程　華

(咸陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院　712000)

* 基金項(xiàng)目：咸陽(yáng)師范學(xué)院教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(2017Z003)；咸陽(yáng)師范學(xué)院專項(xiàng)科研基金“新課程背景下中小學(xué)數(shù)學(xué)教師專業(yè)化發(fā)展研究”(項(xiàng)目編號(hào)：13XSYK006 ).

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué),在數(shù)學(xué)課堂上學(xué)生最有價(jià)值的改變是數(shù)學(xué)思維的變化和發(fā)展.在義務(wù)階段和高中階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中,都明確要求了要教學(xué)生學(xué)思考,數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的育人功能,也主要體現(xiàn)在對(duì)學(xué)生思維特別是邏輯思維的培養(yǎng)上.然而,在實(shí)踐層面上,教師是如何教學(xué)生學(xué)習(xí)思考的?數(shù)學(xué)課堂的思維教學(xué)還存在哪些問(wèn)題與困惑?哪些因素會(huì)影響到思維教學(xué)的成效?筆者結(jié)合工作經(jīng)歷以及國(guó)培班、省培班的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),對(duì)此分析思考.

1　數(shù)學(xué)課堂思維教學(xué)一些突出的問(wèn)題及其分析

思維的教學(xué)需要貫穿在整個(gè)課堂教學(xué)的過(guò)程里,調(diào)研中我們發(fā)現(xiàn),雖然教師普遍地具有培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的意識(shí),但是要使教學(xué)成為思維活動(dòng)的再現(xiàn),知識(shí)成為思維活動(dòng)的結(jié)果,在實(shí)踐中一些問(wèn)題還是比較突出.

1.1　重視以解題訓(xùn)練學(xué)生思維,而對(duì)概念、公式形成過(guò)程中的思維教學(xué)重視不足或方法不當(dāng)

一些教師極為重視以教解題來(lái)教思考,采用大量的變式,提高例題、習(xí)題的思維含量.解題訓(xùn)練成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力最常用的方式,卻對(duì)概念、公式形成過(guò)程中的思維教學(xué)重視不足或者方法不當(dāng).

比如,筆者在咸陽(yáng)市某縣聽(tīng)評(píng)課《相似多邊形的性質(zhì)(二)》(北師大版八年級(jí))時(shí)看到,同課異構(gòu)的城鄉(xiāng)兩位教師在這節(jié)課內(nèi),配備的例題、習(xí)題都多達(dá)二十余道,并與歷屆中考題對(duì)接.教學(xué)重點(diǎn)都放在性質(zhì)及其推論的應(yīng)用上,但卻對(duì)相似多邊形性質(zhì)的問(wèn)題是如何提出的?該如何思考,無(wú)暇展開(kāi).過(guò)程里蘊(yùn)含的“類比”、“轉(zhuǎn)化”、“先特殊再一般”、“分解與組合”等思考方法都被匆匆?guī)н^(guò)[1].

培訓(xùn)中有學(xué)員很困惑：“講(a+b)2=a2+b2+2ab時(shí),我先用圖形直觀表示,再用多項(xiàng)式乘法公式證明,還編了口訣記,怎么還有學(xué)生記成了(a+b)2=a2+b2?”.然而,筆者在西安市某重點(diǎn)中學(xué)觀課時(shí)卻發(fā)現(xiàn),更加復(fù)雜的二項(xiàng)式定理大部分學(xué)生卻能當(dāng)堂記住,原因何在呢?任課教師在提出需要探究(a+b)n的問(wèn)題后,就在引導(dǎo)學(xué)生如何研究上下足了功夫.從n=1,2,3這些特殊情況開(kāi)始,分析(a+b)1、(a+b)2、(a+b)3展開(kāi)式中各項(xiàng)的特點(diǎn)時(shí),通過(guò)多項(xiàng)式法則,教師引導(dǎo)學(xué)生追根溯源:“仔細(xì)觀察,多項(xiàng)式的相乘是怎樣實(shí)施的?”.學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)了:“展開(kāi)式中的項(xiàng)是由括號(hào)中取且只取一項(xiàng)相乘而來(lái)的”.這時(shí),學(xué)生就像數(shù)學(xué)家一樣在探索.可見(jiàn),學(xué)生思維參與的質(zhì)量最終決定了學(xué)習(xí)的效果,能否記住取決于學(xué)生是否真正參與到概念、公式的形成過(guò)程里.

當(dāng)前的問(wèn)題在于通過(guò)解題訓(xùn)練思維被過(guò)度化了.知識(shí)是思考的結(jié)果,而解題中思考的內(nèi)容與方法都很有限.題目一般是明確的,缺少問(wèn)題提出的環(huán)節(jié),突出的主要是問(wèn)題解決和演繹思維.但是,概念、公式獲得的過(guò)程里,蘊(yùn)含的思維方法可能會(huì)更加豐富.比如,概念獲得的過(guò)程里,要先對(duì)典型、多樣的事例觀察、分析出其共同特征,進(jìn)而對(duì)本質(zhì)特征、概念內(nèi)涵、要素等歸納和概括,才能獲得定義.研究如何表示時(shí),又要分為圖形、符號(hào)和語(yǔ)言三種形式.進(jìn)一步地,要分類研究,就需要思考,為什么分類?如何分類?怎樣從各要素中找到合適的分類條件?等等.學(xué)生在經(jīng)歷概念、公式的形成過(guò)程里,可以思考到一些更加實(shí)質(zhì)的問(wèn)題,比如數(shù)學(xué)的研究對(duì)象、刻畫數(shù)學(xué)對(duì)象的基本方法、研究的基本思路等,而這些思維活動(dòng)是單純的解題所無(wú)法提供的.

1.2　解題教學(xué)無(wú)暇揭示思路的尋找過(guò)程,“以講代思”、“以練代思”,學(xué)生思維成了教師思維的再現(xiàn)

解題教學(xué)中,教師都能不同程度地體現(xiàn)“暴露思維的過(guò)程”,但是,一些教師將其簡(jiǎn)單化為講解解題思路,最關(guān)鍵的尋找思路的過(guò)程卻來(lái)不及揭示,常常以自己的“講”取代學(xué)生的“想”.“以練代思”,題目過(guò)多過(guò)難,學(xué)生的思維來(lái)不及展開(kāi),便記憶教師的方法.

然而,短期內(nèi)這種訓(xùn)練方式卻可能對(duì)解題很有效,而評(píng)判教學(xué)效果又常以學(xué)生是否會(huì)做題為標(biāo)準(zhǔn).但是,學(xué)生的思維又具有隱蔽性,比如,學(xué)生能套用兩條平行線距離公式求出距離,但是否真理解這個(gè)公式?會(huì)做的題目是否真在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)?是學(xué)生自己思考所得還是條件反射地再現(xiàn)教師的思維?會(huì)做題有時(shí)反而掩蓋了問(wèn)題.隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的增多難度增大,一些學(xué)生記憶的題型、知識(shí)點(diǎn)增多,辨認(rèn)難度加大,思維定式和僵化的弱點(diǎn)就顯現(xiàn)出來(lái),遇到復(fù)雜、新穎的題目就無(wú)從下手了.這時(shí),一些教師為應(yīng)對(duì)所謂的“忘了”,為擴(kuò)充學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn),更是加大了訓(xùn)練量,負(fù)擔(dān)越來(lái)越重.

1.3　數(shù)學(xué)課堂思維教學(xué)的設(shè)計(jì)與學(xué)生實(shí)際的認(rèn)知水平不符合

課堂思維教學(xué)與學(xué)生實(shí)際的認(rèn)知水平不符的現(xiàn)象也比較突出.從客觀層面看,不同學(xué)生的思維發(fā)展并不均衡,在集體授課制下,對(duì)優(yōu)秀學(xué)生適宜的卻可能高于其他學(xué)生的認(rèn)知水平.怎樣教才能使不同層次的學(xué)生都盡可能地發(fā)展,也是思維教學(xué)的難點(diǎn).

從主觀層面看,一些教師對(duì)教學(xué)理解存在的誤區(qū)或偏差,使教學(xué)脫離了學(xué)生實(shí)際的認(rèn)知水平.具體表現(xiàn)有：其一,過(guò)于追求課堂思維發(fā)生過(guò)程的完整性,卻忽視了過(guò)程的合理性.新課程改革倡導(dǎo)既要重視演繹推理也要注重合情推理,一些教師形式化地體現(xiàn)這一要求,脫離了學(xué)生實(shí)際.比如,初中生學(xué)習(xí)《三角形內(nèi)角和》[2],還用撕紙實(shí)驗(yàn)將撕下的兩個(gè)角拼到第三個(gè)角上去,先發(fā)現(xiàn)它們組成平角,再證明,重復(fù)著小學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)”，思維活動(dòng)低效甚至無(wú)效.

可見(jiàn),數(shù)學(xué)思維教學(xué)存在的問(wèn)題,既有教師對(duì)數(shù)學(xué)、對(duì)教學(xué)認(rèn)識(shí)和理解的偏差,也與對(duì)學(xué)生的了解有關(guān).事實(shí)上,數(shù)學(xué)課堂上同時(shí)存在著三種思維活動(dòng):教師的思維活動(dòng)、學(xué)生的思維活動(dòng)和數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)(或隱或顯存在于教材).只有當(dāng)教師通過(guò)自己的思考,在課堂上創(chuàng)設(shè)出適宜學(xué)生思考的情境,通過(guò)問(wèn)題,使這三種思維碰撞、交融,真正的思維教學(xué)才可能發(fā)生.

2　數(shù)學(xué)課堂思維教學(xué)的幾點(diǎn)思考

教師對(duì)所教內(nèi)容、所教學(xué)生的理解與掌握的狀況,從根本上決定了思維教學(xué)的品質(zhì).對(duì)此,我們提出幾點(diǎn)建議.

2.1　數(shù)學(xué)思維教學(xué)要切實(shí)關(guān)注學(xué)生的思維活動(dòng),基于實(shí)際的認(rèn)知水平展開(kāi)教學(xué)

教學(xué)生學(xué)思考,教師要切實(shí)關(guān)注學(xué)生是如何思考、如何理解的,只有尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,教學(xué)才可能與大多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知水平相適宜.

研究表明:遺傳和生理成熟是思維發(fā)生、發(fā)展的生物前提.首先,教師要了解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn).一般而言,7歲至12歲的小學(xué)生,數(shù)學(xué)思維的特征是由具體形象思維逐步過(guò)渡到抽象思維,但仍然具有大成分的具體形象性;13歲至15歲的初中生,特征是經(jīng)驗(yàn)型的抽象思維逐步過(guò)渡到理論型的抽象思維,但仍然具有很大成分的經(jīng)驗(yàn)性;而高中生是16歲至18歲,已基本形成理論型的抽象思維[3].也就是說(shuō),初中生的形式運(yùn)算思維開(kāi)始發(fā)展,但是具體運(yùn)算仍然在繼續(xù),進(jìn)行形式運(yùn)算時(shí),仍要借助低水平的思維,而高中生的形式運(yùn)算思維發(fā)展迅速,但是還需借助具體運(yùn)算甚至是前運(yùn)算思維.“沒(méi)有教不好的學(xué)生,只有教不好的老師”,然而,研究表明,許多學(xué)生甚至成年人終生都處于具體運(yùn)算階段[4],所以,尊重學(xué)生的認(rèn)知水平,還意味著要正視學(xué)生能力上的限度.

其次,教師要深入分析學(xué)生是如何思考、如何理解的,針對(duì)學(xué)生思維的差異性來(lái)教學(xué).比如解題教學(xué)中,多樣的解法反映出不同的思維過(guò)程和思維品質(zhì),多樣化的思路下要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考進(jìn)行方法的選擇,發(fā)現(xiàn)方法之間的聯(lián)系,這有助于提高學(xué)生思維的深刻性.

案例在正方形內(nèi)部有2000個(gè)點(diǎn),連同正方形的4個(gè)頂點(diǎn)共有2004個(gè)點(diǎn).在這2004個(gè)點(diǎn)中,任意三點(diǎn)都不在同一直線上.現(xiàn)在要把該正方形紙片全部剪成三角形,這個(gè)三角形的每個(gè)頂點(diǎn),都在這2004個(gè)點(diǎn)中取,并且這2004個(gè)點(diǎn)都是這種三角形的頂點(diǎn),試問(wèn)：① 一共可以剪出多少個(gè)三角形?② 如剪成這些三角形需要剪多少刀?( 沿一條線剪開(kāi)算一刀).

不同思路體現(xiàn)出的是思維方法的差異.思路1是從局部分析,從特殊開(kāi)始.正方形內(nèi)部1個(gè)點(diǎn),可分為4個(gè)三角形,若內(nèi)部2個(gè)點(diǎn),可分為6個(gè),3個(gè)點(diǎn)分為8個(gè),歸納出n個(gè)點(diǎn)時(shí),三角形個(gè)數(shù)為4+2(n-1)而求解,類比第一問(wèn)解出第二問(wèn).思路1中學(xué)生嘗試、有序地觀察、比較差異,體驗(yàn)歸納與類比；思路2則是從目標(biāo)“三角形”具有內(nèi)角和180°的特點(diǎn),整體觀察,轉(zhuǎn)化問(wèn)題,把三角形的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正方形內(nèi)所有三角形內(nèi)角和的問(wèn)題.360°×2000+90°×4=4002×180°,解得4002個(gè),表現(xiàn)出較強(qiáng)的直覺(jué)思維能力.思路2的探求側(cè)重于如何觀察局部和把握整體,對(duì)正方形圖形的分解和組合來(lái)探求解法.

再次, 尊重不同學(xué)生的認(rèn)知水平,要依據(jù)大多數(shù)學(xué)生實(shí)際的認(rèn)知水平教學(xué),避免超出或者落后于學(xué)生的思維水平.比如,一些高中生對(duì)函數(shù)的畏懼就與教師教學(xué)起點(diǎn)過(guò)高有關(guān).即使學(xué)生已經(jīng)具備了相關(guān)的函數(shù)知識(shí),但是思維水平尚未達(dá)到時(shí),過(guò)早用綜合性過(guò)強(qiáng)的高考題訓(xùn)練,是不可能引發(fā)真正的思考的.同時(shí),也要防止以落后于學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平的方式換取大面積參與.比如,初中生內(nèi)角和180°證明前還要撕紙實(shí)驗(yàn),思維的變化就不大可能發(fā)生.

2.2　數(shù)學(xué)思維教學(xué)的重點(diǎn)是對(duì)學(xué)生的思維以適時(shí)和恰當(dāng)?shù)闹С?提升思維深度

在課堂教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié),學(xué)生都可能思維受阻,同樣的活動(dòng),不同學(xué)生的難度感受也會(huì)不同.所以,教師思維教學(xué)的重點(diǎn)是對(duì)學(xué)生思維恰當(dāng)?shù)膸椭?保持思維任務(wù)的復(fù)雜性與完整性.如何對(duì)不同學(xué)生的思維活動(dòng)給予恰當(dāng)?shù)闹С?

所以,教師對(duì)學(xué)生思維幫助的關(guān)鍵是通過(guò)問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生,從代數(shù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)產(chǎn)生適當(dāng)?shù)穆?lián)想.認(rèn)知結(jié)構(gòu)不同的學(xué)生產(chǎn)生的聯(lián)想也會(huì)不同.比如聯(lián)想到余弦定理,

AB+BC>CA,

教師可以通過(guò)課堂觀察、提問(wèn)、作業(yè)、課內(nèi)外輔導(dǎo)以及測(cè)驗(yàn)等方式來(lái)了解學(xué)生的思維狀況.在教后感中分析并記錄有哪些方式、哪些問(wèn)題對(duì)學(xué)生思維的調(diào)動(dòng)效果好,對(duì)課堂問(wèn)答、作業(yè)、試卷中的錯(cuò)誤分析其思維的障礙,等等,積累這些思維教學(xué)資源.

第二,要讓課堂節(jié)奏慢下來(lái),教師搭設(shè)思維“腳手架”,讓學(xué)生的思考能深下去.具體地,一是當(dāng)學(xué)生的思維受阻時(shí),教師不要立即介入,急于引導(dǎo)，要給學(xué)生留下機(jī)會(huì)與時(shí)間.二是教師啟發(fā)要多用元認(rèn)知提示語(yǔ),從數(shù)學(xué)認(rèn)知策略上提供線索,讓學(xué)生自己在對(duì)認(rèn)知策略、概念等的回顧中尋找聯(lián)系.比如：“前面研究問(wèn)題的基本思路是先特殊后一般,你覺(jué)得現(xiàn)在應(yīng)該研究什么?打算如何研究?”,等.三是要善于通過(guò)結(jié)構(gòu)性問(wèn)題，引導(dǎo)、組織和調(diào)控問(wèn)題解決的過(guò)程.比如,《相似多邊形的性質(zhì)(二)》案例中,用“求相似四邊形面積比的意圖是什么?”“‘分割’的實(shí)質(zhì)是什么?”“‘相似多邊形面積比問(wèn)題’該如何整體思考,怎樣研究的?”等問(wèn)題引導(dǎo)調(diào)控.四是要求學(xué)生完成任務(wù)后反思自己的思維策略,提煉出步驟與應(yīng)用條件.“你是如何考慮的?思維受阻的原因在哪?”等.這些做法有助于降低學(xué)生思考的難度,又沒(méi)有降低要求.

2.3　數(shù)學(xué)思維教學(xué)的目標(biāo)既要有整體觀又要有階段性,提高教學(xué)的計(jì)劃性

數(shù)學(xué)思維的教學(xué)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程,所以,目標(biāo)需要整體地把控.比如演繹法的學(xué)習(xí),在六年級(jí)和初一時(shí)可以介紹由前提引出結(jié)論的方法、糾正臆造大前提推理的錯(cuò)誤;在初二時(shí)介紹演繹法的概念與形式、由簡(jiǎn)單的形式向復(fù)合形式過(guò)渡;初三時(shí)糾正循環(huán)論證的錯(cuò)誤;在高一年級(jí)以后則分析歸納法與演繹法的關(guān)系等.提高思維教學(xué)的計(jì)劃性,需要在研究教材時(shí)就明確,哪些內(nèi)容適合培養(yǎng)哪些思維方法,不同年級(jí)需要安排哪些思維訓(xùn)練,又以何種方式來(lái)教.具體來(lái)說(shuō),第一,要梳理本冊(cè)教材、本節(jié)課所涉及的思維訓(xùn)練點(diǎn),教師可以合作、分享.比如,簡(jiǎn)單數(shù)列內(nèi)容要涉及“歸納”“類比”,一元一次方程、二元一次方程組,會(huì)涉及“歸納”“類比”“演繹”等訓(xùn)練點(diǎn).第二,思維教學(xué)目標(biāo)要與教學(xué)流程相對(duì)應(yīng),選擇適宜的教法.其一,預(yù)設(shè)越具體越易于落實(shí),擬采用哪些問(wèn)題以怎樣的方式,要將無(wú)形的思維有形化.多用口頭表達(dá)、書面總結(jié)等方法,讓學(xué)生清晰地看到師生的思維軌跡.其二,要以講授、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流等多種方式組織教學(xué).不同教法對(duì)發(fā)展思維的效果會(huì)不同,但是任何教法都能發(fā)展學(xué)生的思維.比如,傳統(tǒng)的講授法有時(shí)會(huì)限制思維的廣度,但是它易于突出邏輯思維,同樣能使學(xué)生思維活躍，關(guān)鍵是看教師內(nèi)容的選擇與指導(dǎo)是否得當(dāng).第三,教師要及時(shí)反思調(diào)控.“為什么這樣設(shè)計(jì)?”“是否已達(dá)到訓(xùn)練某種思維的目的?”等.可以從學(xué)生的發(fā)言來(lái)判斷目標(biāo)與效果的差距及時(shí)調(diào)整,若學(xué)生會(huì)做題卻不能清晰地表述,很可能是思考模仿性思維.

3　結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)思維方法的獲得終究要靠學(xué)生自己的“想”才能“悟得”,學(xué)生思維參與的質(zhì)量最終決定了思維教學(xué)的效果.所以,教師要切實(shí)從關(guān)注自己的“教”到關(guān)注學(xué)生的“學(xué)”,從關(guān)注“學(xué)解題”到關(guān)注“學(xué)思考”,通過(guò)自己的思索,把對(duì)數(shù)學(xué)的理解、對(duì)教材的理解,轉(zhuǎn)化、創(chuàng)設(shè)成適宜學(xué)生思考的平臺(tái).

在每一節(jié)平凡的課上,怎樣結(jié)合具體的內(nèi)容來(lái)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,如何使學(xué)生的思維活動(dòng)能從對(duì)教師思維的簡(jiǎn)單模仿,到能獨(dú)立思考后的創(chuàng)造?如何科學(xué)地考量學(xué)生學(xué)思考的效果?等等問(wèn)題,迫切需要我們將理論與實(shí)踐結(jié)合,不懈地探索.