劉 薇

（湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長(zhǎng)沙 414205）

1 問(wèn)題的提出

假設(shè)：

其中X和S是獨(dú)立的，Θ是m×p階的未知正態(tài)均值矩陣，C是已知的m階正定矩陣，Σ是p階的未知協(xié)方差陣，Wp(Σ，k)表示自由度為k，均值為kΣ且維數(shù)為 p的Wishart分布，符號(hào)?表示矩陣之間的Kronecker乘積，對(duì)于方陣A，A＞0表示A是正定矩陣，A≥0表示A是非負(fù)定矩陣。模型（1）可看做是MANOVA模型或者多元線性模型（見文獻(xiàn)[1,2]）。

基于(X，S)并假設(shè)Σ未知，本文將在加權(quán)損失函數(shù)（2）下考慮均值矩陣Θ的估計(jì)問(wèn)題，并把相關(guān)結(jié)果應(yīng)用到改進(jìn)協(xié)方差的估計(jì)問(wèn)題中去。顯然，模型（1）中參數(shù)矩陣Θ的最大似然估計(jì)是ML=X。對(duì)于Θ的一個(gè)估計(jì)，如果 RW(，Θ)≤RW(ML，Θ)，稱是最小最大估計(jì)。事實(shí)上，許多文獻(xiàn)考慮了模型（1）中的Θ的估計(jì)問(wèn)題。比如：文獻(xiàn)[3]考慮了m=1，Q=Im且Σ已知的情形；在Σ未知的情況下，文獻(xiàn)[4]處理了m=1，Q=Im的情形；文獻(xiàn)[5]研究了 p=1，Q=Im且 Σ=σ2（σ2未知）的情形；在 Σ 未知的情況下，文獻(xiàn)[1]考慮了m＞p+1，Q=Im情形，上述文獻(xiàn)都假設(shè)權(quán)重Q為單位陣。據(jù)本文所知，除了文獻(xiàn)[6，7]幾乎沒有相關(guān)文獻(xiàn)處理Q≠Im情形，然而，權(quán)重Q的引入不僅推廣了已有的結(jié)果，更為重要的是它揭示了均值矩陣估計(jì)與協(xié)方差陣估計(jì)之間的本質(zhì)關(guān)系。文獻(xiàn)[8，9]指出了這種關(guān)系但他們并沒有作進(jìn)一步的研究。而文獻(xiàn)[6]研究了這個(gè)問(wèn)題，但是文獻(xiàn)[6]利用正態(tài)分布和Wishart的性質(zhì)僅考慮了Q為對(duì)角陣且假定C=Im，本文的主要目的是考慮更為一般的權(quán)重Q和矩陣C，進(jìn)而進(jìn)一步推廣已有的結(jié)果。

2 風(fēng)險(xiǎn)的無(wú)偏估計(jì)和Efron-Morris估計(jì)

在模型（1）下，考慮如下的Efron-Morris估計(jì)[9]：

當(dāng) Q=C=Im時(shí)，在損失（2）下，文獻(xiàn)[2,9]獲得了α的最優(yōu)解為：

當(dāng) C=Im,Q∶=W=diag(w1，…，wm)時(shí)，文獻(xiàn)[6]考慮了m＞p+1情形下的Efron-Morris估計(jì)，并導(dǎo)出了α的最優(yōu)解，即：

本文只要求在C＞0，Q≥0的假設(shè)下，考慮m＞p+1情形下的Efron-Morris估計(jì)。不同于文獻(xiàn)[6]，本文利用風(fēng)險(xiǎn)的無(wú)偏估計(jì)來(lái)研究Efron-Morris估計(jì)（4）。注意到當(dāng)C≠Im,Q≠Im時(shí)，本文在統(tǒng)一的框架下獲得EM風(fēng)險(xiǎn)的無(wú)偏估計(jì)是困難的（見文獻(xiàn)[9]）。因此，本文需要導(dǎo)出更為廣義的EM風(fēng)險(xiǎn)的無(wú)偏估計(jì)，并利用它們分別去獲得Efron-Morris估計(jì)為最小最大估計(jì)所需要的條件。

為方便，當(dāng) m＞p+1時(shí)，把Efron-Morris估計(jì)（4）記為：

其中 G1=-αX(X′X)-1S 。顯然，在加權(quán)損失（2）下，的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)可表示為：

不同于文獻(xiàn)[6]，本文將使用式（10）去導(dǎo)出m＞p+1情形下的Efron-Morris估計(jì)為最小最大估計(jì)的條件。為了獲得這個(gè)條件，本文還需如下的引理。

引理1：設(shè)對(duì)稱矩陣 A1，B1，C1∈Rn×n的特征根分別為a1≥…≥an，b1≥…≥bn和c1≥…≥cn，則：

（1）若 A1≥0，B1≥0，C1≥0 ，有：

若 A1＞0，B1＞0，C1＞0，有：

anbntr(C1)≤tr(A1B1C1)≤a1b1tr(C1)

證：對(duì)于（1）的證明見文獻(xiàn)[10]中的定理3，而（2）中右邊的不等式可由（1）直接獲得。因此，本文只需證明（2）中左邊不等式。由文獻(xiàn)[11]中引理1和矩陣同時(shí)對(duì)角化相關(guān)知識(shí)，存在一個(gè)正定陣B0，使：

而由文獻(xiàn)[12]知，A1B0C1的特征根都是正數(shù)，從而引理1成立。

引理2：對(duì)于任意可逆的對(duì)稱矩陣S=(sij)，本文有：

這里ei表示第i個(gè)元素是1其余元素為0的列向量。

證：見文獻(xiàn)[13]中的引理3.2。

定理1：對(duì)于模型（1）和損失（2），如果滿足：

證：由：

知：

因而，本文有：

另一方面，根據(jù)引理2，可得：

注意到 X(X′X)-1G′1是對(duì)稱陣，因而易知：

且有：

由上述推導(dǎo)可知，無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)（12）可簡(jiǎn)化為：

因此：

從而定理2.1成立。

注意到 X(X′X)-1X′是對(duì)稱冪等陣，并結(jié)合引理1中的（1），有：

3 討論

本文在加權(quán)平方損失下考慮了一類正態(tài)均值矩陣的估計(jì)。在適當(dāng)條件下，證明了這個(gè)新估計(jì)是極小極大的，本文新估計(jì)推廣了已有文獻(xiàn)中的結(jié)果。值得說(shuō)明的是，本文僅考慮m＞p+1情形下估計(jì)的改良問(wèn)題，下一步打算在更廣義的設(shè)置下研究p＞m+1情形下相應(yīng)估計(jì)的改良問(wèn)題。