陳　清　鐘建新

(江西省贛州師范高等?？茖W校　 341000)

1　《數(shù)學通報》2251號問題引發(fā)的思考

《數(shù)學通報》2015年7月號問題2251為：如圖，已知△ABC中∠A,∠B,∠C的對邊為a,b,c，設P是△ABC內一點，若∠PAB=∠PBC=∠PCA，求證：

對數(shù)學問題2251，提供人劉老師利用正弦定理結合相關的幾何結論給出了證明．其實點P就是幾何中常說的勃羅卡點，一個數(shù)學中經典的幾何點.

從19世紀的最后20多年，在歐洲曾出現(xiàn)過一陣對勃羅卡問題的研究，可謂成果累累，其中等式cotα=cotA+cotB+cotC(α為△ABC的勃羅卡角)就是當時提出的關于勃羅卡點的一個基本性質．

近些年來，國內的數(shù)學刊物陸續(xù)刊登了一些勃羅卡問題方面的文章，如《數(shù)學通報》雜志分別在1993年第3期、2000年第5期、2010年第12期、2014年第7期刊登了《勃羅卡點的一個計算公式》、《勃羅卡角計算公式》、《一個奇妙的向量恒等式》、《與勃羅卡相關的一個幾何最值問題》四篇論文，可見勃羅卡問題是初數(shù)研究的好素材，對它的研究經久不衰，成果給人啟迪．基于此筆者另辟蹊徑，從問題2251出發(fā)， 得出與勃羅卡點關聯(lián)的不等式，可以說是對該問題的新探究．

2　2251號問題的探究

定理1已知△ABC中∠A,∠B,∠C的對邊為a,b,c，設P為△ABC的勃羅卡點，則

證明由文[1]知

要證不等式(1)須證

不妨令x=a2,y=b2,z=c2，則等價于證明

?y3z2+y2z3+z3x2+z2x3+x3y2+x2y3-2x2y2z-2xy2z2-2x2yz2≥0

?y3z2+y2z3+z3x2+z2x3+x3y2+x2y3

≥2x2y2z+2xy2z2+2x2yz2．

我們知道

y(yz-yx)2+z(zx-zy)2+x(xy-xz)2≥0，

整理得

y3z2+y2z3+z3x2+z2x3+x3y2+x2y3

≥2x3yz+2xy3z+2xyz3．

又據平凡不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx，

兩邊同乘2xyz，可得

2x3yz+2xy3z+2xyz3≥2x2y2z+2xy2z2+2x2yz2，

從而不等式(1)得證．

證明記△ABC的外接圓半徑為R．因為P是△ABC的勃羅卡點，

設∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，

則∠BPC=π-α-(C-α)=π-C，

據Cauchy-Schwarz不等式、熟知的不等式

∑a2≤9R2及均值不等式得

筆者進一步從勃羅卡點引申到三角形內任一點，得到與問題2251關聯(lián)的新結論．

證明由文[2]Klamkin慣性極矩不等式可得

記x=a2,y=b2,z=c2，則要證不等式(2)只要證明

則不等式(2)得證．

因(ab-c2)2≥0，則(ab-c2)2=b2c2+c2a2+a2b2-c2[(a+b)2-c2]≥0，

又4rarb=(a+b)2-c2，

上述三式相加得