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        關(guān)注基礎和思維習慣 合理引導學生思考

        2018-07-16 05:56:30王保東
        數(shù)學通報 2018年6期
        關(guān)鍵詞:數(shù)軸筆者意義

        王保東

        (北京市密云區(qū)教師研修學院 101500 )

        1 引子

        筆者最近聽了一節(jié)普通校的高三二輪復習課,題目是《立體幾何綜合五——折疊問題》.對教師在例題講解環(huán)節(jié)中的提問方式和引導學生解決問題的切入點,筆者發(fā)現(xiàn)了一些問題,這些問題在當前的教學中帶有普遍性.

        (Ⅰ)求證:OM∥平面ABD;

        (Ⅱ)求證:平面ABC⊥平面MDO;

        (Ⅲ)求三棱錐M-ABD的體積.

        授課教師先要求學生讀題,并完成如下小測題:

        (1)在菱形ABCD中,求∠AOB=________,∠AOD=________,BD=________,AC=________,OM=________.

        (2)在三棱錐B-ACD中,求∠AOB=________,∠AOD=________,OD=________,OM=________,∠DOM=________.

        (3)寫出線面平行的判定定理,線面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理.

        (4)寫出錐體體積公式,柱體體積公式,寫出求體積的經(jīng)驗.

        8分鐘后,教師找?guī)讉€學生核對小測題答案,對出現(xiàn)的問題進行了講解,然后要求學生自己解答例題第一問,大部分學生都能順利解答.接著教師帶領大家思考第二問,教師提示:

        然后就讓學生自己動手做題了,結(jié)果10分鐘后還有許多學生沒有找到解題思路,教師只好自己把求解過程講解一遍.

        對上述教學過程,筆者有如下思考:

        1.安排課前小測,有復習舊知、了解學情,為后續(xù)解決問題搭臺的作用.但本節(jié)課已是二輪復習中立體幾何的最后一節(jié)課,有關(guān)垂直的判定定理和體積公式絕大多數(shù)學生都應該沒問題了,占用上課時間測試,會沖淡教學重點,完全沒有必要.另外,對小測中的度量問題直接核對答案,也沒有起到了解學情的目的.

        2.整節(jié)課圍繞一道綜合性很強的例題(模擬題或高考題的形式)組織教學,沒有體現(xiàn)出二輪復習“新”在何處,是以教師經(jīng)驗設計問題,沒有反映學生的實際狀況.第一問大多數(shù)學生3分鐘就完成了,說明線面平行不需要在課上再復習.舍掉第一問,學生有更充分的時間研究第二問的面面垂直問題.

        由上述教學過程可見,雖然經(jīng)過長期的教育改革,教師的教育理念和教學方式等都發(fā)生了巨大變化,但教師不顧學生的認知基礎,提出的問題深一腳淺一腳,一旦超出學生思維水平,學生不能給出回答,教師就自己開講,并不顧及學生是否能夠理解.教學實踐中,違背學生認知規(guī)律的情況仍然比較普遍.如何改變這種狀況呢?

        章建躍博士提出,“理解數(shù)學,理解學生,理解教學是提高教學質(zhì)量的基本保證”,其中理解學生,就是要了解學生的數(shù)學認知規(guī)律和情感發(fā)展規(guī)律,使教學更適合學生,因材施教,促進學生數(shù)學素養(yǎng)的養(yǎng)成.具體針對一堂課而言,既要理解當前的數(shù)學知識與學生的生活經(jīng)驗和已有數(shù)學經(jīng)驗的聯(lián)系,這是確定教學出發(fā)點的依據(jù);又要把握當前知識與學生已有認知結(jié)構(gòu)的“距離”及相互作用(正遷移和負遷移),這是確定教師對學生學習過程干預強度的依據(jù).在踐行“三個理解”的實踐中,筆者在“理解學生”上摸索了一種“試水深”的方法,就像一個人要涉水過河,要想順利過河,必須先知道水有多深,這就要先找一個辦法試一試水深.教學也是如此,要想知道學生現(xiàn)有的認知基礎和思維習慣,就得先設計一些問題,讓學生答一答,反饋一下才行,下面以一個案例來說明如何“試水深”.

        2 試水深發(fā)現(xiàn)問題

        案例含兩個絕對值的不等式解法舉例

        本節(jié)課重點研究|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法.

        為了“試水深”,筆者先讓學生舉出一個含一個絕對值的不等式,并給出它的解法.預設有五種解法,即利用絕對值不等式的公式求解;用絕對值的幾何意義求解;平方變形求解;利用函數(shù)圖象求解;分類討論去絕對值求解.

        學生給出了很多例子,筆者選擇|x-6|>3讓全班學生進行解答.學生給出了四種解法,其中如下兩種解法對“含兩個絕對值的不等式”的解決有重要意義.

        解法一利用數(shù)軸,數(shù)形結(jié)合.許多學生先畫出一個數(shù)軸,在數(shù)軸上標出實數(shù)±3對應的點,將x-6看成一個整體,如圖2所示.由|x-6|>3,可知點“x-6”在-3和3的兩側(cè),進而得到x-6的范圍,化簡可確定x的范圍.但學生上課的做法與預設還是有出入.

        圖2

        從學生的思維過程看,他們利用換元,把|x-6|>3轉(zhuǎn)化成|y|>3,利用|y|>a(a>0)的解集求解問題,得到了正確答案,但這種解法對研究“含兩個絕對值的不等式”的解作用不大.通過 “試水”發(fā)現(xiàn),學生知道|a|的幾何意義,卻不明白|a-b|的幾何意義是數(shù)軸上點“a”和“b”之間的距離,這會對本課的后續(xù)學習造成障礙.于是筆者立即調(diào)整教學計劃,通過問題引導學生對|a-b|的幾何意義進行再認識:

        (1)|x|的幾何意義是什么?

        生:點x到原點的距離.

        (2)原點對應的數(shù)是0,能把這個距離用x和0的運算再表示一下嗎?

        生:0-x或x-0,即|x-0|.

        師:因此,|x|是|x-0|的簡化,大家不要小看這個表示,它在認識絕對值的幾何意義中有重要作用.

        (3)|a-b|的幾何意義是什么?由此,你能給出|x-6|>3的新解法嗎?

        在學生自主研究的過程中,提醒學生注意,研究不等的問題,經(jīng)常從相等開始,可以先在數(shù)軸上找到方程|x-6|=3的根3和9,3和9把數(shù)軸分成3部分,將x分別“發(fā)放”到3個部分,進行檢驗,如圖3所示,易得x>9或x<3.

        圖3

        解法二按學生的說法叫“分情況討論”.筆者用實物投影儀展示了A同學的做法:因為|x-6|>3,所以x-6>3或-x+6>3,得x>9或x<3.

        看到學生的書寫過程,筆者意識到學生對如何分類討論和如何表示討論過程存在一定問題,這是必須先解決的.于是,筆者先請A同學說說自己的想法.

        生A:當x-6>0時,|x-6|=x-6>3;當x-6<0時,|x-6|=6-x>3.再化簡就行了.

        追問:大家認為A同學這樣書寫對嗎?小組討論一下.認為做對的同學,請思考書寫過程中的每一步說理是否充分?認為做得不對的同學,你認為該如何改進?

        之后,筆者繼續(xù)追問:

        B同學的書寫過程是“因為|x-6|>3,所以x-6>3或x-6<-3,所以x>9或x<3”.你認為對嗎,你能看出A、B兩位同學的書寫的區(qū)別嗎?

        這個追問的目的是讓學生明白兩種方法的結(jié)果一樣,但體現(xiàn)的思維過程不同.B同學的書寫顯然是運用了公式|x|>a(a>0)?x>a或x<-a.

        最后,筆者組織學生反思:

        本題為什么要分類討論?如何分類?

        通過反思,學生知道了分類討論是為了去絕對值,因此使含絕對值項為零的x就是分類的“界”.

        上述過程實際上是學生對絕對值不等式的“再認識”過程.這里的關(guān)鍵是讓學生把|x|的幾何意義說出來:點x到原點的距離,即|x-0|,|x|是|x-0|的簡化,在此基礎上,就能比較好地過渡到|x-6|的幾何意義;接著,要求學生把|x-6|>3的幾何意義說出來,借助幾何意義,理解相應的解集.這些問題解決好了以后,再進行拓展,同時強調(diào)把新問題轉(zhuǎn)化為舊問題,就為解決本課的主要問題做好了鋪墊.

        然而,學生真的能按照老師設計的路子走嗎?

        3 解含兩個絕對值的不等式的教學過程

        通過“試水深”,發(fā)現(xiàn)問題并進行補救后,筆者提出了新任務:

        解不等式 |x-1|+|x+2|≥5.

        并提示學生,含一個絕對值的不等式的各種解法還能用嗎?使用時應該注意什么問題呢?

        筆者發(fā)現(xiàn),許多學生并不按筆者的預設走,他們的做法是:

        因為|x-1|+|x+2|≥5,

        所以|x-1+x+2|≥5.

        所以|2x+1|≥5.

        所以2x+1≥5或2x+1≤-5.

        所以x≥2 或x≤-3.

        顯然,“因為”后面的第一個“所以”就錯了.為調(diào)整眾多學生的解題方向,筆者利用實物投影展示了學生的解答,并讓大家思考其中是否存在問題.

        很快,有學生發(fā)現(xiàn)了問題.筆者乘勢讓給出上述解答的一位學生說一下如此解答的理由 .他說:

        “我把x-1看成x,把x+2看成y,不等式|x-1|+|x+2|≥5就相當于|x|+|y|≥5.如果能把左端的兩個絕對值轉(zhuǎn)化成一個絕對值,就轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決的問題了.這就想到了利用剛學過不久的絕對值三角不等式|x|+|y|≥|x+y|進行轉(zhuǎn)化, 得到|x+y|≥5,也就是|x-1+x+2|≥5”.

        對此,筆者讓學生分組討論.經(jīng)過討論,許多學生發(fā)現(xiàn)了錯誤的根源:|x+y|和5都比|x|+|y|小,所以|x+y|和5是不能比較大小的.

        追問:在什么情況下這一步的推理是正確的呢?

        學生:當絕對值不等式的等號成立時,不等式的求解過程就成了等價轉(zhuǎn)化,所以這一步的推理是可以的,但是對任意的實數(shù)x,y,顯然絕對值不等式|x|+|y|≥|x+y|不恒取等號,因此這個解法行不通.

        再追問:如果我們把不等式的符號語言翻譯成文字語言,就是“求數(shù)軸上到1和-2對應的點的距離的和大于或者等于5的點x的取值集合”,這對你解決這個問題有什么啟示?

        在此提示下,學生順利完成了借助幾何意義求解的方法.基于前期準備和方法的類比,學生也順利完成了“畫圖法”和“分類討論法”求解.

        4 教學反思與教學再設計

        看似比較完美,但課后反思,筆者發(fā)現(xiàn)其中存在許多遺憾!

        1.為什么經(jīng)過復習、引導,學生還是想不到用絕對值的幾何意義?

        通過查看教材,筆者明白了,學生剛學完絕對值三角不等式,造成學習“慣性”,自然會優(yōu)先想到用絕對值三角不等式(這是出現(xiàn)了負遷移),同時也說明學生前期學習時對絕對值三角不等式的運用條件和作用理解不夠準確,筆者沒有把握這一學情.

        2.為什么不嚴謹?shù)姆椒梢缘贸鰷蚀_答案?

        可以發(fā)現(xiàn),學生利用絕對值三角不等式求解的方法雖然不嚴謹,但運算結(jié)果卻和正確答案一致,這是為什么?是必然的,還是巧合?在什么時候,這樣解出的結(jié)果是對的,什么時候,又是錯誤的呢?如果在課上能關(guān)注到這一點,讓學生繼續(xù)研究就更有價值了.讓學生解決自己的困惑,組織學生開展問題解決的辨析過程是學生親身參與的學習體驗過程,更有利于學生積累學習經(jīng)驗.

        3.教學再設計

        (1)從“數(shù)”的角度解釋問題,應從絕對值三角不等式等號成立的條件入手:

        ①當(x-1)(x+2)≥0 即x≥1 或x≤-2時,

        |x-1|+|x+2|=|(x-1)+(x+2)|

        =|2x+1|.

        這時,|x-1|+|x+2|≥5,即為|2x+1|≥5,即2x+1≥5或2x+1≤-5.

        解得x≥2 或x≤-3.

        與x≥1 或x≤-2結(jié)合,得x≥2 或x≤-3.

        ②當(x-1)(x+2)<0 ,即-2

        |x-1|+|x+2|=|(x-1)-(x+2)|=3.

        所以|x-1|+|x+2|≥5無解.

        綜合(1)(2)可知,原不等式的解集為{x|x≥2 或x≤-3}.

        (2)從“形”的角度是否能解釋這種現(xiàn)象呢?

        根據(jù)絕對值不等式的幾何意義,|x-1|+|x+2|≥5的解的集合就是數(shù)軸上到點-2和1的距離之和不小于5的點的集合.

        圖4

        觀察圖4,容易發(fā)現(xiàn),當-3<

        x

        <2時,|

        x

        -1|+|

        x

        +2|<5;當

        x

        =-3或2時,|

        x

        -1|+|

        x

        +2|=5;當

        x

        <-3或

        x

        >2時,|

        x

        -1|+|

        x

        +2|>5.所以不等式的解集是{

        x

        |

        x

        ≥2 或

        x

        ≤-3}.

        進一步觀察還可以發(fā)現(xiàn),區(qū)間[-3,2]的長度為5,區(qū)間[-2,1]的長度為3,它們的中點都是-1/2.根據(jù)對稱性,|x-1|+|x+2|≥5的解集與|2x+1|≥5的解集等價,并且只要c>|(x-1)-(x+2)|=3,不等式|x-1|+|x+2|≥c就與不等式|(x-1)+(x+2)|≥c等價.

        若將原不等式中的“5”換成比“3”小的數(shù),如“2”,則不等式|x-1|+|x+2|≥2又如何解決呢?注意到任意x∈[-2,1],都有|x-1|+|x+2|=3>2,而當x<-2或x>1時,|x-1|+|x+2|>3,所以|x-1|+|x+2|≥2的解集為R.

        推廣到一般,就可以得到不等式|x-a|+|x-b|≥c(c>0) 的新求法.

        ①當|(x-a)-(x-b)|=|a-b|≥c(c>0)時,

        不等式|x-a|+|x-b|≥c(c>0)解集為實數(shù)集;

        ②當|(x-a)-(x-b)|=|a-b|0)時,

        同理,對于不等式|x-a|+|x-b|≤c(c>0),

        ①當|(x-a)-(x-b)|=|a-b|>c(c>0)時,原不等式解集為空集;

        果真如此設計,學生經(jīng)歷不甘心被否定(解法不對,結(jié)果對)、追查原因(關(guān)注不等式的等價變形和不等價變形的條件)、解釋巧合的過程,體會偶然中的必然,并從數(shù)形兩個角度對非等價轉(zhuǎn)化重新分析,完善解題方案,再從特殊推廣到一般,可以積累重要的思辨經(jīng)驗;同時,這樣的教學還注意到如何利用不等式、絕對值不等式的基礎知識解決問題的能力的培養(yǎng),這里就是利用好|x-a|>b或|x-a|

        5 結(jié)束語

        作為教師,我們應清醒地認識到,學生思考水平的提高,既是向他人學習的結(jié)果,更是自身感悟的結(jié)果,思考能力的高低取決于學生學習經(jīng)驗的不斷積累.當然,這個經(jīng)驗來自于課本、生活實踐及學生自己的解題實踐.而善于運用原有的各種經(jīng)驗,認識和把握問題的本質(zhì),建立事物間的內(nèi)在聯(lián)系并解決問題,就是“會用數(shù)學的眼光看世界,會用數(shù)學的思維思考世界,會用數(shù)學的語言表達世界”的具體表現(xiàn).

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