卜照澤　文衛(wèi)星

(上海市七寶中學　201101)

2014年9月國務院出臺《關于深化考試招生制度改革的實施意見》，拉開了新高考改革的大幕.上海、浙江先行先試，探索出文理不分科、一年多考、綜合評價等新措施.現在已全面落地實施.2017年上海數學高考具有里程碑的意義.從過去的文理分卷到今年的一張試卷，試卷的結構從整卷題數23題減少到21題.其中填空題減少兩題，也由每題4分調整到今年的填空題1—6題4分，7—12題5分的新的結構形式.2017年的數學試卷文理統(tǒng)一試卷，從大家普遍擔憂文理考生水平差異較大，一張試卷要么沒有區(qū)分度要么區(qū)分度就很大，到考后大家普遍接受今年的試卷的轉變，個中緣由是該試卷既讓低端學生水平得到一定的保底分，也滿足重點高校選拔性的高端要求.

1　統(tǒng)計數據，說明問題

今年的試卷側重于以相應的基礎知識作為載體，注重基礎知識和通性通法的考查，選題立意新、方法活，是一套符合新高考要求的試卷.試卷中填空題的第1—8題，選擇題中第13—14題，解答題中第17—19題，20題與21題的第(1)與(2)問，考查的都是基礎知識和基本方法.這些題低起點，多層次，題型常規(guī)，試卷入口寬，有利于各層次考生正常發(fā)揮.

考試后的試卷評析，從有關量表可以較客觀反映出這是一套適合各層次的試卷.先看難度分布表：

一般將難度值大于和等于0.7的試題定為容易題；大于0.4和小于0.7的定為中檔題；小于和等于0.4的試題定為難題.從上表看出，有10個小題、第17和18大題、第19-21大題的第(1)小題難度系數大于0.8，屬于容易題，而難度系數在大于0.3小于0.8的有第9、10、11、15、第19、20、21的第(2)題，屬于中檔題，而難度系數在0.3以下的是填空題和選擇題的最后一題，以及解答題最后兩題的最后一小題，這正是所謂壓軸題，是意料之中的.由此導致今年一般考生一個半小時能做完他們會做的題目，比以往提前半小時，而剩下的能力題多數考生無論多長時間也是做不完的，而能力強的考生約有40-50分鐘時間做壓軸題(能力題)，能充分發(fā)揮他們的實際水平，真正突出選拔功能.由此得到

啟示1重點中學在高三復習時要在突破壓軸題(能力題)上下功夫.容易題和中檔題這些學生基本上問題不大，因此，就不要求學生大運動量刷題(以往那是怕做不完題目不得已采取的方法)，騰出時間給學生認真思考(以往學生根本沒有時間真正思考)，這是符合創(chuàng)新型人才培養(yǎng)大方向的.

啟示2普通中學在高三復習時要特別注重夯實基礎，尤其是中檔題.因為壓軸題對這些學校的絕大部分學生來說是“天花板”，這些題目可以少講或不講(少數特別優(yōu)秀的學生另當別論，有條件可以分層教學).

這樣重點中學可從減少大運動量上節(jié)省時間，普通中學可從盲目拔高上節(jié)省時間，這是通過“高考指揮棒”來實現以學定教，從根本上達到培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的目的.

啟示3如果這種態(tài)勢得以穩(wěn)定(不排除中檔題分值還可以略大一些)，對高一、高二的教學會產生的影響是不要盲目加大難度和加快進度.日常教學要展示知識的發(fā)生、發(fā)展過程，多講怎樣想，尊重學生的認知規(guī)律，真正留時間給學生思考，尤其是概念教學更要如此.

今年的試題大部分題的區(qū)分度都接近0.3或高于0.3(試題的區(qū)分度在0.4以上表明此題的區(qū)分度很好，0.3～0.39表明此題的區(qū)分度較好，0.3以下表明此題需要修改)，試題的考查功能較好.特別是試卷后面大題最后一問體現了很好的區(qū)分度，它們是應用問題、邏輯推理、字母運算等.當然基于文理科生考同一試卷，安排個別低于0.1以下的題也有必要.

考試結果描述性統(tǒng)計量

有效人數平均分中數眾數標準差偏度峰度最低分最高分四分位數25507537298106.1310711215.59-0.13-0.517015095107117

全卷分數整體呈現偏右的正態(tài)分布，說明題目整體偏易，也就是說以后中檔題可能難度增加，或減少容易題數量增加中檔題數量.

從總體看，2017年上海數學高考試卷受到大家的高度評價，同時也提出了改進意見，一致提出中檔題目偏少，需要低、中、高題目合理搭配.這是以后需值得改進的地方.

以下對部分典型試題作些分析

2　突出基礎，重視本質

今年的試卷提高了整卷基礎題的占分比重，這些試題分別是：1、2、3、4、5、6、7、13、14、17、18.(1)、19(1)、20.(1)、21.(1)，共73分，占總分的48.7%，其中代數42分，幾何31分，其分數與教學時數基本一致.

本題移項兩邊取模簡單， 而如設代數式，就顯得稍繁些.

(1)求f(x)的單調遞增區(qū)間；

該題是一個常規(guī)題， 一般同學都做的比較順利，但是在第(2)問的，卻暴露出學生求解上的片面性，多數同學是利用余弦定理求出c=2或c=3，然后順勢寫出面積的兩種結果.其中突出的問題是在銳角△ABC中，只是注意到角A是銳角，而沒有檢驗角B、C也應是銳角.從而產生了增解.

本題雖然不難，但是注重對思維深刻性的考查.條件中明確給出是銳角三角形，不少同學“視而不見”，只認為A是銳角，就代替了△ABC銳角三角形.事實上， 應求出c以后即知邊b最大，應該檢驗角B是否是鈍角，從而保證了三角形三個角都是銳角.

表面上看是“粗心”，實際上反映出思維的膚淺，缺乏整體把握題目條件的能力，而這些能力是可以在教學中培養(yǎng)，但需要留時間給學生思考、感悟，而不是靠大量練習.

啟示4在復習時不要只是大運動量做題，要把課本上的知識、方法重組與概括，揭示其內在的聯系與規(guī)律，形成網絡，這樣才能把基礎知識落到實處，同時要訓練學生思維的深刻性和批判性，培養(yǎng)獨立思考能力.

3　凸顯通法，體現選拔

數學教學總是從概念開始，由此引出定理、公式等相關運算，由此所得的解題方法即是所謂的“通性通法”，這是教學中首先應該強調的“一般法則”.通性通法解題的優(yōu)點是容易想到，但有時運算較繁，而有時從其他角度出發(fā)可能獲得比較簡單的解法.因此，指導學生復習既要注重通法，也不能忽視其他特殊的解法(或稱為“特技”)，以培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維.這樣學生既有扎實的基礎，又有寬闊的眼界，是創(chuàng)新型人才必須具備的一種品質.

(A)2個 (B)4個(C)8個(D)無數個

則當θ1+θ2=2kπ(k∈Z)時，ω取最大值，由于k的任意性，則θ1與θ2有無數個對應值，故選(D).

解2設P(x1,y1),Q(x2,y2)，分別代入C1,C2，利用基本不等式可得x1x2+y1y2≤6.

解2是從方程的聯立角度結合不等式的運用，一氣呵成，但運算量明顯較上述解法大；解1是運用參數方程的代換后，然后利用三角知識求解，簡單明了.兩種解法之間都體現了重點知識、技能的靈活應用的能力和水平.

若選直線AQ斜率k作參數，則與橢圓方程聯立求出C的坐標，用k表示Q的坐標，最后用k表示P的坐標，代入橢圓方程求出k.若設P(x1,y1)，選x1,y1作參數，用x1,y1表示C點坐標，再與橢圓方程聯立求出C坐標，再求直線方程.還可以設P(2cosθ,sinθ)，用參數方程計算可以簡單一些.

例3和例4都有多種解法，比較而言用參數方程計算量要小一些，不要小覷這一點點的計算量，如果一份試卷每題都能找到簡捷方法節(jié)省一點計算量，那么整卷將節(jié)省許多時間，更重要的反映出思維能力的高低.

啟示5平時教學中要注意引導學生一題多解，并比較各種解法優(yōu)劣，在解題前評估各種解法計算量的大小，選擇簡捷的方法書寫，既節(jié)省時間也減少運算時出錯的機會.

4　聯系生活，重視應用

最近一輪課改強調“核心素養(yǎng)”，6個核心素養(yǎng)中就有一個素養(yǎng)是數學建模，應用題是考查數學建模的最好載體，上海歷年高考題中也都有應用題，今年與共享單車有關，是一道緊密聯系生活實際的數列應用題.

例5(2017年第19題)根據預測，某地第n(n∈N*)個月共享單車的投放量和損失量分別為an和bn(單位：輛)，其中

(1)求該地第4個月底的共享單車的保有量；

(2)已知該地共享單車的停放點第n個月底的單車容納量Sn=-4(n-46)2+8800，(單位：輛).設在某月底，共享單車的保有量達到最大值，問該保有量是否超出此時停放點的單車容納量？

本題源于生活，背景熟悉，題型新穎，運算量不大，但對理解題意要求較高，還需要分類討論，需要確定n的值(有不止一種方法)，是一道背景理想的中檔題.

應用題的考查功能是多方面的.首先就要認真審題，只有明確了題目的要求，解題中才能得心應手，形成自己的思路和解題策略，然后建模，將已知條件翻譯成數學語言，再將實際問題轉化為數學模型，常見的模型有函數模型應用題，不等式模型應用題，數列模型應用題等，最后求解和驗證.

啟示6應用題解答一般情況下都不難，難的是審題.平時教學中要結合實例指導學生如何準確、快速獲取有效信息，并把這些信息用圖表或數學符號(語言)表示出來，然后建立數學模型，再解答這個數學問題，最后注意檢驗.

5　考查素質，甄別能力

高考是選拔性考試，要凸顯選拔功能，因而一定要有對能力要求高的試題，今年主要體現在第12題(難度系數約為0.06)、第16題和第20題的第(3)題難度系數為0.18)和第21的第(3)題(難度系數為0.11).

例6(2017年第12題)如圖，用35個單位正方形拼成一個矩形，點P1,P2,P3,P4以及四個標記為“▲”的點在正方形的頂點處.設集合Ω={P1,P2,P3,P4}, 點P∈Ω.過P作直線lP，使得不在lP上“▲”的點分布在lP的兩側.用D1(lP)和D2(lP)分別表示lP的一側與另一側的“▲”的點到lP的距離之和.若過P的直線lP有且只有一條滿足D1(lP)=D2(lP)，則Ω中所有這樣的P為________.

解以左下角的頂點為原點建立直角坐標系.則四個標記“▲”的點的坐標分別為(0,3)，(1,0),(4,4),(7,1).設點P的直線為Ax+By+C=0.

因為直線將四個點分成兩部分，則此時總有d1+d2+d3+d4=0，即

即12A+8B+4C=0?3A+2B+C=0.

將P1(0,4)代入直線方程，可得4B+C=0;

可得直線l的方程為2x+3y-12=0.

又過P2的直線滿足3A+2B+C=0;

此時有無數組解.例如:直線x=3,

直線y=2等都滿足題意.

同理可得，過P3的直線方程為3x-4y-4=0；

過P4的直線方程為x-y-1=0.

所以答案為P1,P3,P4.

本題有明顯的平面幾何背景：設d(P)1為直線l下方點到l距離之和，d(P)2為l上方點到直線l的距離和.則對于任意四邊形內點P(P不是對邊中點連線的交點)，則過點P與對邊中線交點的連線所得直線l，使得d(P)1=d(P)2[1].

本題難點之一在于學生理解題意有困難，之二在于對所考查的知識點不熟悉，之三是運算有些繁.

啟示7高三復習要關注課本，課本上的知識點要不留死角，不能游離于課本之外的題海戰(zhàn)術.

例7(2017年第21題)設定義在R上的函數f(x)滿足：對于任意的x1、x2∈R，當x1

(1)若f(x)=ax3+1，求a的范圍；

(2)若f(x)為周期函數，證明：f(x)是常值函數；

(3)設f(x)恒大于零，g(x)是定義在R上、恒大于零的周期函數，M是g(x)的最大值，函數h(x)=f(x)g(x).證明：“h(x)是周期函數”的充要條件是“f(x)是常值函數”.

命制能力題的思路是選擇某個知識點作為載體，先確定能力立意的原則，然后打磨形成核心創(chuàng)新能力的框架，找到了“最高點”，然后再根據學生的認知水平，設計相應的臺階，逐步引導學生初步理解問題，最后形成壓軸題的3問.

本題是先確定以函數為載體，然后再確定考查函數的單調性、周期性與函數的最值，在知識的網絡交匯處設計問題.

解(1)a≥0.

(2)反證：若f(x)不為常值函數，f(x)≠c，若存在x1

(3) 只證必要性：設Tg是g(x)的一個正周期，Th是h(x)的一個正周期.

不妨設00，那么，對任意k∈Z，當x∈[x0+(k-1)Tg,x0+kTg]時，f(x)≤f(x0+kTg).

又00，所以

h(x)=f(x)g(x)≤Mf(x)≤Mf(x0+kTg)

=g(x0+kTg)f(x0+kTg)=h(x0+kTg).由于上述區(qū)間包含h(x)的一個周期，所以h(x0+kTg)為h(x)的最大值，特別地，

由k的任意性，f(x0+kTg)=f(x0)及已知條件當x1

第(3)題可以看成是“一個非零常數與周期函數之積還是周期函數”引發(fā)而來.這種看似司空見慣的問題經過命題人的妙手就是一道壓軸的難題、好題.

啟示8日常教學教師要善于(當然，也可以鼓勵學生)結合教學內容通過聯想類比、歸納抽象等方式(這是落實“核心素養(yǎng)”中“數學抽象、邏輯推理”等素養(yǎng)的途徑之一)提出一些新問題，并力求加以解決，而不是要求學生做大量重復性練習(對于提高運算速度，重復練習是必要的，但不要過度)，既能減輕學生負擔，又可以培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力.

6　反思與展望

2017年試題沒有涉及數學文化方面的試題(僅上教版高三數學第14-18章就有30多處涉及數學文化)，其他省份試卷中已經有此類試題，上海在以后的考題可能會涉及.

從統(tǒng)計結果來看今年試題總體偏易，明年有可能適當增加中檔題，減少容易題，即使這樣，多數考生在90分鐘左右能完成基礎題和中檔題，還會有30分鐘左右去做壓軸題.

新一輪課程改革提出“核心素養(yǎng)”，這些素養(yǎng)必然要落實到高考試題中，落實的程度可能會不斷深入，以2017年上海數學試題為例，容易題和中檔題可以看作是考查“必備的知識”，這些內容大多數學生用90分鐘左右可以做完(這些試題也有不同層次，當然不一定都做對)，壓軸題突出對邏輯推理、數學運算等核心素養(yǎng)的考查，比如第16題和20題第(3)題用橢圓的參數方程解答相對簡單，而參數方程在教學中往往不被重視，提醒我們復習時雖然要注重通法，但不要忽略那些雖不是通法但是在學生正常思維范圍內(最近發(fā)展區(qū))的特殊解法，這些方法往往是創(chuàng)新的突破口.

以往各地試題也是由容易題、中檔題和壓軸題組成，但是多數試題整體較難，考生即使會做,2小時內也難以寫出來，更不要說有時間去思考壓軸題了.所以要提高學生的運算速度，而提高速度的最好方法就是大運動量訓練.上海2017年數學試題明顯在扭轉以往這種導向.

突出對代數推理能力的考查，第21題的第(2)、(3)都有直接證法和反證法，即使是幾何題(第12題和第20題的第(3)題)，對推理運算能力也有要求較高.2015年和2016年上海最后一道壓軸題也是代數推理題.這確實考到高中數學教育的關鍵點，即使是優(yōu)秀學生解答代數推理題，往往是路子對了，但要用準確、簡捷的數學語言表述還有難度.也就是說，落實核心素養(yǎng)中的“邏輯推理”素養(yǎng)任重道遠.

第21題第(3)題還可以繼續(xù)追問：h(x)和g(x)的周期是否相等，怎么證明或否定？像這樣給出基本問題讓學生提出問題，根據提出不同層次的問題給予不同的分數，或許是今后考試的一個方向(上海在多年前的春季招生考試中已有類似試題).

綜上所述，2017年上海數學試卷是一套好試卷，對以后命題的示范作用值得期待.