徐曉功

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2018）19-0124-01

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)歸納法是一種比較常用的數(shù)學(xué)方法，在解決某些結(jié)論是自然數(shù)的函數(shù)命題時(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法對問題加以證明能夠起到事半功倍的效果。但是在長期對學(xué)生進(jìn)行教學(xué)的過程中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在利用數(shù)學(xué)歸納法解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常會出現(xiàn)一些比較常見的錯誤，對學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)造成了一定的障礙，本文主要對學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的常見錯誤進(jìn)行了研究，并提出了一些解決策略。

1.高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法中的常見錯誤

1.1機(jī)械套用，不認(rèn)真驗(yàn)算。

例1：證明等式2+4+6+…+2n=n2+n+1（n∈N+）是否成立。

錯誤解法：（1）當(dāng)n=1時(shí)，等式兩邊都等于2，此時(shí)等式成立。

（2）當(dāng)n=k時(shí)，2+4+6+…+2k=k2+k+1，等式兩邊同時(shí)加上2（k+1）

2+4+…+2k+2（k+1）= k2+k+1+2（k+1）

也就是2+4+…+2（k+1）=（k+1）2+（k+1）+1

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，原等式也成立。

由題目可知，當(dāng)n=1時(shí)，原等式實(shí)際上是不成立的，學(xué)生在解題時(shí)忽略了第一步的重要作用，對數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行機(jī)械的套用，造成解題的錯誤。

1.2存在多余驗(yàn)證。

例2：如果n∈N+，證明n2+5n能夠被6整除。

很多學(xué)生在對這道題進(jìn)行第一步的證明時(shí)，會對n=1、n=2，n=3的情況分別進(jìn)行驗(yàn)證，如當(dāng)n=1時(shí)，12+5×1=6能夠被6整除，當(dāng)n=2時(shí)，22+5×2=18能夠被6整除，當(dāng)n=3時(shí)，32+5×3=24能夠被6整除。很多學(xué)生在初學(xué)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)都會存在多余驗(yàn)證的問題，實(shí)際上是一種出力不討好的現(xiàn)象。

1.3自以為是，蒙混過關(guān)。

例2：當(dāng)n∈N+，證明（3n+1）·7n-1能夠被9整除。

證明：（1）如果n=1，4×7-1=27能夠被9整除。

（2）如果n=k時(shí)，（3k+1）·7n-1能夠被9整除，那么[3（k+1）+1]·7k+1-1=[3k+1+3] ·7k+1-1+3·7k+1能夠被9整除，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，（3n+1）·7n-1也能夠被9整除。

學(xué)生在第二步的證明中，令p（n）=（3n+1）·7n-1，很難找到p（k+1）與p（k）之間的內(nèi)在聯(lián)系，所以在解題時(shí)草草收場。

2.高中生運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法常見錯誤的解決方法

2.1利用學(xué)生熟悉的內(nèi)容，突破概念中的重難點(diǎn)理解問題。

教師在對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)或者講解時(shí)，可以以學(xué)生比較熟悉的事例來導(dǎo)入課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生更加深刻的了解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，更好的掌握數(shù)學(xué)歸納法的概念和用法。比如教師在對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)時(shí)可以利用擊鼓傳花的游戲來導(dǎo)入課堂教學(xué)內(nèi)容，讓班級的學(xué)生排好隊(duì)圍成一圈，當(dāng)學(xué)生聽到鼓聲時(shí)，就把花傳到下一位同學(xué)手中，鼓聲停止，傳花過程終止。游戲過后，教師可以給學(xué)生提出問題，為什么每位同學(xué)都能夠在游戲中拿到花呢？原因就在于傳花的規(guī)則，在第一位同學(xué)拿到花時(shí)，聽到鼓聲就要把花傳到下一位同學(xué)手中，只要鼓聲不停，就能夠保證花的無限傳遞，這樣就能夠保證每位同學(xué)都能夠拿到花。我們可以假設(shè)每位同學(xué)都能夠拿到花的命題是p（n），要想使p（n）真正實(shí)現(xiàn)首先要保證第一位同學(xué)能夠拿到花，也就是保證p（1）時(shí)，命題為真命題，根據(jù)傳花的規(guī)則再得到p（k+1）為真命題，這樣就能夠保證每一位同學(xué)在游戲中都能夠拿到花，不用再進(jìn)行一一驗(yàn)證。學(xué)生在傳花的過程中就能夠體會到命題真正的傳遞過程，對數(shù)學(xué)歸納法的兩步運(yùn)算程序進(jìn)行深刻的理解，從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法知識結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。

2.2提煉要點(diǎn)，加深學(xué)生的印象。

在學(xué)生理解了數(shù)學(xué)歸納法的用法之后，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的使用要點(diǎn)進(jìn)行提煉，最好能夠形成口訣，幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)歸納法知識的記憶。可以把數(shù)學(xué)歸納法的使用歸納為一表示“使用p（k）表示p（k+1）”、二使用“使用歸納假設(shè)法進(jìn)行驗(yàn)證”、三變形“運(yùn)算變形，得到結(jié)論”。這樣就能夠幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)歸納法的正確使用方式和使用步驟，防止學(xué)生在進(jìn)行第二步的論證時(shí)，不使用歸納假設(shè)法，而使用其他驗(yàn)證方式的錯誤做法。

2.3利用數(shù)學(xué)歸納法的變式拓寬學(xué)生的視野。

設(shè)p（n）是關(guān)于n∈N+的命題。

（1）使用第二數(shù)學(xué)歸納法來解決，（1）p（1）為真命題，（2）如果m≤k，p（m）為真命題，p（m+1）為真命題，所以p（n）對于一切n∈N+都是真命題。

（2）使用雙擊歸納法來解決，（1）p（1）、p（2）為真命題，（2）p（k-1）和p（k）均為真命題，那么p（n）對于一切n∈N+都是真命題。

（3）使用跳躍式數(shù)學(xué)歸納法來解決，（1）p（1）、p（2）、…、p（m）都是真命題，（2）p（k）為真命題，那么p（n）對于一切n∈N+都是真命題。

2.4讓學(xué)生打好基礎(chǔ)，掌握數(shù)學(xué)歸納法的變形能力。

扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是高中生學(xué)好數(shù)學(xué)的根本方法，在對學(xué)生進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師要著重培養(yǎng)學(xué)生對于基本知識的掌握，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行牢固的掌握，對于學(xué)生在解題中容易出現(xiàn)的錯誤，教師可以通過為學(xué)生講解典型例題的方式進(jìn)行解決。對于那些難以進(jìn)行變形的問題，教師也可以通過為學(xué)生講解典型例題，讓學(xué)生對解題的規(guī)律和技巧進(jìn)行深刻的掌握。

結(jié)語

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，很難避免各種問題的出現(xiàn)，教師在對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法講解時(shí)，一定要對學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的問題進(jìn)行分析和總結(jié)，針對學(xué)生容易出現(xiàn)的問題提出相關(guān)的解決措施，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)水平和學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)水平的快速提高。