張　靈　徐章韜

(華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院　430079)

1　引言

數(shù)學(xué)家華羅庚指出“據(jù)我看來，要真正打好基礎(chǔ)，有兩個必經(jīng)的過程，即‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的過程，‘由薄到厚’是學(xué)習(xí)、接受的過程，‘由厚到薄’是消化、提煉的過程”．“把書讀厚”是“把書讀薄”的前提，在教學(xué)中，中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)在自身已經(jīng)理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過理性思考深入挖掘數(shù)學(xué)知識本質(zhì)、知識背后蘊(yùn)含的思想以及知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，把書讀厚，而不能只停留在對知識的邏輯意義上的認(rèn)可．教師的教學(xué)能力，首當(dāng)其沖體現(xiàn)在對教學(xué)內(nèi)容的把握上，若教師自身不具備“理解數(shù)學(xué)”的能力，教學(xué)過程必然表面化，無法對知識進(jìn)行深入剖析、展開，那么數(shù)學(xué)家華羅庚提出的兩個必經(jīng)過程都不可能會發(fā)生．章建躍老師提出“理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提”[1]，指出了“理解數(shù)學(xué)”的重要性.

在中學(xué)所要教學(xué)的概率與統(tǒng)計中，“利用樣本估計總體”是統(tǒng)計的核心思想，樣本的代表性取決于所采取的抽樣方法．中學(xué)階段主要學(xué)習(xí)了三種抽樣方法：簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，本文是對這三種抽樣方法的一個深入研究.

2　簡單隨機(jī)抽樣

簡單隨機(jī)抽樣方法是一種最容易理解的、最簡單的抽樣方法，沒有復(fù)雜的抽樣程序，當(dāng)抽樣框——抽樣總體組成的集合確定的情況下，可直接抽取樣本，如人們在日常生活中買水果時，想知道水果是否好吃，會選擇從所有的水果中隨機(jī)挑出一個，嘗一嘗來進(jìn)行判斷，這是一種非常自然的想法．簡單隨機(jī)抽樣體現(xiàn)了“利用樣本估計總體”最樸素的思想——樣本來源于總體，若要獲得所需樣本，最簡單的方法便是從總體中直接進(jìn)行抽樣.

當(dāng)各個單元在總體中的地位相同時，各單元被抽到的機(jī)會相同是樣本具有較好代表性的前提．簡單隨機(jī)抽樣的定義為“一般地，設(shè)一個總體含有N個單元，從中逐個不放回地抽取n個單元作為樣本，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個單元被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣”[2]．在簡單隨機(jī)抽樣中，可用條件概率的知識來解釋每個單元被抽到的概率是相等的.

簡單隨機(jī)抽樣的本質(zhì)是一種隨機(jī)現(xiàn)象，是系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的基礎(chǔ)．事實(shí)上，系統(tǒng)抽樣和分層抽樣都可看作是在進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣前多了一些不影響單元等概率性的前期處理工作：系統(tǒng)抽樣是在進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣前，根據(jù)初始單元和抽樣間距將總體分為了若干個地位相同的群；分層抽樣是在進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣之前，按相關(guān)標(biāo)志值將總體劃分為了若干個層．簡單隨機(jī)抽樣的隨機(jī)性是系統(tǒng)抽樣、分層抽樣隨機(jī)性的前提，它給人們提供了一個討論概率抽樣方法自然的出發(fā)點(diǎn)．

3　系統(tǒng)抽樣

在詞典里，“系統(tǒng)”指由若干相互聯(lián)系、相互作用的要素所組成的、具有一定結(jié)構(gòu)和功能的有機(jī)整體．在系統(tǒng)抽樣中，起始單元確定了，再根據(jù)已經(jīng)確定的抽樣間距，便能得到其余的樣本單元，整個樣本也就確定了．這里的樣本便可看作由起始單元和抽樣間距確定的一個有機(jī)整體——“系統(tǒng)”，其結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為各單元在總體排列上的間距一定．這就像等差數(shù)列一樣，首項(起點(diǎn))定了，公差(間隔)定了，整個數(shù)列也就確定了．由于樣本的結(jié)構(gòu)一定，在系統(tǒng)抽樣中，當(dāng)總體單元排列順序確定時，一些單元不可能同時出現(xiàn)在樣本中，即排除了不符結(jié)構(gòu)的樣本組合．因此，與簡單隨機(jī)抽樣相比，系統(tǒng)抽樣抽取樣本的方式雖然更加簡便，且符合等概率性，但是其樣本的多樣性減弱了．另外，采用系統(tǒng)抽樣方法從總體中抽取樣本，系統(tǒng)抽樣的精度(樣本的多樣性，代表總體的程度)與總體單元的排列順序密切相關(guān).

4　分層抽樣

若總體是由差異比較大的幾部分單元組成的，采用系統(tǒng)抽樣或隨機(jī)抽樣都有可能產(chǎn)生分布不均的樣本，這時，需要人為將總體分層，再按比例對每一層進(jìn)行隨機(jī)抽樣，即采用分層抽樣．中學(xué)數(shù)學(xué)介紹的是按比例分層抽樣，其步驟為：①利用輔助信息，將總體N個單元分為“不重不漏的”m個層；②按照各層單元數(shù)占總體單元數(shù)的比例分配每一層的樣本容量，樣本總量為n；③采用簡單隨機(jī)抽樣方法或系統(tǒng)抽樣方法，從各層獨(dú)立的抽取相應(yīng)樣本容量的單元；④將各層取出的單元合在一起作為樣本[6]．當(dāng)各部分差異明顯時，采用分層抽樣方法能得到與總體結(jié)構(gòu)相近的樣本，其樣本的代表性要高于簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣.

在分層抽樣中，總體中差異明顯的每一部分都會在樣本中占有相應(yīng)比例的單元數(shù)，保證了樣本在總體中的分布是相對均勻的，層樣本(各層所獲的那部分樣本)相對于所在層的代表性決定了最終樣本的代表性．因此，就分層抽樣而言，如何提高層樣本的代表性是關(guān)鍵，這就要回歸到簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)．在簡單隨機(jī)抽樣中，各單元之間的差異越小，即總體在標(biāo)志值上的方差越小，各種可能的樣本組合之間的差異也會小，隨機(jī)抽取出的樣本在估計值上相對于總體的偏差會越小，反之，總體在標(biāo)志值上的方差越大，各種可能的樣本組合之間的差異也會越大，隨機(jī)抽出的樣本代表性差的可能性越高．因此，在分層抽樣中，為了提高層樣本的代表性，應(yīng)盡可能的利用輔助信息，擴(kuò)大層間方差，從而降低層內(nèi)方差，提高估計的精度.

5　教學(xué)建議

5.1　挖掘隨機(jī)抽樣的思想

合理的數(shù)學(xué)知識背后需要有思想的支撐，同樣地，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時，也需要相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想作為支撐，站在思想的角度看待知識，認(rèn)清知識“來自何方”．三種抽樣方法都屬于隨機(jī)抽樣，掌握隨機(jī)抽樣的思想，為學(xué)生深層次地理解知識奠定基礎(chǔ).

首先，抽樣的目的是為了用樣本估計總體，抽樣方法往往只有“好與差之分”，而不是“對與錯之分”，評價抽樣方法的優(yōu)劣應(yīng)該以樣本的代表性為標(biāo)準(zhǔn)；其次，樣本的代表性，要從抽樣規(guī)則來看，而不能以某一次的抽樣結(jié)果是否與總體一致論，在隨機(jī)抽樣中，樣本的產(chǎn)生是隨機(jī)的，合理的抽樣規(guī)則也可能產(chǎn)生歪曲的抽樣結(jié)果，這里所提到的“樣本的代表性”，是根據(jù)抽樣規(guī)則進(jìn)行理性分析后得出的理論結(jié)果；最后，為了使樣本具有代表性，抽樣規(guī)則應(yīng)客觀、公正，保證總體中每個單元被抽中的概率相等，不能人為的安排某些單元有更大的可能性被抽中，這樣的抽樣結(jié)果是不客觀的.

5.2　把握知識的要點(diǎn)

在三種抽樣方法中，何為“簡單”、何為“系統(tǒng)”、何為“分層”，是需要把握的要點(diǎn)，要點(diǎn)往往是認(rèn)識知識本質(zhì)的關(guān)鍵所在．“簡單”說明了簡單隨機(jī)抽樣在三種抽樣方法中的基礎(chǔ)地位，“系統(tǒng)”指向系統(tǒng)抽樣所得的樣本是一個具有一定結(jié)構(gòu)的有機(jī)整體，“分層”表明所得樣本的結(jié)構(gòu)與總體一致，在總體中的分布是相對均勻的．這些要點(diǎn)揭示了三種抽樣方法的不同之處，以及各自的特點(diǎn)，認(rèn)識了要點(diǎn)之后，還有助于對三種抽樣方法的精度進(jìn)行進(jìn)一步的分析、比較，明確影響樣本代表性的因素.

5.3　與概率知識相結(jié)合進(jìn)行教學(xué)

統(tǒng)計與概率關(guān)系密切，對抽樣方法的等概率性進(jìn)行理性分析需要用到概率知識．嚴(yán)謹(jǐn)、理性是數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，由于抽樣方法與實(shí)際生活關(guān)系密切，看似簡單、容易理解，教師教學(xué)時容易經(jīng)驗(yàn)至上，忽視對這部分知識進(jìn)行理性分析，這樣的做法不利于培養(yǎng)學(xué)生的理性精神，這樣的教學(xué)是不夠深入的．借助概率知識，通過邏輯分析和運(yùn)算過程，讓三種抽樣方法的“等概率性”變得有理有據(jù)，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步體會抽樣方法的科學(xué)、合理之處.