù)知識有密切的聯(lián)系，但是研究的對象不同.它所研究的對象和平面幾何相同，但是研究的方法不同.從數(shù)學發(fā)展史看，過去算術是算術，代數(shù)是代數(shù)，幾何是幾何，數(shù)和形的研究是分開發(fā)展的.出現(xiàn)解析幾何以后，數(shù)和形的研究緊密地結合起來，數(shù)學各分支才在更高的觀點下統(tǒng)一起來.這樣既有利于綜合運用數(shù)學知識，又有利于系統(tǒng)掌握平面解析幾何的基本知識和基本技能，為以后學習高等數(shù)學打下扎實的基礎.

從平面解析幾何清末初定學制時期進入課堂的變遷和發(fā)展看，解析幾何的內容變化很大、但是結構體系變化不大.從總體上看，內容逐漸減少；從結構體系上看，變化極其有限，主要是解析幾何的體系結構非常成熟和完整.

解析幾何內容的逐漸減少源自對解析幾何的教育價值、地位和作用的認識.一種觀點認為，在中學學習解析幾何主要是為大學繼續(xù)學習數(shù)學，特別是微積分打基礎.另一種觀點認為，解析幾何的綜合性強，它綜合了代數(shù)、幾何、三角等知識內容，加強了代數(shù)、幾何、三角等內容的聯(lián)系，解析幾何的代數(shù)對象是方程，對方程進行代數(shù)變形，涉及數(shù)、式、方程求解等基本代數(shù)運算；幾何對象包括各種直線型圖形、圓、橢圓、雙曲線和拋物線等.研究方法是代數(shù)運算與幾何圖形性質的有機結合，包括必要的圖形證明.在上述兩種觀點的指導下，解析幾何的內容非常豐富和綜合.再一種觀點是，解析幾何是數(shù)學的一個分支，學會解析幾何的研究方法遠比解析幾何內容本身更重要.另外從橫向角度看，其他內容如函數(shù)、統(tǒng)計與概率等的增加，解析幾何內容需要“瘦身”“削枝強干”“騰地方“，只保留主干內容和基本的研究方法，只研究具體的曲線，不研究一般曲線及其方程；不在圖形證明的難度和代數(shù)運算的復雜度上下功夫.

毋庸諱言，現(xiàn)在數(shù)學分支越來越多，學生數(shù)學基礎的內容、內涵不斷擴大，學生需要學習具備的數(shù)學基礎越來越廣，刪減解析幾何的內容，降低要求是大勢所趨，如兩條直線所成的角，直線的法線式方程，圓錐曲線的切線和法線，圓錐曲線的統(tǒng)一定義，坐標軸的平移和旋轉，一般二元二次方程與曲線類型的討論等.現(xiàn)在解析幾何更加強調基本內容，更加突出研究方法，不在內容的深廣度上做更多的拓展.

從解析幾何結構體系上來說，遵循從簡單到復雜，從具體到抽象，從特殊到一般的研究過程和方法.具體從幾何研究對象來說，就是按照直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的順序，由它們的幾何特征，建立它們的方程；從方程類型上來說，先講一般方程，后講參數(shù)方程；從坐標系上來說，先講直角坐標系，再講其他坐標系，如極坐標系、柱坐標系、球坐標系等等.

作為傳統(tǒng)或經(jīng)典的數(shù)學內容，從內容上看，解析幾何始終在減少，但核心內容未動；從結構上看，沒有大的變化，只是有些細微的調整；從呈現(xiàn)形式看，注意數(shù)學內容的教材表達，以問題引導內容的展開，突出解析幾何的思想和主要研究方法：如何刻畫幾何圖形，確定圖形的幾何要素是什么，這些幾何要素的代數(shù)表達是什么.從歷史上看，方程的內容先于函數(shù)，后來函數(shù)的內容由方程內容分離出來，逐漸發(fā)展成為一個體系.與方程相比，函數(shù)有其特殊性，以函數(shù)為基礎的數(shù)學分支科學的發(fā)展是近現(xiàn)代數(shù)學的重大成就，特別是微積分，解析幾何為函數(shù)內容的產(chǎn)生和發(fā)展提供了重要的支撐.從數(shù)學各分支之間的關系看，解析幾何更多的是一種工具，為微積分等學科服務，因為它建立了曲線與方程之間的關系，可以用代數(shù)方法精確地描述幾何對象，對幾何對象進行“運算”，而數(shù)形結合為數(shù)學的研究提供了工具和活力.數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，“直觀”與“入微”的有機結合，相得益彰，極大豐富了數(shù)學研究的內容.

“最少”與“最多”的關系恰恰說明了解析幾何地位、價值不斷變化的過程.解析幾何內容減少是大勢所趨，而我國之所以“最多”的原因是多方面的，如對基礎的不同理解、課程結構中重必修輕選修等等.