楊麗娟

(昆山市葛江中學(xué)　215300)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)以促進(jìn)學(xué)生獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為目標(biāo)，增強(qiáng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，并以此為目標(biāo)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1].數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，如果沒(méi)有一以貫之的教學(xué)主線統(tǒng)領(lǐng)，就會(huì)導(dǎo)致教師的教學(xué)行為隨意性大，學(xué)生負(fù)擔(dān)沉重但學(xué)習(xí)效果差的現(xiàn)象.基于此，筆者2017年6月14日在蘇州市首屆“名師領(lǐng)航”高研班培訓(xùn)中開設(shè)公開課《全等三角形復(fù)習(xí)》，整個(gè)教學(xué)過(guò)程呈現(xiàn)兩條教學(xué)主線：明線，即學(xué)習(xí)目標(biāo)，通過(guò)復(fù)習(xí)全等三角形知識(shí)，掌握添輔助線構(gòu)造全等三角形的方法，探索線段、角之間的數(shù)量關(guān)系；暗線，即教學(xué)目標(biāo)，揭示添輔助線構(gòu)造全等三角形的實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力，引導(dǎo)學(xué)生用掌握的知識(shí)解決問(wèn)題.結(jié)合課堂教學(xué)，筆者思考的是在鞏固知識(shí)的前提下，如何在有限的空間、時(shí)間和資源狀態(tài)下，追求最大的教學(xué)收獲.

1　利用簡(jiǎn)單問(wèn)題喚醒認(rèn)知儲(chǔ)備，呈現(xiàn)知識(shí)系統(tǒng)

奧蘇伯爾提出“學(xué)生已經(jīng)知道了什么，再根據(jù)學(xué)生已經(jīng)知道了什么進(jìn)行教學(xué)”.這對(duì)我們了解學(xué)生、了解教學(xué)的起點(diǎn)，有的放矢進(jìn)行教學(xué)是非常重要的.

復(fù)習(xí)課覆蓋的“基礎(chǔ)知識(shí)”，如果通過(guò)歸納成文或圖表概括來(lái)梳理，會(huì)讓學(xué)生感覺(jué)枯燥乏味，難以激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.所以精選簡(jiǎn)單的典型練習(xí)，通過(guò)問(wèn)題呈現(xiàn)全等三角形的判定方法與性質(zhì)，并通過(guò)針對(duì)性的講解，增強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)之間的融會(huì)貫通與理解.

1.1　設(shè)置開放性問(wèn)題，在思維廣度的延伸中梳理知識(shí)

思維的廣度主要體現(xiàn)為思維主體善于根據(jù)整個(gè)問(wèn)題從多角度、多方位來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思考.開放性問(wèn)題可以給學(xué)生提供更廣闊的活動(dòng)空間和思維空間，使其思維富有彈性和流暢性，對(duì)啟發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維和培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)有著積極的促進(jìn)作用.設(shè)置開放性問(wèn)題，為學(xué)生在探索空間上作思維的開放預(yù)設(shè)，學(xué)生會(huì)因問(wèn)題的開放而作“無(wú)拘無(wú)束”的思考，以流暢的思維保證知識(shí)梳理的全面性.

全等三角形的判定方法

圖1

練習(xí)1如圖1，A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，∠A=∠C=90°，AB=CD，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使得△EAB≌△BCD.

設(shè)計(jì)意圖教材上介紹全等三角形的判定方法——1、兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)；2、兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(ASA)；3、兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)；4、三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(SSS)；5、斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL).本題若用“SAS”證明，可以添加條件“AE=BC”；若用“ASA”證明，可以添加條件“∠ABE=∠D”或“EB⊥BD”；若用“AAS”證明，可以添加條件“∠E=∠CBD”或“EB⊥BD”；若用“SSS”證明，需添加兩個(gè)條件“AE=BC、BE=BD”(不符合本題要求)；若用“HL”證明，可以添加條件“BE=BD”.學(xué)生從不同的角度去觀察圖形、思考問(wèn)題，用不同的判別方法解決問(wèn)題，不僅有效再現(xiàn)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，更使學(xué)生的思維突破局限，給學(xué)生更多的思維空間，從而培養(yǎng)學(xué)生自主探究的思維品質(zhì).

1.2　通過(guò)簡(jiǎn)單練習(xí)，在思維深度的拓展中關(guān)注知識(shí)

思維的深度是指我們考慮問(wèn)題時(shí)，要深入到客觀事物的內(nèi)部，抓住問(wèn)題的關(guān)鍵、核心，進(jìn)行由近到遠(yuǎn)、由表及里、層層遞進(jìn)、步步深入的思考.數(shù)學(xué)知識(shí)在各自的發(fā)展過(guò)程中，其縱向和橫向都有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)簡(jiǎn)單練習(xí)尋找知識(shí)之間的聯(lián)系，有利于學(xué)生從系統(tǒng)的高度思考問(wèn)題，把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì).

全等三角形的性質(zhì)

圖2

練習(xí)2如圖2，點(diǎn)A、F、C、D在同一條直線上，且△ABC≌△DEF.

(1) 若∠A=45°，∠B=100°，求∠DFE的度數(shù)；

(2) 觀察圖形，利用已知條件，你有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖第(1)小題，在△ABC中，根據(jù)“三角形內(nèi)角和等于180°”得到∠ACB=35°，利用“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”得到∠DEF=∠ACB=35°.第(2)小題，結(jié)論眾多：利用“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”可得AB=DE,、BC=EF、AC=DF，并在此基礎(chǔ)上根據(jù)“等式性質(zhì)”發(fā)現(xiàn)AF=CD；利用“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”除了可得∠ACB=∠DEF外，還可得到∠B=∠E、∠A=∠D，并在此基礎(chǔ)上根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”發(fā)現(xiàn)BC∥EF、AB∥ED.練習(xí)中利用全等三角形獲得對(duì)應(yīng)量相等，這時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生歸納——要獲得對(duì)應(yīng)量相等，可以全等三角形為橋梁.

本題把知識(shí)放在系統(tǒng)中學(xué)習(xí)，不滿足于停留在知識(shí)的表面和膚淺的理解，對(duì)知識(shí)進(jìn)行綜合梳理、尋找規(guī)律，發(fā)展思維的深度.

2　尋找基本圖形歸納解題思路，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出:在空間觀念上，要求學(xué)生“能從復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系”.在圖形解題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)識(shí)別提煉基本圖形，并用基本圖形尋找解題的思路，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用效益的最大化.

2.1　設(shè)計(jì)階梯性問(wèn)題，促進(jìn)思維拾級(jí)而上

階梯性問(wèn)題是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由淺入深、層層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題串，滿足不同層次的學(xué)生解決不同層次問(wèn)題，激活學(xué)生不同層次的思維.設(shè)計(jì)階梯性問(wèn)題，低起點(diǎn)，高立意，學(xué)生可拾級(jí)而上，逐層深入地對(duì)題目進(jìn)行探究，可以充分展示各自不同的探究思維深度.

例1已知正方形ABCD和正方形AEFG有一個(gè)公共點(diǎn)A，點(diǎn)G、E分別在線段AD、AB上.

(1)如圖3-1，連接DF、BF，證明：DF=BF；

圖3-1

圖3-2

分析要證明DF=BF，這兩條線段分別出現(xiàn)在△DGF和△BEF中，利用已知條件，發(fā)現(xiàn)△DGF≌△BEF(SAS)，借助全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，得到DF=BF.觀察圖形，整個(gè)圖形關(guān)于AC成軸對(duì)稱，故將△DGF沿AC翻折與△BEF重合，由此可知若含有軸對(duì)稱圖形，可用軸對(duì)稱性質(zhì)，沿對(duì)稱軸翻折圖形來(lái)尋找全等三角形.

(2)若將正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中線段DF與BF的長(zhǎng)還相等嗎？若相等，請(qǐng)證明；若不相等，連接DG，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，你能否找到一條線段的長(zhǎng)與線段DG的長(zhǎng)始終相等．并以圖3-2為例說(shuō)明理由．

分析先利用幾何畫板演示，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DF與BF隨位置變化相等關(guān)系改變.連接BE，發(fā)現(xiàn)△ADG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與 △ABE重合，于是△ADG≌△ABE(SAS),可得DG=BE.由此可知，若出現(xiàn)有一個(gè)公共端點(diǎn)的相等線段AD=AB、AG=AE，可用旋轉(zhuǎn)方法尋找全等三角形.

2.2　借助練習(xí)歸納模型，提升解題能力

對(duì)一些基本思路、基本方法和基本結(jié)論相同的問(wèn)題進(jìn)行模擬練習(xí)，通過(guò)練習(xí)對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行整理，在這過(guò)程中打通學(xué)生的思維通道，提升他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

圖4

練習(xí)3已知：如圖4，AB=AD，CB=CD.

(1)求證：∠B= ∠D；

(2)若AE=AF，試猜想CE與CF的大小關(guān)系，并證明.

分析要證明∠B=∠D,圖中沒(méi)有現(xiàn)成的全等三角形可以利用,需添輔助線構(gòu)造全等三角形.通過(guò)連接AC，其實(shí)質(zhì)是將△ABC沿AC翻折與△ADC重合,由此構(gòu)造全等三角形△ABC≌△ADC(SSS),得到∠B=∠D；在此基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)△AEC≌△AFC(SAS),得到CE=CF.學(xué)生獨(dú)立思考后完成練習(xí)，深刻感受以添輔助線構(gòu)造全等三角形為手段，實(shí)現(xiàn)圖形的平移、翻折或旋轉(zhuǎn)，獲得對(duì)應(yīng)量相等.

2.3　從相等關(guān)系到不等關(guān)系，抓住問(wèn)題的本質(zhì)

數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)是通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法承載的數(shù)學(xué)思考揭示解決問(wèn)題的方法，為學(xué)生提供體會(huì)數(shù)學(xué)思考問(wèn)題的方式，揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)和本質(zhì)關(guān)系，進(jìn)而推動(dòng)解題成果的擴(kuò)大、解題模式的積累、解題經(jīng)驗(yàn)的生成.

例2如圖5-1，△ABC中，AD為BC邊上的中線，求證：AB+AC>2AD.

分析要證明AB+AC>2AD，有兩個(gè)關(guān)鍵:①創(chuàng)設(shè)2AD，②AB+AC>2AD形似“三角形兩邊之和大于第三邊”，想辦法將AB、AC、2AD轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中.因此，如圖5-2，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接CE，得△ABD≌△ECD(SAS)，于是AB=CE，在△ACE中，CE+AC>AE，即AB+AC>2AD.

圖5-1

圖5-2

變式若AB=5，AC=3，求AD的取值范圍.

分析借助之前的解題思路，在△ACE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得EC-AC

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生習(xí)慣利用全等三角形獲得對(duì)應(yīng)量相等，本題要證明不等關(guān)系還是以全等三角形為橋梁.將△ABC的中線AD延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造一對(duì)全等三角形，這種添輔助線的方法稱為“倍長(zhǎng)中線法”，其實(shí)質(zhì)還是實(shí)現(xiàn)三角形的變換:若連接EC，是將△ABD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到△CDE；若連接BE，是將△ACD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到△BDE，以此抓住問(wèn)題的本質(zhì).

3　構(gòu)造基本圖形探索數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育終極目標(biāo)

數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)，不是僅僅掌握現(xiàn)有的專業(yè)知識(shí)，也不是單純的為學(xué)生提供求解某些具體問(wèn)題的工具，而是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)理性(真理)的追求，造就一種精神，一種腳踏實(shí)地、不畏艱難的探索精神，善于抓住問(wèn)題的根本，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的智慧.

圖6

例3如圖6，四邊形ABCD中，AD∥BC，EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA,CD過(guò)點(diǎn)E.試探索AB、AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

分析利用圖中角平分線可以構(gòu)成軸對(duì)稱圖形，學(xué)生根據(jù)之前介紹的翻折法，進(jìn)行大膽猜想、小心證明,想到三種解題方法.

方法一如圖7-1，延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F，發(fā)現(xiàn)△ABE沿BE翻折與△FBE重合，即△ABE≌△FBE(AAS)，得AB=BF、AE=EF；繼而發(fā)現(xiàn)△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°與△FCE重合，即△ADE≌△FCE(ASA)，得AD=FC.因?yàn)锽F=CF+BC，所以AB=AD+BC.

方法二延長(zhǎng)BE、AD交于點(diǎn)F，解題思路同方法一.

方法三如圖7-2，在AB上截取AF=AD,

圖7-1

圖7-2

連接EF.發(fā)現(xiàn)△ADE沿AE翻折與△AFE重合，即△ADE≌△AFE(SAS)，得∠D=∠AFE，因而∠C=∠BFE；繼而發(fā)現(xiàn)△CBE沿BE翻折與△FBE重合，即△CBE≌△FBE(AAS)，得BC=BF；則AB=AF+BF=AD+BC.

設(shè)計(jì)意圖本題探索得到一條線段等于兩條線段的和，可以試用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，通過(guò)把一條長(zhǎng)邊截為兩段，或延長(zhǎng)短邊使其等于所求邊，其實(shí)質(zhì)還是體現(xiàn)翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造三角形全等.

變式如圖6，四邊形ABCD中，AB=AD+BC，EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA,CD過(guò)點(diǎn)E.你能發(fā)現(xiàn)AD與BC的位置關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析由已知條件AB=AD+BC，截長(zhǎng)補(bǔ)短的指向明確，在例3的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過(guò)添輔助線，實(shí)現(xiàn)圖形翻折、旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造全等三角形，發(fā)現(xiàn)AD∥BC.

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是課堂教學(xué)的重要補(bǔ)充，有效的復(fù)習(xí)課教學(xué)直接關(guān)系到教育教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生數(shù)學(xué)能力的形成，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的歸宿.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的意義，在于通過(guò)對(duì)知識(shí)間本質(zhì)聯(lián)系的挖掘來(lái)加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和結(jié)構(gòu)的重建，通過(guò)對(duì)題型類比的整理，來(lái)加強(qiáng)思維的滲透和方法的提煉.只有在知識(shí)、能力并重的同時(shí)，注意到數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值，才能真正將情感、態(tài)度、價(jià)值觀落實(shí)到實(shí)處，把知識(shí)整理、題型歸納、思想滲透和方法提煉上升到應(yīng)有的高度，在兼顧滲透探究意識(shí)和訓(xùn)練創(chuàng)新思維的同時(shí)，凸顯學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的培養(yǎng)、延伸與發(fā)展.